回歸分析中的創(chuàng)新題型研究

■河南省新蔡縣第一高級(jí)中學(xué) 吳文龍

概率統(tǒng)計(jì)中需要指出的是“離散型隨機(jī)變量的概率分布”未必年年考,如2 0 1 5年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷中用“可線性回歸分析”替代,2 0 1 6年全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ卷中用“線性相關(guān)性檢驗(yàn)”來代替。統(tǒng)計(jì)中的回歸分析已是高考中的“明星”題型。筆者認(rèn)為可線性回歸分析與線性相關(guān)性檢驗(yàn)特別是其創(chuàng)新題型應(yīng)在2 0 1 8年備考中引起同學(xué)們的高度重視。

一、問題提出

從散點(diǎn)圖中能直觀地判斷兩個(gè)變量是否滿足線性相關(guān),當(dāng)然我們利用相關(guān)系數(shù)r更能定量地計(jì)算出其線性相關(guān)的程度。當(dāng)用線性關(guān)系刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系不太好時(shí),建議使用非線性的函數(shù)關(guān)系來描述。非線性回歸的情形是兩個(gè)變量之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)呈現(xiàn)出某種非線性關(guān)系。在這里我們不討論一般的非線性回歸,只討論可以化為線性回歸的非線性回歸問題。筆者從可線性化回歸分析的創(chuàng)新題型的實(shí)例來闡明解決這類問題的基本思想和方法。

二、創(chuàng)新題型展示

1.冪函數(shù)型曲線。

例1 某電視廠家準(zhǔn)備在元旦期間舉辦促銷活動(dòng),現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費(fèi)與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費(fèi)支出。廣告費(fèi)支出xi(萬元)和銷售量yi(萬臺(tái))的數(shù)據(jù)如表1。

表1

(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求出y關(guān)于x的線性回歸方程。

(3)已知利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=2 0 0y-x,根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:

①廣告費(fèi)x=2 0時(shí),銷售量及利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?

②廣告費(fèi)x為何值時(shí),利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?(精確到0.0 1)

(2)因?yàn)?.7 5小于0.8 8且R2越大反映殘差平方和越小,擬合效果越好。所以用非

故廣告費(fèi)為98 0 1萬元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大。

2.指數(shù)型曲線。

例2 為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x是否有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù),如表2所示,兩個(gè)變量并不呈線性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)分別用模型①y=C1x2+C2與模型②y=作為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

表2

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線方程v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為β=

(1)根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),分別建立兩個(gè)模型下y關(guān)于x的回歸方程,并在兩個(gè)模型下分別估計(jì)溫度為3 0℃時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)。(C1,C2,C3,C4與估計(jì)值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)(參考數(shù)據(jù):e4.65≈1 0 4.5 8,e4.85≈1 2 7.7 4,e5.05≈1 5 6.0 2)

解析:(1)對(duì)于模型①,設(shè)t=x2,則y=C1x2+C2=C1t+C2。

對(duì)于模型②,設(shè)y=eC3x+C4,則z=l ny=C3x+C4。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查回歸方程和相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用,也考查同學(xué)們的分析與判斷能力,是一道綜合性題目。

三、常用的將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性模型的技巧

對(duì)數(shù)曲線y=a+bl nx,作變換ν=l nx,得線性函數(shù)y=a+b ν。

四、抽象概括

將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題的步驟:

第一步,用散點(diǎn)圖或回歸分析中的相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)原始數(shù)據(jù)是不是線性相關(guān)。

第二步,若不線性相關(guān),觀察散點(diǎn)圖,選擇合適的函數(shù)進(jìn)行擬合。

第三步,對(duì)選擇的函數(shù)作合適的變換,從而將模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。

最后,根據(jù)回歸方程對(duì)現(xiàn)實(shí)中的問題進(jìn)行預(yù)測(cè)。