一種組合趨近律準(zhǔn)滑模控制的列車停車算法

陳東，牛宏俠，王剛，寧正，張肇鑫

(1. 蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)控制研究所，甘肅 蘭州 730070；2. 甘肅省高原交通信息工程及控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070)

城軌列車停車精度通常要求保證在±0.30 m內(nèi)。影響列車停車精度的主要因素有控制器的性能、停車時(shí)刻的速度、測(cè)量的反饋精度、線路的運(yùn)行環(huán)境等[1]，其中控制器的設(shè)計(jì)是重要因素之一，性能好的控制器在一定條件下能夠?qū)ζ渌绊懸蛩赜幸欢ǖ恼{(diào)整和補(bǔ)償，因此，目前研究主要集中在控制器控制算法上[2-3]。于振宇等[4]考慮了制動(dòng)力產(chǎn)生過程及傳輸延時(shí)的影響，從面向控制角度提出了列車制動(dòng)數(shù)學(xué)模型，通過現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該模型較好的描述了制動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，為后來許多研究學(xué)者搭建了控制制動(dòng)模型平臺(tái)。楊艷飛等[5]針對(duì)城軌列車模型具體參數(shù)未知，存在外界干擾時(shí)，設(shè)計(jì)了滑?？刂婆cPID組合的在線跟蹤控制器，通過PID誤差閉環(huán)控制來達(dá)到抑制抖振的目的，較好的解決了由滑模控制的引入而引起穩(wěn)態(tài)抖振問題?，F(xiàn)階段主要研究方向?yàn)閷?duì)于控制算法的優(yōu)化上，針對(duì)列車控制系統(tǒng)的非線性特性，控制器通常采用先進(jìn)控制智能化方法，如模糊控制[6]、預(yù)測(cè)控制[7]和自適應(yīng)控制[8]等，但文獻(xiàn)[6]和[7]控制器設(shè)計(jì)過程中，需事先得知模型的準(zhǔn)確參數(shù)，所以造成一定局限性。王青元等[9]引入?yún)?shù)自適應(yīng)機(jī)制，使得終端滑模控制增強(qiáng)自適應(yīng)性，且避免了切換頻繁，舒適性較好。本文在對(duì)比文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了組合趨近律的準(zhǔn)滑模控制停車算法，該控制算法，保留一般趨近律和變速趨近律兩種趨近律的優(yōu)點(diǎn)，來解決滑?？刂票旧矶墩竦膯栴}，無需另外設(shè)計(jì)其他輔助控制器來補(bǔ)償和消除抖振，物理實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，利于實(shí)現(xiàn)。通過仿真驗(yàn)證了組合趨近律準(zhǔn)滑模控制算法在停車過程中，不失舒適性的同時(shí)，能達(dá)到較高的停車精度。

1 列車制動(dòng)過程描述

ATO子系統(tǒng)在 ATP子系統(tǒng)的防護(hù)下自動(dòng)控制列車行駛，確保列車安全高效的運(yùn)行和列車自動(dòng)駕駛，用于替代司機(jī)完成列車牽引和制動(dòng)過程[3]，自動(dòng)實(shí)現(xiàn)列車的啟動(dòng)加速、勻速、惰行和制動(dòng)等基本功能，ATO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

列車制動(dòng)系統(tǒng)的主要功能是實(shí)現(xiàn)特性一致的制動(dòng)性能，由制動(dòng)控制器進(jìn)行管理。制動(dòng)控制系統(tǒng)通過反饋調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)控車加速度的跟蹤?？紤]電氣和機(jī)械裝置的傳輸延時(shí)，此動(dòng)態(tài)過程可以近似為具有延時(shí)環(huán)節(jié)的一階慣性系統(tǒng)來描述，為典型工業(yè)過程中一階滯后純延時(shí)環(huán)節(jié)[4]，可用式(1)來表述。

即

式中： ac(t)為控制加速度，它是由列車制動(dòng)控制器的作用而產(chǎn)生的加速度； at(t)為目標(biāo)加速度，它是由ATO指令而產(chǎn)生的期望加速度；τ為系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)；σ為傳輸延時(shí)時(shí)間。

在實(shí)際運(yùn)行過程中，列車會(huì)受到不同環(huán)境所形成阻力的影響，如彎道、坡道等，從而產(chǎn)生附加加速度d(t)。實(shí)際加速度a(t)由控制加速度ac(t)和附加加速度 d(t)組成，實(shí)際加速度大小影響列車實(shí)際運(yùn)行速度。

設(shè)定列車制動(dòng)控制運(yùn)行為無極制動(dòng)模式，列車制動(dòng)模型框圖如圖2所示。

圖1 ATO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig. 1 ATO system structure

圖2 制動(dòng)模型框圖Fig. 2 Block diagram of brake model

圖2 中，目標(biāo)加速度at(t)為列車控制器的輸入指令，是通過ATO作用控制指令uc(t)產(chǎn)生，之間滿足一定的靜態(tài)函數(shù)關(guān)系，如式(5)所示。

為了便于簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)，將式(1)中的傳輸延時(shí)相采用pade方法來近似

式中：λ是與σ相關(guān)的常數(shù)，一般取為2/σ。

列車制動(dòng)運(yùn)行過程如圖3所示，當(dāng)列車通過制動(dòng)位置點(diǎn)，由正常行駛狀態(tài)轉(zhuǎn)為制動(dòng)停車模式，列車將沿著目標(biāo)制動(dòng)曲線運(yùn)行。在控制精確停車的過程中，難點(diǎn)就是要求確定的位置，對(duì)應(yīng)設(shè)定確定的速度。由于是無極制動(dòng)模式，為達(dá)到停車過程舒適性，對(duì)應(yīng)加速度設(shè)置為恒定值。

圖3 列車制動(dòng)運(yùn)行過程Fig. 3 Train brake operation process

進(jìn)入停車制動(dòng)過程，首先，由于制動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的延遲性，開始對(duì)目標(biāo)曲線跟蹤有一定時(shí)間上的滯后；其次，整個(gè)停車運(yùn)行過程可能會(huì)有彎道、坡道等外界擾動(dòng)的影響。設(shè)計(jì)控制器的目的便是使制動(dòng)系統(tǒng)盡快響應(yīng)和克服外界環(huán)境擾動(dòng)的影響，保證列車最優(yōu)的跟蹤目標(biāo)運(yùn)行曲線。

2 控制器設(shè)計(jì)

由于外界的擾動(dòng)，如彎道、坡道等，不是一個(gè)瞬態(tài)值，要持續(xù)一定時(shí)間，這將導(dǎo)致控制誤差在一定時(shí)間內(nèi)持續(xù)存在，使得控制精度不高?？刂破鞯淖饔檬鞘沟幂敵鲋稻_地跟蹤期望值，對(duì)于持續(xù)一定時(shí)間的擾動(dòng)量，將產(chǎn)生的誤差，通過輸入uc(t)與at(t)的靜態(tài)關(guān)系 F(·)-1反饋給ATO輸入指令，通過在線調(diào)整uc輸入，使得整個(gè)系統(tǒng)輸出實(shí)際加速度a保持不變的目的。系統(tǒng)總控制結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示，下文針對(duì)控制器部分進(jìn)行設(shè)計(jì)。

圖4 系統(tǒng)總控制結(jié)構(gòu)框圖Fig. 4 Total control block diagram of the system

2.1 滑模變結(jié)構(gòu)控制

滑模變結(jié)構(gòu)控制本質(zhì)上是一類特殊非線性控制，非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性?；瑒?dòng)模態(tài)的設(shè)計(jì)與對(duì)象參數(shù)及擾動(dòng)無關(guān)，這便使得其具有快速響應(yīng)、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)，物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。缺點(diǎn)是當(dāng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)后，在滑模面兩側(cè)來回穿越地趨近平衡點(diǎn)，從而產(chǎn)生抖振。

對(duì)于連續(xù)滑?？刂苹締栴}，控制系統(tǒng)模型設(shè)為

只需確定切換函數(shù)

求得控制函數(shù)

其中： u+( x) ≠ u-(x)，使其滿足存在及可達(dá)穩(wěn)定性的要求。

滑?？刂评碚撝饕轻槍?duì)連續(xù)系統(tǒng)模型，因?yàn)橹挥欣硐氲倪B續(xù)滑模變結(jié)構(gòu)控制，才具有切換邏輯變結(jié)構(gòu)控制產(chǎn)生等效控制 u；而在實(shí)際工程中，計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制均為離散系統(tǒng)，對(duì)于離散系統(tǒng)，其滑?？刂撇荒墚a(chǎn)生理想的滑動(dòng)模態(tài)，只能產(chǎn)生準(zhǔn)滑模控制?？紤]到計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制和實(shí)際的需求，本文應(yīng)用離散滑模變結(jié)構(gòu)控制[10]來設(shè)計(jì)控制器。

2.2 準(zhǔn)滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

設(shè)二階離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中： x (k ) =[x1( k ) ; x2(k)]，d(k)為干擾信號(hào)。

制動(dòng)控制系統(tǒng)通過反饋調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)控車加速度的跟蹤，設(shè)輸入目標(biāo)指令為 r(k)，則其變化率為 dr(k)=[r(k)-r(k-1)]/t′，取 R(k)=[r(k), dr(k)]T，則R(k+1)=[r(k+1), dr(k+1)]T。其中r(k+1)及dr(k+1)值采用線性外推的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，即

設(shè)切換函數(shù)為

其中：Ce=[c 1]。則

得到控制率為

式(10)中：s(k+1)為與趨近律相關(guān)項(xiàng)，對(duì)其進(jìn)行分析及設(shè)計(jì)。

趨近律的概念首先由高為炳院士提出，列舉了諸如等速趨近律、冪次趨近律、指數(shù)趨近律直到一般趨近律，得出6點(diǎn)結(jié)論，具體見參見文獻(xiàn)[11]。

定義切換區(qū)為：

在連續(xù)滑模變結(jié)構(gòu)控制中，通常選取指數(shù)趨近律[12]為

對(duì)應(yīng)離散系統(tǒng)指數(shù)趨近律為

其中：ε＞0，q＞0，1-t′q＞0，t′為采樣周期。

對(duì)于指數(shù)趨近律，由式(11)可知，

當(dāng) s(k)=0+時(shí)，s(k+1)=-t′ε；

當(dāng) s(k)=0-時(shí)，s(k+1)=t′ε，表明切換帶為不過原點(diǎn)的寬度為 2Δ=2t′ε的帶狀，穩(wěn)態(tài)時(shí)，在這個(gè)帶狀間來回切換，若不考慮其他因素造成的抖振，則符號(hào)函數(shù)系數(shù)值ε直接決定了抖振的幅度。

圖5 趨近律相軌跡圖Fig. 5 Reaching law phase trajectories

由連續(xù)系統(tǒng)可知，指數(shù)趨近率能以較大的速度趨近滑動(dòng)模態(tài)，尤其適合解決具有較大階躍的響應(yīng)控制問題；然而指數(shù)趨近律有它自身的缺點(diǎn)，由圖5(a)也可以看出，即切換帶為帶狀，當(dāng)系統(tǒng)在切換帶中趨向穩(wěn)定原點(diǎn)時(shí)，到達(dá)后是一個(gè)在原點(diǎn)附近的抖動(dòng)帶，而不能較準(zhǔn)確的達(dá)到穩(wěn)定原點(diǎn)。這種抖動(dòng)帶可能會(huì)激勵(lì)系統(tǒng)中存在的未建模高頻成分，從而增加控制器的負(fù)擔(dān)。

在連續(xù)系統(tǒng)中，滑?？刂谱兯仝吔蒣13]為

將此變速趨近律應(yīng)用到離散系統(tǒng)中，相應(yīng)的離散形式為其中：ε＞0，t′為采樣周期。

對(duì)于變速趨近律，由式(14)可知，當(dāng)s(k)=0+時(shí)，s(k +1) = -t′ε φ(k)，當(dāng)s(k)=0-時(shí)，s(k+1)=t′ε φ(k ) 。

以上2式說明在二階系統(tǒng)中，變速趨近律的切換帶是經(jīng)過原點(diǎn)的2條射線組成，其中s=0夾在中間。對(duì)應(yīng)k時(shí)刻的帶寬可表示為

變速趨近律的滑?？刂葡嘬壽E，由圖5(b)所示，從切換帶趨向穩(wěn)定原點(diǎn)過程隨著誤差的減小，抖振也越來越小，最后當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，可穩(wěn)定于原點(diǎn)，具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。但開始進(jìn)入滑模面時(shí)，由于φ(k)較大，從而帶寬較大，抖振較大，這是變速趨近律的不足之處。

本文綜合2種趨近律控制的優(yōu)點(diǎn)，即在滑模運(yùn)動(dòng)前期，采用指數(shù)趨近律的控制率，以較快的速度趨近滑模面，振幅也不至于較大；在滑模運(yùn)動(dòng)的后期和穩(wěn)定段，采用變速趨近律的控制率，有效的降低了穩(wěn)態(tài)時(shí)的抖振，具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。

通過選取一個(gè)誤差參數(shù) ζ(ζ＞0)，當(dāng) φ(k)＞ζ時(shí)，采用指數(shù)趨近律；當(dāng) φ(k)≤ζ時(shí)，采用變速趨近律。設(shè)計(jì)過程中ζ值的大小必須選取適當(dāng)，太大或太小則起不到預(yù)想的效果，具體控制率轉(zhuǎn)折點(diǎn)ζ值的選取，可根據(jù)實(shí)際情況調(diào)定。

將式(12)和(14)分別代入式(10)可得本文組合趨近律準(zhǔn)滑模控制率為：

其中：

式中：用 sat(s(k))來代替理想滑動(dòng)模態(tài)中的符號(hào)函數(shù) sgn(s(k))。其目的是在邊界層之間切換時(shí)，采用線性化對(duì)其反饋，而非階躍反饋，減小在滑動(dòng)模態(tài)快速切換時(shí)產(chǎn)生的抖振。

選取Lyapunov函數(shù)為

由連續(xù)系統(tǒng) Lyapunov第二穩(wěn)定性定理可知，若V˙負(fù)定、半負(fù)定，則系統(tǒng)的平衡位置是漸進(jìn)穩(wěn)定、穩(wěn)定的。對(duì)于離散系統(tǒng)，對(duì)式(16)求導(dǎo)

故只需判斷 s (k + 1 )2- s (k)2＜ 0 ，s(k) ≠ 0 即可，s(k) = 0 是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡面，任意初始位置的狀態(tài)都會(huì)趨向這個(gè)面。

采樣時(shí)間 t′很小時(shí)，離散滑模的存在和達(dá)到條件[14]為

當(dāng) φ(k)＞ζ時(shí)，由式(12)可知

當(dāng)采樣時(shí)間 t′很小時(shí)，s(k+1)=s(k)-t′εsgn(s(k))-t′qs(k)≈0，則 s(k)≈t′εsgn(s(k))+t′qs(k)，對(duì)應(yīng)符號(hào)一致性得|s(k)|≈t′ε+t′q|s(k)|，那么

因此，當(dāng) φ(k)＞ζ時(shí)，式(15)滿足式(17)的存在和達(dá)到條件。

同理，當(dāng) φ(k)≤ζ時(shí)，由式(14)知

由于 φ(k)≤ζ時(shí)，誤差已經(jīng)很小，且在向s(k) = 0 趨近，則

那么

因此，當(dāng) φ(k)≤ζ時(shí)，式(15)也滿足式(17)的存在和達(dá)到條件。

綜上，組合趨近律準(zhǔn)滑?？刂坡适?15)滿足離散滑動(dòng)模態(tài)的存在性和可達(dá)性條件，故所設(shè)計(jì)的控制器是穩(wěn)定的。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)算法在列車停車控制器上的有效性，對(duì)控制器算法在 MATLAB環(huán)境下進(jìn)行仿真分析。考慮舒適性的要求，設(shè)理想恒定制動(dòng)減速度為-0.65 m/s2，制動(dòng)初始參考位置為0 m，制動(dòng)初始速度為19.8 m/s，最大制動(dòng)減速度為-1 m/s2，在參考線路100~200 m之間設(shè)置擾動(dòng)加速度，具體相關(guān)仿真參數(shù)如表 1，控制器相關(guān)參數(shù)設(shè)定如表 2所示。

表1 列車運(yùn)行相關(guān)參數(shù)Table 1 Train operation related parameters

表2 控制器參數(shù)Table 2 Controller parameters

列車停車過程為了達(dá)到較高舒適性要求，需要平穩(wěn)的操縱序列。通過與PID控制仿真對(duì)比，由圖6也可直觀的看出，組合趨近律準(zhǔn)滑?？刂扑惴▽?duì)于停車過程響應(yīng)時(shí)間快，超調(diào)量小，能在較高實(shí)時(shí)性下達(dá)到穩(wěn)態(tài)。

圖6 PID控制與組合趨近律準(zhǔn)滑?？刂茖?duì)比Fig.6 PID control compared with the combined reaching law sliding mode control

由于系統(tǒng)本身響應(yīng)滯后特性，在開始階段具有一定的超調(diào)誤差，本控制算法在很短的時(shí)間內(nèi)跟蹤到目標(biāo)曲線，具有較高的實(shí)時(shí)性和舒適性特點(diǎn)，且完成高精度停車要求。相對(duì)應(yīng)位移-速度曲線如圖7所示，虛線表示理想目標(biāo)位移-速度曲線，實(shí)線表示本文設(shè)計(jì)算法跟蹤曲線。

圖7 組合趨近律準(zhǔn)滑?？刂频奈灰?速度曲線Fig. 7 Combined reaching law sliding mode control of displacement-speed curves

對(duì)于設(shè)定此參數(shù)的列車系統(tǒng)，列車運(yùn)行過程中當(dāng)給系統(tǒng)附加相對(duì)于目標(biāo)加速度值-2.3%~2.3%之間的外界隨機(jī)干擾時(shí)，相對(duì)應(yīng)列車運(yùn)行的位移誤差最大絕對(duì)值滿足在0.30 m之內(nèi)的要求，如圖8所示。

圖8 隨機(jī)擾動(dòng)下的位移誤差Fig. 8 With random disturbance’s displacement errors

列車運(yùn)行周期主要影響的參數(shù)因子為 σ，σ的變化從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)模型的變化；該仿真試驗(yàn)是在參數(shù)τ保持不變，σ在1.05~1.35 s之間變化時(shí)進(jìn)行，仿真結(jié)果如表3所示。

表3 主要影響參數(shù)σ變化時(shí)的位移誤差Table 3 Displacement errors of main influencing parameter σ changes

綜上，組合趨近律準(zhǔn)滑?？刂圃谝欢ǚ秶S機(jī)擾動(dòng)條件和運(yùn)行過程主要影響參數(shù)σ一定范圍內(nèi)變化時(shí)，停車位移誤差均滿足精確停車的要求，且對(duì)于列車停車制動(dòng)過程具有較強(qiáng)魯棒性。

4 結(jié)論

1) 該控制算法保證了列車停車精度，對(duì)于列車停車控制是有效的。

2) 該控制算法能消除一般指數(shù)趨近律達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的抖振問題，物理結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。

3) 相比PID控制算法，該控制器算法響應(yīng)快，完成精確停車同時(shí)對(duì)外界擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

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