與彈簧有關(guān)的機(jī)械能守恒問(wèn)題的剖析

宋國(guó)平

在中學(xué)階段，“與彈簧有關(guān)的機(jī)械能守恒問(wèn)題”對(duì)學(xué)生的綜合分析能力有較高的要求。系統(tǒng)機(jī)械能守恒的條件是只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功。所以與彈簧相關(guān)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問(wèn)題有必要深入剖析。 —、彈簧彈力的特點(diǎn)

1.具有連續(xù)性

彈簧彈力的表達(dá)式是F=kx，在彈性限度內(nèi)，當(dāng)x從零連續(xù)變化到最大值時(shí)，彈力也可以從零連續(xù)變化到彈性限度的最大值，且F隨x均勻變化。因此彈簧彈力做功就可以用平均力求解，即W=Fxcosθ（此處指F指彈簧平均力的大?。?/p>

例1 如圖1所示，彈簧的一端固定，另一端連接一個(gè)物塊，彈簧質(zhì)量不計(jì)。物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量為m，在水平桌面上沿x軸運(yùn)動(dòng)，與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。以彈簧原長(zhǎng)時(shí)物塊的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，當(dāng)彈簧的伸長(zhǎng)量為x時(shí)，物塊所受彈簧彈力大小為F=kx，k為常量。

（1）請(qǐng)畫出F隨x變化的示意圖；并根據(jù)F-x圖象求物塊沿x軸從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置x的過(guò)程中彈力所做的功；

（2）物塊由x₁向右運(yùn)動(dòng)到x₃，然后由x₃返回到x₂，在這個(gè)過(guò)程中，求彈力所做的功，并據(jù)此求彈性勢(shì)能的變化量。

解析 （1）F-x圖象如圖2所示。物塊沿x軸從0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置x的過(guò)程中，彈力做負(fù)功：F-x圖線下的面積等于彈力做功大小.（此處也可以理解為是用平均彈力求功）

2.彈力做功不改變機(jī)械能只有重力或彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒?？梢詮囊韵滤膫€(gè)方面進(jìn)行理解：

（1）物體只受重力或彈力作用。

（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或彈力做功。

（3）其他力做功，但做功的代數(shù)和為零。

（4）存在相互作用的物體組成的系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，無(wú)其他形式能量的轉(zhuǎn)化。

功是能量轉(zhuǎn)化的量度，能量的轉(zhuǎn)化必有力做功。若只有重力、彈簧彈力做功，涉及轉(zhuǎn)化的能量只有重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和動(dòng)能，而重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和動(dòng)能都屬于機(jī)械能，所以在重力、彈力做功的時(shí)候，是把機(jī)械能內(nèi)部的能量進(jìn)行了轉(zhuǎn)化。故系統(tǒng)機(jī)械能的總值是不變的，只是機(jī)械能的內(nèi)部構(gòu)成有所變化。

例2如圖3所示，一質(zhì)量為m的小球固定于輕質(zhì)彈簧的一端，彈簧的另一端固定于0點(diǎn)處，將小球拉至A處，彈簧恰好無(wú)形變，由靜止釋放小球，它運(yùn)動(dòng)到0點(diǎn)正下方B點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)間豎直高度差為h，物體到B點(diǎn)時(shí)速度為ν，則（ ）

A.由4到B重力做的功等于mgh

B.由A到B重力勢(shì)能減少1/2mν²

C.由A到B小球克服彈力做功為mgh

D.小球到達(dá)位置B時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能mgh-1/2mν²

解析 重力做功W=mgh，與是否受其它力無(wú)關(guān)，因此A正確；從A下降到B的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mgh=E_彈+1/2mν²，重力勢(shì)能的減小量就是mgh，因此B選項(xiàng)錯(cuò)誤；而在這個(gè)過(guò)程中，克服彈力做的功等于彈性勢(shì)能的增加量，即W_克彈=mgh-1/2mν²；C錯(cuò)誤，D正確.所以，本題答案為AD。

機(jī)械能包括動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能，動(dòng)能屬于運(yùn)動(dòng)物體的。重力勢(shì)能屬于地球和物體這個(gè)系統(tǒng)所共有的，彈性勢(shì)能是由彈簧自身決定的，即由彈簧的形變量和彈簧的勁度系數(shù)決定，與外界其他因素?zé)o關(guān)，在例2中，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒嗎？顯然是不守恒的，因?yàn)樵谠撓到y(tǒng)中，存在重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化的。這三者之和是定值。而彈簧的彈性勢(shì)能是增加的，所以物體的機(jī)械能不守恒，系統(tǒng)的機(jī)械能才守恒，即物體和彈簧組成的系統(tǒng)的機(jī)械能才守恒。 二、與彈簧的彈性勢(shì)能有關(guān)的題型賞析

例3 如圖4所示，將質(zhì)量均為m厚度不計(jì)的兩物塊A、B用輕質(zhì)彈簧相連接，現(xiàn)用手托著B(niǎo)物塊于H高處，A在彈簧彈力的作用下處于靜止后，將彈簧鎖定。現(xiàn)由靜止釋放A、B兩物塊，B物塊著地時(shí)速度立即變?yōu)榱?，與此同時(shí)解除彈簧鎖定，在隨后的過(guò)程中，當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)A物塊運(yùn)動(dòng)的速度為ν₀，且過(guò)程中B物塊恰能離開(kāi)地面但不能繼續(xù)上升。已知彈簧具有相同形變量時(shí)彈性勢(shì)能也相同。求：

（1）B物塊著地后，A在隨后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A所受合外力為零時(shí)的速度ν₁；

（2）從B物塊著地到B物塊恰能離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升的過(guò)程中，A物塊運(yùn)動(dòng)的位移△x；

（3）第二次用手拿著A、B兩物塊，使得彈簧豎直并處于原長(zhǎng)狀態(tài)，此時(shí)物塊B離地面的距離也為H，然后由靜止同時(shí)釋放A、B兩物塊，B物塊著地后速度同樣立即變?yōu)榱?。求第二次釋放A、B后，B剛要離地時(shí)A的速度ν₂.

解析 在該題中涉及多個(gè)狀態(tài)，再加上兩個(gè)物體和彈簧放在一起，易讓學(xué)生眼花繚亂，但只要我們能分析到B開(kāi)始落地瞬間和B剛好要離開(kāi)而不能離開(kāi)地面的兩個(gè)狀態(tài)的彈簧的彈性勢(shì)能是一樣的，則可迎刃而解。

（1）設(shè)A、B下落H高度時(shí)速度為ν，由機(jī)械能守恒定律得：

三、高考題中出現(xiàn)的與彈簧有關(guān)的機(jī)械能守恒的題目賞析

例4如圖5所示，兩根相同的輕質(zhì)彈簧，沿足夠長(zhǎng)的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部擋板上，斜面固定不動(dòng)。質(zhì)量不同、形狀相同的兩物塊分別置于兩彈簧上端?，F(xiàn)用外力作用在物塊上，使兩彈簧具有相同的壓縮量，若撤去外力后，兩物塊由靜止沿斜面向上彈出并離開(kāi)彈簧，則從撤去外力到物塊速度第一次減為零的過(guò)程，兩物塊（ ）

A.最大速度相同

B.最大加速度相同

C.上升的最大高度不同

D.重力勢(shì)能的變化量不同

解析 質(zhì)量不同的兩物塊在彈簧彈力作用下做變速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律及系統(tǒng)機(jī)械能守恒解決問(wèn)題。

當(dāng)彈簧的彈力和滑塊重力沿斜面向下的分力大小相等時(shí)，滑塊的加速度為零，速度達(dá)到最大。根據(jù)物體和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒知：物塊未離開(kāi)彈簧且彈簧長(zhǎng)度相等時(shí)，質(zhì)量大的速度小，設(shè)質(zhì)量大的速度達(dá)到最大時(shí)對(duì)應(yīng)的彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量小的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的該長(zhǎng)度的速度肯定比質(zhì)量大的大。而且彈簧繼續(xù)伸長(zhǎng)時(shí)，質(zhì)量小的速度還能繼續(xù)增大，質(zhì)量大的則減小。因此，質(zhì)量大的滑塊的最大速度較小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；剛撤去外力時(shí)，兩滑塊的加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律得

由于兩滑塊的質(zhì)量不同，故兩滑塊的最大加速度不同，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；整個(gè)過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為滑塊的重力勢(shì)能（物體最終離開(kāi)彈簧），由于兩滑塊質(zhì)量不同，故上升的最大高度不同，選項(xiàng)C正確；兩滑塊重力勢(shì)能的變化量等于彈簧彈性勢(shì)能的減少量，故重力勢(shì)能的變化量相同，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。endprint