從笛卡爾到龐加萊
——兼談法國數(shù)學(xué)家的人文思想

□文/蔡天新

一、引子

在德國數(shù)學(xué)家高斯的一部傳記中，作者引用了下面這段話：

有一個(gè)異鄉(xiāng)人在巴黎問當(dāng)?shù)厝?，“為什么貴國歷史上出了那么多偉大的數(shù)學(xué)家？”

巴黎人回答，“我們最優(yōu)秀的人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)?！?/p>

又去問法國數(shù)學(xué)家，“為什么貴國的數(shù)學(xué)一直享譽(yù)世界呢？”

數(shù)學(xué)家回答，“數(shù)學(xué)是我們傳統(tǒng)文化中最優(yōu)秀的部分?！?/p>

二、笛卡爾以前的法國數(shù)學(xué)

在中世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)的成就主要是在一些文明古國取得的，例如埃及、美索不達(dá)米亞，中國、印度和阿拉伯，當(dāng)然還有希臘?？梢钥隙ǖ氖牵绻麤]有希臘人的貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)就不會(huì)像現(xiàn)在這樣豐富多彩。而在長達(dá)一千多年的中世紀(jì)里，整個(gè)歐洲似乎只有一個(gè)堪稱偉大的數(shù)學(xué)家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在數(shù)學(xué)王國里發(fā)出光輝。歐洲之外，最有名的數(shù)學(xué)家當(dāng)數(shù)巴格達(dá)的花拉子密，正是他命名了代數(shù)學(xué)，在阿拉伯語里，al-jabr 意為還原移項(xiàng)，譯成拉丁文后就成了algebra，這也是今天英文里的代數(shù)學(xué)。

十四世紀(jì)是歐洲黑死病流行的時(shí)期，毀滅了將近四分之一的人口，數(shù)學(xué)上取得的成績也非常可憐。但疾病和戰(zhàn)爭有時(shí)候會(huì)改變文明的格局，法蘭西開始嶄露頭角，逐漸走在世界文明的前列。這個(gè)世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)家被認(rèn)為是法國人奧雷斯姆（ORESME），他出生在諾曼底，是天主教會(huì)的主教，同時(shí)又是亞里士多德著作的法文翻譯，中世紀(jì)最偉大的經(jīng)濟(jì)學(xué)家。他寫過五部數(shù)學(xué)書，和他的譯文一樣文筆優(yōu)美，為科學(xué)修辭和法國散文作出了貢獻(xiàn)。奧雷斯姆第一個(gè)使用了分?jǐn)?shù)指數(shù)，第一個(gè)用坐標(biāo)確定了點(diǎn)的位置，這預(yù)示了現(xiàn)代坐標(biāo)幾何學(xué)，影響了包括笛卡爾在內(nèi)的諸多數(shù)學(xué)家。

十五世紀(jì)開始了歐洲的文藝復(fù)興，隨著拜占廷帝國的瓦解（君士坦丁堡最在1453年落入土耳其人之手），難民們帶著希臘文化的財(cái)富流入意大利。奧登堡發(fā)明了活字印刷，印刷術(shù)得到了改進(jìn)。在這個(gè)世紀(jì)的尾末，哥倫布到達(dá)了美洲，不久，麥哲倫完成了環(huán)球航行?？墒菙?shù)學(xué)進(jìn)展仍然不大，十五世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家是法國人丘凱（CHUQUET），他出生在巴黎，在里昂生活和行醫(yī)。丘凱率先考慮了負(fù)的整數(shù)指數(shù)，他的名著《算術(shù)三編》討論了這樣三個(gè)問題，有理數(shù)的計(jì)算、無理數(shù)的計(jì)算和方程論。他還提出了均值法則：如果A、B、C、D是正數(shù)，則（A+B）/（C+D）處于A/C 與 B/D 之間。

十六世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家也是法國人。他的名字叫韋達(dá)（VIETE），出生在法國中部的普瓦捷（許多年以后笛卡爾也在這座城市上了大學(xué)）。韋達(dá)是個(gè)律師和議員，卻像后來的費(fèi)爾馬一樣，把絕大部分閑暇奉獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)。韋達(dá)的數(shù)學(xué)成就今天大多為我們所能理解，如中學(xué)數(shù)學(xué)里確立一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系的韋達(dá)定理（對三次方程他也有天才的貢獻(xiàn)），三角學(xué)中的半角公式，他還是第一個(gè)提出代數(shù)系統(tǒng)符號(hào)化的人。韋達(dá)倡導(dǎo)用輔音字母表示已知數(shù)，元音字母表示未知數(shù)。后來被笛卡爾的想法所取代，后者用拉丁字母的開頭幾個(gè) (a, b, c) 表示已知數(shù)，尾末幾個(gè)(x, y, z) 表示未知數(shù) 。

從以上事實(shí)我們可以看出，法國人的數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興之初已達(dá)到世界先進(jìn)水平，雖然那時(shí)候歐洲政治、經(jīng)濟(jì)、藝術(shù)和科學(xué)的中心是在亞平寧半島。正是在那個(gè)時(shí)期，（現(xiàn)今的）初等數(shù)學(xué)基本上羽翼豐滿了。同時(shí)，這也為近代數(shù)學(xué)和科學(xué)的全面發(fā)展奠定了相對堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、笛卡爾和天才的世紀(jì)

在笛卡爾出生以前，意大利人在世界文明的進(jìn)程中走在最前列，他們在數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域也處于領(lǐng)先地位，塔爾塔里亞（口吃者）與卡爾達(dá)諾在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他們兩人的成就合起來不低于同時(shí)代的法國人韋達(dá)?？墒?，這兩位同胞數(shù)學(xué)家卻相互控告對方剽竊，結(jié)果弄得兩敗俱傷。1564年出生的伽利略一直在意大利的兩所大學(xué)任數(shù)學(xué)教授，他發(fā)明的扇形圓規(guī)通用了兩個(gè)世紀(jì)，同時(shí)對拋物線性質(zhì)和無限集的等價(jià)概念有了正確的理解，他的數(shù)學(xué)天才和直覺幫助其建立起了自由落體的力學(xué)定律。他用自制望遠(yuǎn)鏡觀察宇宙，證實(shí)了哥白尼的太陽系理論，卻不幸遭到羅馬教會(huì)的迫害，含冤而死。

伽利略是在比薩斜塔做實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)自由落體定律的，他任比薩大學(xué)數(shù)學(xué)教授時(shí)年方25歲，兩年后就離開了，后來到了威尼斯附近的帕多瓦大學(xué)。他第一次聽說荷蘭人發(fā)明望遠(yuǎn)鏡是在1607年，他已經(jīng)43歲，之后才自己動(dòng)手制作望遠(yuǎn)鏡，觀察天象，他發(fā)表支持哥白尼理論的著作是在1630年，那年他66歲。也就是說，伽利略的兩大科學(xué)發(fā)現(xiàn)相隔了差不多有四十年。正是在這期間，法國誕生了多位數(shù)學(xué)天才，德沙格、笛卡爾、費(fèi)爾馬、帕斯卡爾，法國數(shù)學(xué)全面超越了意大利。英國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家懷特海稱十七世紀(jì)是天才的世紀(jì)，其中以法國人所做的貢獻(xiàn)最多。德沙格建立了射影幾何學(xué)，但他和他的幾何學(xué)的光芒被晚三年出生的笛卡爾給掩蓋了。下面我們就來談?wù)劦芽枴?/p>

和大多數(shù)天才人物一樣，笛卡爾也出生在小地方。他小時(shí)母親病故，身體贏弱，已另娶妻的父親把他交給外婆撫養(yǎng)，后來又送他進(jìn)拉弗萊什的一所教會(huì)學(xué)校。幸虧校長極有人文修養(yǎng)，看出這個(gè)孩子心智和身體上的差異，要他先增強(qiáng)體質(zhì)。校長告訴小笛卡爾，除非想去教室和別的同學(xué)們在一起，否則不必離開自己的房間。從那以后，笛卡爾終身保持了晚起的習(xí)慣，包括他在部隊(duì)當(dāng)兵時(shí)，當(dāng)他需要思考問題時(shí)，就躺在床上冥思苦想。笛卡爾后來回憶，那些在冥思中度過的漫長而安靜的早晨，是他的哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想的真正來源。據(jù)說，他是在床上看見天花板上蒼蠅的運(yùn)動(dòng)才發(fā)明坐標(biāo)系的。值得一提的是，盡管笛卡爾身體虛弱并愛睡懶覺，卻是個(gè)勇敢的軍人，并曾被授予中將軍銜，但被他拒絕。

笛卡爾在數(shù)學(xué)上的主要成就是創(chuàng)立了一門數(shù)學(xué)分支——解析幾何，同時(shí)他又被黑根爾贊譽(yù)為“近代哲學(xué)之父”。作為一個(gè)二元論者，笛卡爾明確地把心靈和肉體區(qū)分開來，其中心靈的作用如同其著名的哲學(xué)命題所表達(dá)的——“我思，故我在”。而在方法論上，笛卡爾則是一個(gè)徹頭徹尾的懷疑主義者，對他來說，懷疑是一種必要的手段，是哲學(xué)和心理學(xué)方法中的一個(gè)工具。笛卡爾認(rèn)為，我們從童年時(shí)代起就接受了許多偏見，如果得不到及時(shí)糾正，會(huì)持續(xù)到成年，進(jìn)一步他指出，“懷疑是一門藝術(shù)，它使我們脫離感覺的影響獲得解放。”

事實(shí)上，笛卡爾認(rèn)為，亞里士多德的三段論只是在推導(dǎo)已知結(jié)論時(shí)才有用，而不能用以發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)新?？墒牵b于當(dāng)時(shí)教會(huì)和政院哲學(xué)的權(quán)威，為了避免伽利略所受的那種牢獄之苦，笛卡爾的《幾何學(xué)》是作為他的哲學(xué)著作《方法論》的附錄三悄然出現(xiàn)的，當(dāng)然也不在正統(tǒng)的教科書之列。比笛卡爾晚兩輩的英國人牛頓是從社會(huì)傳聞而不是從課堂上了解到了笛卡爾的新哲學(xué)和新幾何，開始相信物理世界是由運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)粒子所組成的，并掌握了用代數(shù)方法解決幾何問題的方法。那以后不久，身為劍橋大學(xué)三一學(xué)院研究生的牛頓便在自己的農(nóng)莊里（因?yàn)槭笠叻偶伲?gòu)想了微積分學(xué)和萬有引力定理。

在笛卡爾時(shí)代，他在數(shù)學(xué)上有好幾位競爭對手。例如，畢生居住在法國南方山區(qū)小城圖盧茲的法官費(fèi)爾馬，他有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美號(hào)。今天我們大家都知道“費(fèi)爾馬大定理”，它是畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理）的推廣和提升，雖然結(jié)論截然相反。直到上個(gè)世紀(jì)末，這個(gè)定理才被英國數(shù)學(xué)家懷爾斯最后證明了。據(jù)說在笛卡爾生前，他經(jīng)常接到費(fèi)爾馬的挑戰(zhàn)，例如宣布發(fā)現(xiàn)某某數(shù)學(xué)規(guī)律卻不告之證明方法，這些挑戰(zhàn)有的是以書面的形式提出，有的是通過一位叫梅森的神甫傳達(dá)。說起這個(gè)梅森神甫，雖然算不上是偉大的數(shù)學(xué)家（僅以梅森素?cái)?shù)命名），卻是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)不可或缺的人物。

梅森神甫經(jīng)常乘自己外出布道的機(jī)會(huì)，到各地秘密會(huì)見數(shù)學(xué)家，并傳達(dá)各種最新的數(shù)學(xué)成果或發(fā)現(xiàn)。另一方面，他又在巴黎舉辦每周一次的數(shù)學(xué)沙龍，參加這個(gè)沙龍的人當(dāng)中就有一對叫帕斯卡爾的父子。那時(shí)候還沒有科學(xué)院之類的組織，梅森神甫的沙龍后來成為法國科學(xué)院的雛形。就像如今各國媒體每每聚焦娛樂、體育和商業(yè)明星，那個(gè)時(shí)代的智力生活才是巴黎人矚目的中心。老帕斯卡爾是個(gè)稅務(wù)局的官員，業(yè)余研究數(shù)學(xué)并發(fā)現(xiàn)了帕斯卡爾螺線，他的妻子去世以后，為了年幼兒子的教育，他沒有再婚，并把家從外省遷移到巴黎。

父親的教學(xué)方法注重解決問題，而不是材料的灌輸，從而提高了兒子動(dòng)手實(shí)驗(yàn)?zāi)芰ΑＥc此同時(shí)，考慮到兒子的體質(zhì)，做父親的側(cè)重于語言教育，至于數(shù)學(xué)方面，他只講授一些基本原理。這反而使得兒子對這門學(xué)科更為好奇和敏感，據(jù)說帕斯卡爾12歲那年，從未受過相關(guān)訓(xùn)練的他獨(dú)自推導(dǎo)出了幾何學(xué)中的一條定理，即三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于兩個(gè)直角之和。從那以后，父親才開始教授兒子歐幾里德幾何，不久父子倆一同參加了梅森神甫組織的數(shù)學(xué)沙龍。帕斯卡爾的主要數(shù)學(xué)成就包括概率論的創(chuàng)立（與費(fèi)爾馬合作）、二項(xiàng)式系數(shù)和射影幾何學(xué)中的帕斯卡爾定理（圓錐曲線的內(nèi)接六邊形三組對邊的交點(diǎn)共線）。

除了數(shù)學(xué)上的成就以外，帕斯卡爾還發(fā)明了計(jì)算機(jī)（初衷是為了幫助父親進(jìn)行稅務(wù)方面的計(jì)算）、流體壓力定律（水壓機(jī)便是這個(gè)定律的一個(gè)應(yīng)用），計(jì)算機(jī)中的帕斯卡爾語言和天氣預(yù)報(bào)中的大氣壓強(qiáng)單位帕均取自他的姓名。而在人文和哲學(xué)領(lǐng)域，帕斯卡爾取得了同樣非凡的成就。他的散文作品《思想錄》被公認(rèn)為是所有法國文學(xué)中的珍品，在宗教方面，他宣揚(yáng)可以通過心靈而不是通過理性來體驗(yàn)上帝的教義，他建立的直覺主義原理對于后來盧梭、實(shí)用主義和存在主義哲學(xué)家都有影響。

在達(dá)到盛名之后，帕斯卡爾和笛卡爾不約而同的選擇了隱居生活。笛卡爾說過，“ 我只要求安寧和平靜?！?盡管他和帕斯卡爾之間也有爭論，例如在真空是否真的存在這個(gè)問題上，但均是在理智和學(xué)術(shù)的范圍內(nèi)進(jìn)行的。事實(shí)上，他們兩人都不愛拋頭露面。笛卡爾成年以后，大部分時(shí)光居住在荷蘭，在這個(gè)多處地方低于海平面的國家，他不愿意把自己的住處告訴別人，包括一些親近的朋友，為此還多次更換寓所。他的座右銘是：“隱居得越深，生活得越好?！倍了箍柤葲]有進(jìn)過學(xué)校，也沒有謀求公職，后來干脆進(jìn)了巴黎郊外的一座修道院。無論帕斯卡爾還是笛卡爾，他們的創(chuàng)造力一直持續(xù)到了暮年。

相比笛卡爾和帕斯卡爾的多才多藝，費(fèi)爾馬把自己的聰明才智全部奉獻(xiàn)給了數(shù)論。這當(dāng)然與費(fèi)爾馬有著自己的職業(yè)、需要養(yǎng)家糊口有關(guān)，但我認(rèn)為更重要的是，費(fèi)爾馬與高斯、歐拉這三個(gè)對數(shù)論有杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，他們已經(jīng)從數(shù)論之美中獲得了滿足，因此不怎么需要尋求諸如藝術(shù)、哲學(xué)或宗教的滋養(yǎng)。從畢達(dá)哥拉斯時(shí)代人們就沉湎于發(fā)現(xiàn)數(shù)的神秘關(guān)系，優(yōu)美、簡潔、智慧是這門科學(xué)的特點(diǎn)。記得希爾伯特的傳記作者在談到大師放下代數(shù)不變量理論轉(zhuǎn)向數(shù)論研究時(shí)寫到，“數(shù)學(xué)中沒有一個(gè)領(lǐng)域能夠像數(shù)論那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量，吸引著數(shù)學(xué)家中的精華?！碑嫾铱刀ㄋ够舱J(rèn)為：“數(shù)是各類藝術(shù)最終的抽象表現(xiàn)?！?/p>

四、從費(fèi)爾馬到龐加萊

自從費(fèi)爾馬于1665年去世后，法國數(shù)學(xué)界有半個(gè)世紀(jì)的沉寂，之后從1820年代開始，接連誕生了一批數(shù)學(xué)大師，幾乎每隔七、八年就有一位，依次是克雷羅、達(dá)朗貝爾、蘭伯特、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、蒙日、卡諾、傅立葉、泊松、柯西、蓬斯萊、伽羅瓦，可以說法蘭西源源不斷地滋生出大數(shù)學(xué)家。他們中的每一個(gè)都成就非凡，如果放在其他國家里，都可能成為該國歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家。而法國人也是以此為傲，僅巴黎以數(shù)學(xué)家命名的街道、廣場、車站等就有百余處，巴黎二十個(gè)街區(qū)也是以阿拉伯?dāng)?shù)字命名，并以平面幾何學(xué)中的雙曲螺線為序排列。

以下我們選擇其中的七位數(shù)學(xué)家，他們后來走上不同的人生道路，但都能從不同的角度給我們以啟示。

達(dá)蘭貝爾，偏微分方程的開拓者，最早寫出了動(dòng)力學(xué)原理的著作，著名的《百科全書，或科學(xué)、藝術(shù)和工藝詳解詞典》的副主編（主編是哲學(xué)家狄德羅）。這是世界上第一部影響巨大的百科全書，網(wǎng)羅了一大批啟蒙思想家，并在編撰過程形成了一個(gè)被后人稱之為“百科全書”的哲學(xué)流派。他們反對封建特權(quán)制度和天主教會(huì)，向往合理的社會(huì)。主張一切制度和觀念要在理性的審判庭上受到批判和衡量，同時(shí)推崇機(jī)械工藝和體力勞動(dòng)，從中孕育了資產(chǎn)階級(jí)務(wù)實(shí)謀利的精神，并為1789年的法國大革命作了輿論準(zhǔn)備。

拉格朗日是拿破侖的親密朋友，后者稱他是“數(shù)學(xué)領(lǐng)域高聳的金字塔”，并讓他做上了參議員。他在微積分學(xué)的完善、微分方程、變分法、數(shù)論和群論等方面都有許多開創(chuàng)性的工作，他的名字遍布數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域?？墒侵心暌院螅窭嗜盏慕?jīng)歷與牛頓有著相似之處，即數(shù)學(xué)熱情銳減，正如他寫給達(dá)朗貝爾的信中所說的，“我開始感覺到我的惰性一點(diǎn)點(diǎn)地增加，我不能說從現(xiàn)在起還能再干十年數(shù)學(xué)。礦井已經(jīng)挖得夠深了，除非發(fā)現(xiàn)新的礦脈，否則就不得不拋棄它了?！惫唬D(zhuǎn)向了形而上學(xué)、宗教史、思想史、語言學(xué)等的研究。拉格朗日活得還算長壽，在有生之年他看到高斯完成了一部分偉大的事業(yè)，發(fā)現(xiàn)他當(dāng)年認(rèn)為數(shù)學(xué)已進(jìn)入衰敗時(shí)期的預(yù)想是錯(cuò)誤的。

拉普拉斯也是拿破侖的親密朋友，做為一個(gè)政治上的機(jī)會(huì)主義分子，他在法國大革命最動(dòng)蕩的日子里，無論哪個(gè)黨派得勢，他都能逢場作戲，迎合當(dāng)權(quán)者。他在概率論、微分方程、測地學(xué)和天體力學(xué)領(lǐng)域，都做出了杰出的貢獻(xiàn)，并享有“法蘭西的牛頓”的稱號(hào)。事實(shí)上，他畢生都積極投入把牛頓的萬有引力定律應(yīng)用于整個(gè)太陽系這項(xiàng)事業(yè)中。由于拉普拉斯在政治上比拉格朗日花費(fèi)了更多的精力（因此樹立起諂媚者的形象），他無暇顧及其他。早年的學(xué)生拿破侖把一切榮譽(yù)給了他，又任命他做了內(nèi)政大臣；王朝復(fù)辟以后，他隨即效忠于路易十八，又被封為候爵，并親手簽署了流放恩人的法令。

蒙日，畫法幾何的創(chuàng)立者（開拓了機(jī)械制圖和機(jī)械工程），微分幾何之父（用微積分學(xué)研究曲率，啟發(fā)高斯，進(jìn)而黎曼，發(fā)展出應(yīng)用于相對論的黎曼幾何學(xué)）。出身卑微，父親是磨刀匠，后來成為軍事學(xué)院的教官，與拿破侖結(jié)為密友。后者派蒙日為特使前往意大利接受作為“戰(zhàn)爭賠償”的藝術(shù)品，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)有比布置盧浮宮多出六倍的繪畫、雕塑作品被裝船時(shí)，出面制止。否則的話，今天羅馬梵蒂岡博物館和佛羅倫薩烏菲茨美術(shù)館里的許多價(jià)值連城的藏畫都不會(huì)留在意大利了。蒙日后來與裁縫的兒子、數(shù)學(xué)家傅里葉一起隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，在一次戰(zhàn)斗中拿破侖還救了他一命。

蓬斯萊（又譯蓬賽列），數(shù)學(xué)界的馬可?波羅，他早年參加拿破侖的軍隊(duì)，1812年，當(dāng)法軍從莫斯科退卻時(shí)他和其他數(shù)十萬士兵一起被捕。在這批法國戰(zhàn)俘中， 惟一受益的是這位年僅24歲的數(shù)學(xué)家。當(dāng)時(shí)他身邊什么書也沒有, 就開始在戰(zhàn)俘營里構(gòu)思巨著《論圖形的射影性質(zhì)》。他被釋放回國后, 于1822年在巴黎出版了此書, 這部著作開創(chuàng)了射影幾何史上的所謂“輝煌時(shí)期”。事實(shí)上，射影幾何因其引人矚目的美及其證明的優(yōu)雅，成為十九世紀(jì)幾何學(xué)家特別鐘愛的研究課題。而對于業(yè)余愛好者或某一階段感興趣的專業(yè)人士，它都是一個(gè)容易學(xué)到并有所成就的學(xué)科。

柯西，法國大革命那年出生在巴黎。極具文學(xué)天賦和詩才，也是帕斯卡爾之后所有法國數(shù)學(xué)家中最虔誠的。柯西一家避居鄉(xiāng)下時(shí)和拉普拉斯做了鄰居，后來父親出任參議院的秘書，因此小柯西又有機(jī)會(huì)得以見到拉格朗日，他贏弱的身體和聰明使得參議員給了同僚這樣的忠告，“在17歲以前，不要讓這個(gè)孩子摸數(shù)學(xué)書?！薄叭绻悴悔s快給他一點(diǎn)可靠的文學(xué)教育，他的趣味會(huì)使他沖昏頭腦?！弊龈赣H的牢記在心，后來他的兒子獲得了學(xué)校拉丁詩比賽的頭名和一次全國比賽的勝利。但這不妨礙柯西成為那個(gè)時(shí)代僅次于高斯的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)分析、實(shí)變和復(fù)變函數(shù)論、微分方程、線形代數(shù)、概率論和數(shù)學(xué)物理方面都有杰出的貢獻(xiàn)。

伽羅瓦，天才的最典型的例子，他21歲那年死于情人決斗，此前還兩次作為政治犯被捕入獄，卻是十九世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。在決斗前夜他以致友人書信的方式寫下自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，包含了所謂的伽羅華理論，這個(gè)理論奠定了群論的基礎(chǔ)。事實(shí)上，他是嚴(yán)格意義上用“群”（GROUP）這個(gè)詞的第一人，后來人們發(fā)現(xiàn)，群的概念不僅是抽象代數(shù)在二十世紀(jì)興起的重要因素，在幾何學(xué)中也起到立法分類的作用，同時(shí)它還推動(dòng)了量子力學(xué)的發(fā)展。伽羅瓦之所以會(huì)卷入愚蠢的決斗，固然與父親含冤自殺，他本人兩次報(bào)考大學(xué)未果，參與政治活動(dòng)被學(xué)院開除，有創(chuàng)見的論文被科學(xué)院忽視等事件有關(guān)，也與他自小偏科，被對數(shù)學(xué)的瘋狂主宰不無關(guān)系。

在伽羅瓦去世二十多年以后，法國才誕生了一位大數(shù)學(xué)家，他就是新近因?yàn)橐云涿置牟孪氆@得解決而重新引起全球公眾矚目的龐加萊，他的才華和成就橫跨了科學(xué)與人文兩大領(lǐng)域。龐加萊被認(rèn)為是通曉全部數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的最后一個(gè)人，他涉足的研究領(lǐng)域驚人地廣泛，并不斷使之豐富。他還是數(shù)學(xué)的天才普及者，其平裝本的通俗讀物被人們爭相搶購，并被譯成多種文字，在不同的國度和階層廣泛傳播，就如同后來的英國理論物理學(xué)家、《時(shí)間簡史》的作者斯蒂芬·霍金那樣。

龐加萊出生在法國東北部小城南錫，父親是一位著名的醫(yī)生。龐加萊的超常智力不僅使他接受知識(shí)極為迅速，同時(shí)擁有一副流利的口才，并從小得到才華出眾的母親的教導(dǎo)，卻不幸在五歲時(shí)患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能順利地用口語表達(dá)思想。但他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，且能準(zhǔn)確持久地記住讀過的內(nèi)容。小龐加萊擅長的科目包括文學(xué)、歷史、地理、自然史和博物學(xué)，他對數(shù)學(xué)的興趣來得比較晚，大約開始于15歲，不過很快顯露出非凡的才華。不久，他被保送到巴黎綜合工科學(xué)校（就是伽羅瓦兩次報(bào)考未被錄取的大學(xué)），開始了他的數(shù)學(xué)生涯。

龐加萊從未在一個(gè)領(lǐng)域作過久的逗留，一位同僚戲稱他是“征服者，而不是殖民者”。整個(gè)數(shù)學(xué)都是龐加萊的領(lǐng)域，但他對拓?fù)鋵W(xué)的貢獻(xiàn)無疑最為重要。以他名字命名的猜想曾并被懸賞一百萬美元。這個(gè)猜想說的是，任意三維的單連通閉流形必與三維球面同胚。有意思的是，這個(gè)猜想的推廣，即四維和四維以上的情形先期被兩位美國數(shù)學(xué)家證實(shí)，加上證明原猜想的俄國人佩雷爾曼，一共有三位數(shù)學(xué)家因?yàn)檠芯克群螳@得菲爾茲獎(jiǎng)，這在數(shù)學(xué)史上絕無僅有。在數(shù)學(xué)以外，龐加萊的貢獻(xiàn)也難以勝數(shù)：相對論、光學(xué)、電學(xué)、電報(bào)、彈性力學(xué)、熱力學(xué)、量子論、勢論、毛細(xì)現(xiàn)象、宇宙起源，等等。

龐加萊的哲學(xué)著作包括《科學(xué)與假設(shè)》、《科學(xué)的價(jià)值》和《科學(xué)方法論》，他是唯心主義約定論哲學(xué)的代表人物，認(rèn)為公理可以在一切可能的約定中進(jìn)行選擇，但需以實(shí)驗(yàn)事實(shí)為依據(jù)，避開一切矛盾。同時(shí)，他反對無窮集合的概念，反對把自然數(shù)歸結(jié)為集合論，認(rèn)為數(shù)學(xué)最基本的直觀是自然數(shù)，這使他成為直覺主義的先驅(qū)者之一。正是由于這些成就的取得才使他既當(dāng)選為法蘭西科學(xué)院的院士（后成為院長），又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院的院士，他同時(shí)處身于科學(xué)和人文兩座金字塔的塔尖。龐加萊相信藝術(shù)家和科學(xué)家之間創(chuàng)造力的共性，相信“只有通過科學(xué)與藝術(shù)，文明才體現(xiàn)出價(jià)值”。

五、結(jié)束語

法國人喜歡幻想并善于幻想，除了涌現(xiàn)出無數(shù)杰出的詩人、畫家和音樂家之外，他們在數(shù)學(xué)方面提出了許多偉大的猜想，例如費(fèi)爾馬定理、龐加萊猜想，均出自法國人的頭腦，還有一個(gè)中國人熟知的哥德巴赫猜想。在徐遲的同名報(bào)告文學(xué)里，談到了哥德巴赫這位18世紀(jì)的德國中學(xué)數(shù)學(xué)老師，他在給瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出了自己的猜想，這個(gè)猜想至今仍無人能夠證明。但不久以前，有人在笛卡爾散失的遺作里發(fā)現(xiàn)，早在哥德巴赫之前一個(gè)世紀(jì)，這位多才多藝的法國人便發(fā)現(xiàn)了這一數(shù)字規(guī)律，即每個(gè)大于或等于六的偶數(shù)均可表示成為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。當(dāng)然，由于笛卡爾早已經(jīng)鼎鼎大名了，連法國人也沒有要求把這個(gè)猜想的名字更改。

如果說工業(yè)革命的需要促使牛頓在英國發(fā)明了微積分，那么流血的法國大革命尤其是拿破侖的好戰(zhàn)也使得法國成就了一批精通理論和應(yīng)用的數(shù)學(xué)家。如上所述，那個(gè)時(shí)代的法國數(shù)學(xué)家?guī)缀醵寂c拿破侖交上了朋友，他們中的許多位曾在軍事學(xué)院和準(zhǔn)軍事學(xué)院就讀或任教。即便1789年出生的柯西，也在離拿破侖滑鐵盧之戰(zhàn)尚有五年時(shí)，到英吉利海峽的港口瑟堡擔(dān)任一名軍事工程師，當(dāng)時(shí)他身上只帶著四本書，拉普拉斯的《天體力學(xué)》、拉格朗日的《解析函數(shù)論》，一本天主教的教義和一冊維吉爾的詩集。從笛卡爾、帕斯卡爾、柯西等人的成才例子和伽羅瓦的早夭也可以看出，身體和智力上的平衡、科學(xué)與人文素養(yǎng)的兼?zhèn)涫呛蔚戎匾?/p>

或許是法蘭西的面積狹小，數(shù)學(xué)家們抬頭不見低頭見，加上鄰國之間的相互競爭，使得多數(shù)對數(shù)學(xué)感興趣的人有著高起點(diǎn)，他們相互影響和勉勵(lì)，形成了合理的良性循環(huán)。不僅如此，法國人研究數(shù)學(xué)的形式也別出心裁，例如著名的布爾巴基學(xué)派。1930年代，幾位在大學(xué)教授微積分學(xué)的青年人覺得現(xiàn)行使用的教材已經(jīng)過時(shí), 尤其是對多重積分等的處理不盡人意。幾番探討之后, 他們決計(jì)要寫一本盡可能現(xiàn)代的分析教程，結(jié)果有了一整套《數(shù)學(xué)原理》。這幫年輕人不計(jì)較個(gè)人名利，在相當(dāng)長的時(shí)間里，只用布爾巴基這個(gè)筆名發(fā)表數(shù)學(xué)論文，其中的多位成員如韋伊、嘉當(dāng)?shù)群髞沓蔀榇髱熂?jí)人物。他們引進(jìn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的概念，主要考慮一些對象的集合，而非具體的形、數(shù)、函數(shù)或運(yùn)算，這一思想構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心，但當(dāng)被應(yīng)用到中學(xué)教材改革時(shí)并不成功。

需要指出的是，本文提到的半數(shù)法國數(shù)學(xué)家與巴黎綜合工科學(xué)校（1794）結(jié)緣，而另一座同樣誕生于法國大革命期間、校名也同樣謙遜的巴黎高等師范學(xué)校（1808）則在上個(gè)世紀(jì)培養(yǎng)了八位菲爾茲獎(jiǎng)得主?？梢哉f，正是笛卡爾以降法國數(shù)學(xué)家擁有的人文素養(yǎng)，使得數(shù)學(xué)在法國長盛不衰。值得一提的是，這一良好的氛圍也熏陶了滯留巴黎的德國人萊布尼茨，他從一個(gè)肩負(fù)外交使命的秘密使臣一躍成為大數(shù)學(xué)家和大哲學(xué)家，他那轟動(dòng)一時(shí)的微積分學(xué)便是在巴黎期間發(fā)明的。萊布尼茨的出現(xiàn)標(biāo)志著德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同時(shí)也使得法國數(shù)學(xué)又多了一個(gè)強(qiáng)有力的競爭者。而布爾巴基學(xué)派的誕生，便是迫于德國數(shù)學(xué)后來居上的壓力和形勢之下。

反觀中國，雖說西漢時(shí)就有了《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，南朝時(shí)祖沖之對圓周率的估算領(lǐng)先世界一千多年，卻限于實(shí)用性的計(jì)算而忽視公理化建設(shè)和理論推導(dǎo)。近代以來，由于缺乏對外交流，中國和整個(gè)東方數(shù)學(xué)未跟上時(shí)代的腳步。等到國門重開，終于意識(shí)到自己的落后，擺在我們面前的困難重重。這里面當(dāng)然有機(jī)制和學(xué)風(fēng)的因素，不過我相信，如果我們的數(shù)學(xué)工作者年輕時(shí)多一些人文修養(yǎng)，盛年之后能把一部分精力轉(zhuǎn)向哲學(xué)思考或研究，及時(shí)探討數(shù)學(xué)的未來和外延。如同本文引言所說的，把數(shù)學(xué)看成是傳統(tǒng)文化的一部分，而不是做為敲門磚或謀取名利的手段，我們的數(shù)學(xué)事業(yè)就會(huì)興旺發(fā)達(dá)，數(shù)學(xué)研究和人才培養(yǎng)就會(huì)成為一種有序的制度，中國也有望成為真正的數(shù)學(xué)大國。◇