巧用橢圓的幾何性質解題

■河南省溫縣第一高級中學 閆小生

熟練掌握橢圓的幾何性質,可使有關橢圓的問題輕而易舉得以解決。

(2)求解與橢圓幾何性質有關的問題時要結合圖形進行分析,即使不畫出圖形,思考時也要聯想到圖形,當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要厘清它們之間的關系,挖掘出它們之間的內在聯系。

(3)求橢圓離心率問題,應先將e用有關的一些量表示出來,再利用其中的一些關系構造出關于e的等式或不等式,從而求出e的值或范圍。離心率e與a、b的關系:e2=

解析:由O,M分別為F1F2和P F1的中點,可知OM∥P F2,且,同理,ON∥P F1,且,所以四邊形OMPN為平行四邊形。由題意知,故即。由知,所以,故△P F1F2的周長為

圖1

由|O P|=|O F|=|O F′|知,∠P F F′= ∠F P O,∠O F′P=∠O P F′。由∠P F F′+∠O F′P+∠F P O+∠O P F′=1 8 0°,知∠F P O+∠O P F′=9 0°,即F P⊥P F′。在R t△P F F′中,由勾股定理得,。由橢圓定義,得|P F|+|P F′|=2a=4+8=1 2,從而a=6,得a2=3 6,于是,所以橢圓C的方程為

(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程。

(2)設F1,F2分別是橢圓E的左右焦點,P為橢圓E上第一象限內的點,直線F2P交y軸于點Q,并且F1P⊥F1Q。證明:當a變化時,點P在某定直線上。

(2)設P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中由題設知x0≠c,則故直線F2P的方程為當x=0時,即點Q坐標為

(1)求橢圓C2的方程;

(2)設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓C1和C2上,且,求直線A B的方程。

解析:(1)由已知可設橢圓C2的方程為,其離心率為,故,解得a=4,故橢圓C2的方程為

(2)設A,B兩點的坐標分別為(xA,yA),(xB,yB),由及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上,因此可設直線為A B的方程y=k x。

備考建議:解決直線與橢圓的綜合問題時,要注意以下幾點:

(1)注意觀察應用題設中的每一個條件,明確確定直線、橢圓的條件。

(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題。

歸納總結:(1)一條規(guī)律。求橢圓標準方程的方法,除直接運用定義外,常用待定系數法(先定位,后定形,再定參)。橢圓的標準方程有兩種形式,所謂“標準”,就是橢圓的中心在原點,焦點在坐標軸上。焦點F1,F2的位置決定橢圓標準方程的類型,是橢圓的定位條件;參數a,b決定橢圓的形狀和大小,是橢圓的定形條件。對于方程0,n＞0),若m＞n＞0,則橢圓的焦點在x軸上;若n＞m＞0,則橢圓的焦點在y軸上。焦點位置不明確時,要注意分類討論。

(2)兩個三角形。①橢圓上的點與兩個焦點構成一個三角形,該三角形稱為曲線的焦點三角形,與該三角形有關的問題常常借助于正弦定理、余弦定理及比例的性質進行處理。②橢圓中有一個十分重要的△O F1B2(如圖2),它的三邊長分別為a、b、c。易知c2=a2-b2,若記∠O F1B2=θ,則

圖2

(3)三個條件。橢圓方程中的a、b、c、e與坐標系無關,而焦點坐標、頂點坐標等與坐標系有關。因此確定橢圓方程需要三個條件,兩個定形條件:a、b;一個定位條件:焦點坐標。