跳舞的硬幣

范曹耘

摘 要：從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，利用理想氣體狀態(tài)方程解釋了由于氣體膨脹導(dǎo)致的瓶口硬幣跳起現(xiàn)象，并利用熱傳導(dǎo)的相關(guān)知識(shí)近似求解了氣體溫度改變的理論表達(dá)式，MATLAB擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取得了良好的吻合。

關(guān)鍵詞：熱傳導(dǎo)；氣體能量；理想氣體狀態(tài)方程

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2018）12-0047-3

1 問(wèn)題提出

一個(gè)放置在低溫處的瓶子移到常溫處，并將一個(gè)硬幣放置在瓶子的瓶口處。膨脹的氣體將會(huì)把硬幣頂開(kāi)。本文試圖通過(guò)理論計(jì)算，解釋實(shí)驗(yàn)中硬幣的跳起過(guò)程與溫度之間的關(guān)系。

2 實(shí)驗(yàn)儀器

1元硬幣：質(zhì)量為6.1 g，直徑為25 mm。

容器：塑料瓶，容積為600 mL，瓶口內(nèi)徑為22 mm。

溫度計(jì)：量程為0～100℃，最小刻度為1 ℃。

3 具體實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)前準(zhǔn)備

首先，將塑料瓶、硬幣放入冰箱。并測(cè)定冰箱的環(huán)境溫度以及室溫。經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，當(dāng)塑料瓶和硬幣的溫度與冰箱的環(huán)境溫度相同時(shí)，一切就緒。

3.2 實(shí)驗(yàn)步驟

快速?gòu)谋渲腥〕鏊芰掀亢陀矌?，放置在水平桌面上。盡快將硬幣覆蓋在瓶口。注意，為了使硬幣和瓶口間密封，應(yīng)事先濕潤(rùn)硬幣和瓶口，此時(shí)當(dāng)硬幣蓋上時(shí)接觸面間由于水的存在產(chǎn)生了“液封”效應(yīng)，這一步是實(shí)驗(yàn)成功的關(guān)鍵。

3.3 數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)采用冰箱的環(huán)境溫度為1.5 ℃，室溫為19.7 ℃，硬幣總共跳起39次。具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 跳起次數(shù)與時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

4 跳起次數(shù)和溫度的關(guān)系

理論計(jì)算需要以下假設(shè)：大氣壓為p0；初始?xì)怏w溫度為T(mén)0，室溫為T(mén)E；塑料瓶容積為V；普適氣體常數(shù)為R；初始瓶?jī)?nèi)氣體物質(zhì)的量為n0。并且假設(shè)氣體膨脹始終近似滿足準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。

由于塑料瓶容積始終不變，由理想氣體狀態(tài)方程可得，在任意情況下等式（1）始終成立：

=c（1）

其中，n，T，p分別表示在任意時(shí)刻瓶?jī)?nèi)氣體的物質(zhì)的量、溫度、壓強(qiáng)。

在初始情況，自然有：

=c（2）

這里假設(shè)頂開(kāi)硬幣時(shí)所需氣體壓強(qiáng)滿足：

p1=p0（1+ε）（3）

當(dāng)硬幣被頂開(kāi)時(shí)，瓶?jī)?nèi)氣體涌出瓶口，使瓶?jī)?nèi)氣壓與大氣壓再度平衡。因此，可計(jì)算得到在硬幣跳起前后，瓶?jī)?nèi)氣體的各個(gè)參量，如表2。（注：漏n前指第n次漏氣時(shí)刻前）

表2 氣體參量數(shù)值理論計(jì)算表

根據(jù)硬幣跳起的臨界條件：

p1·S=p0·S+mg（4）

可解得ε的理論表達(dá)式：

ε= （5）

將硬幣的質(zhì)量和半徑數(shù)值代入（5）式可得：

ε= =1.6×10-3（6）

由于當(dāng)x<<1時(shí)，（1+x）n=1+n·x，而ε的確遠(yuǎn)小于1，所以由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)硬幣第n次跳起時(shí)，瓶?jī)?nèi)氣體溫度約為：

Tn=T0（1+ε）n=T0（1+εn）（7）

得到結(jié)論：近似的，瓶?jī)?nèi)氣溫每上升相同幅度，硬幣就跳起一次。

將具體溫度數(shù)據(jù)帶入，注意應(yīng)當(dāng)將溫度單位轉(zhuǎn)化為開(kāi)爾文進(jìn)行計(jì)算。求得硬幣跳起的理論次數(shù)為：

S= =43（8）

與實(shí)際得到的跳起次數(shù)39次比較接近。

5 時(shí)間和溫度的關(guān)系

為了進(jìn)一步計(jì)算瓶?jī)?nèi)氣體溫度與時(shí)間的關(guān)系，從而更好地理解硬幣跳起的時(shí)間規(guī)律，我們就需要對(duì)瓶子的熱量傳遞進(jìn)行分析。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，熱量的傳遞可以利用傅里葉定律以及牛頓冷卻定律求解。設(shè)傳熱表面的表面積為A。

傅里葉定律：

=-λA （9）

其中，塑料瓶的導(dǎo)熱系數(shù)記為λ。

牛頓冷卻定律：

=-Ah（T2-T1）（10）

其中，塑料瓶與空氣的傳熱系數(shù)記為h。

理想氣體能量：

E=n RT（11）

引入?yún)?shù)瓶?jī)?nèi)壁溫度為T(mén)i，瓶外壁溫度為T(mén)0。代入（9）（10）（11）式，分別得到單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)瓶外壁的熱量 與流過(guò)瓶?jī)?nèi)壁的熱量 ，單位時(shí)間氣體能量增量 ，單位時(shí)間通過(guò)塑料瓶的熱量 ：

=Ah1（TE-T0） =Ah2（Ti-T） =n R =-λA （12）

假設(shè)在熱傳遞過(guò)程中，塑料瓶本身所吸收的熱量可以忽略。利用能量守恒可以得到能量傳遞的關(guān)系：

= = = （13）

得到微分形式的解為：

n = （14）

由于塑料瓶?jī)?nèi)外壁的制作工藝不同，所以需要引入h1，h2，分別表示塑料瓶?jī)?nèi)外壁與空氣的傳熱系數(shù)，L為塑料瓶的厚度。

代入初始?xì)怏w溫度為T(mén)0，得到瓶?jī)?nèi)氣體溫度的時(shí)間函數(shù)，可以看出，其形式為一個(gè)指數(shù)函數(shù)：

T=T -（T -T ）·e （15）

為了驗(yàn)證函數(shù)的正確性，選擇對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)運(yùn)用MATLAB的curve fitting功能進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。

選擇擬合函數(shù)為：

T（t）=ae[-b（x+d）]+c（16）

得到的擬合曲線如圖1所示。

圖1 時(shí)間與溫度的擬合曲線

得到的擬合參數(shù)為：

a=-13.94；b=0.009805；c=16.3；d=-23.48。

擬合曲線的相關(guān)指標(biāo)為：

SSE：10.65；R-square：0.9889；Adjusted R-square：0.9879；RMSE：0.5517。

從擬合曲線看，在300 s之前，曲線的擬合準(zhǔn)確性較好，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度高；300 s之后，擬合曲線逐漸低于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

從擬合參數(shù)看，曲線預(yù)測(cè)的起始溫度為（a+c）=2.36℃；室溫為c=16.3 ℃。大致與實(shí)驗(yàn)測(cè)量條件的起始溫度1.5 ℃及室溫19.7 ℃接近。

從擬合指標(biāo)看，確定系數(shù)為0.9879，擬合曲線對(duì)數(shù)據(jù)的解釋能力較強(qiáng)；在39個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的情況下，和方差與均方根均在令人信服的范圍內(nèi)?？傮w來(lái)說(shuō)，擬合效果良好。

6 誤差分析

6.1 水的張力

當(dāng)計(jì)算硬幣跳起的臨界氣壓時(shí)，只考慮了硬幣的重力，而忽略了水的張力導(dǎo)致的阻礙硬幣跳起的影響。

所以，ε的表達(dá)式應(yīng)修改為：

ε'= （17）

其中根據(jù)文獻(xiàn)[2]，水的張力可近似表達(dá)為：

FW=απ（DI+DO）=0.007 N（18）

其中，DI，DO分別為圓環(huán)的外徑和內(nèi)徑，α為液體的表面張力系數(shù)。

而原本使用的重力為mg=0.06 N。將修正后的ε'=1.17ε代入（8）式，得到修正的硬幣跳起數(shù)S'= =38.5，與實(shí)驗(yàn)值39相當(dāng)接近，側(cè)面說(shuō)明了水的張力對(duì)硬幣跳起過(guò)程產(chǎn)生的重要影響。

6.2 氣體溢出

在硬幣跳起過(guò)程中，瓶?jī)?nèi)氣體不斷溢出。但是在計(jì)算氣體內(nèi)能時(shí)，依然選擇了最初瓶?jī)?nèi)氣體的物質(zhì)的量進(jìn)行計(jì)算，這是存在誤差的。

當(dāng)最終瓶?jī)?nèi)氣體穩(wěn)定時(shí)，初末氣體的物質(zhì)的量滿足關(guān)系：

n0T0=nT= =C（19）

進(jìn)而得到初末氣體的物質(zhì)的量之比為：

= = =1.07（20）

所以，對(duì)氣體物質(zhì)的量的近似選取也存在一定誤差。前文提到，在300 s之后，擬合曲線逐漸低于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從氣體溢出角度，隨著硬幣跳起次數(shù)的增加，瓶?jī)?nèi)氣體物質(zhì)的量減小，導(dǎo)致吸收熱量后升溫幅度加大，擬合曲線低于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。在300 s前，氣體溢出的量不足以反映在溫度變化上。

7 結(jié) 論

①瓶?jī)?nèi)氣體膨脹使內(nèi)外壓強(qiáng)不同是硬幣跳起的原因；

②相鄰兩次硬幣跳起時(shí)瓶?jī)?nèi)氣體溫度之差為常數(shù)，為ΔT=εT0；

③瓶?jī)?nèi)氣體溫度隨時(shí)間變化近似滿足函數(shù)：

T =T -（T -T ）·e

④水的張力和瓶?jī)?nèi)氣體溢出是實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生誤差的主要原因。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊世銘，陶文銓. 傳熱學(xué)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]陳鳳鳳，顧文秀，鄭秋容，等. “拉環(huán)法測(cè)定液體表面張力”實(shí)驗(yàn)討論[J].廣東化工，2011（6）：108.

（欄目編輯 王柏廬）