能量問題的常見分析方法

郁建石

一、臨界狀態(tài)分析法

任何事物在變化發(fā)展過程中總是要經(jīng)歷由量變到質(zhì)變的過程，而其轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是一個臨界。物理問題中分析其臨界狀態(tài)，往往是分析問題的切入點(diǎn)和關(guān)鍵。

例1 如圖1所示，小球從高為H的光滑軌道由靜止滑下，進(jìn)入半徑為R的豎直光滑圓軌道。求小球沿圓軌道運(yùn)動的最大高度h。

解析 如圖2所示，本題中小球在圓軌道運(yùn)動中涉及兩個臨界位置：一個位置是與圓心在同一高度上的B點(diǎn)，如果小球運(yùn)動的最大高度位置在B點(diǎn)以下，則小球在最高點(diǎn)時速度為零；另一個位置是圓軌道的最高點(diǎn)C，在該點(diǎn)時由合外力提供向心力，

如果小球能到達(dá)軌道上的該點(diǎn)，速度必須滿足上述條件。因此本題應(yīng)該分情況分析：

（1）若小球在圓軌道中運(yùn)動的最高點(diǎn)在B點(diǎn)以下的P點(diǎn)，因ν_p=0，由A到P過程機(jī)械能守恒，有：mgH=mgh，不難得到：H=h.所以當(dāng)H≤R時，上升的最大高度為H。

（2）若小球在圓軌道中運(yùn)動的最高點(diǎn)在C點(diǎn)，

如果小球能到達(dá)軌道上的該點(diǎn)，速度必須滿足上述條件。因此本題應(yīng)該分情況分析：

例2 質(zhì)量為M的小車以速度μ₀沿光滑水平向左運(yùn)動。車上有擺長為l的單擺，擺球質(zhì)量為m?，F(xiàn)讓小球由最大位移角θ處擺下，求下列情況下小球擺到最低位置過程中，擺線張力所做的功。（設(shè)M≥m。）

解析 在小球擺下來的過程中，線上張力大小和方向、擺球的位移都不太容易分析，因此直接計算擺線張力做功比較困難。本題中，由于M≥m，所以可以認(rèn)為在小球擺下來的過程中小車的速度保持不變。如果以小車為參考系，擺線張力始終與運(yùn)動方向垂直，所以張力不做功，因此在小車參考系中，小球的機(jī)械能守恒，有：

得：

其中ν為擺球運(yùn)動到最低點(diǎn)時相對小車的速度，所以擺球相對于地面的速度為：

在地面參考系中，小球擺下來的過程中，重力和擺線的張力對擺球做功，根據(jù)動能定理，有：

三、遞推法

當(dāng)物體之間發(fā)生多次重復(fù)性的相互作用時，往往可以用遞推的方法進(jìn)行分析。這種方法通常是先分析某一次相互作用的情況得出結(jié)論，再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，從而找到其通式，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解。

例3 把n塊質(zhì)量均為m、厚度均為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現(xiàn)將它們一塊一塊疊放起來，如圖5所示。至少要做多少功？

當(dāng)然，本題也可以用等效法分析。

四、圖象法

物理圖象有時可以把一些抽象復(fù)雜的物理過程直觀形象地呈現(xiàn)出來，利用圖象的點(diǎn)（交點(diǎn)、拐點(diǎn)等特殊點(diǎn)）、角（斜率）、面（面積）等方面的分析解決問題。

例4 如圖6所示，有一塊底面積為S、高為C的長方體木塊，浮在平靜的湖面上，已知湖深為h，木塊的密度為ρ，湖水的密度為ρ₀.現(xiàn)將木塊用力按到湖底至少要做多少功？（不考慮木塊按入湖底過程中水面高度的變化）

解析 若將木塊緩慢地（或勻速）壓到湖底所要做的功最少。此時可將整個過程分為兩個階段（如圖7所示）：第一階段是開始木塊浮在水面壓到剛好全部浸入水中，這一過程施加的外力是一變力；第二階段是從木塊從剛好全部浸入水中到湖底，這一過程施加的外力是一恒力。

開始時木塊在重力和水的浮力作用下平衡，有：

得：

在第一階段中，若木塊在豎直向下的外力F作用下向下緩慢移動的距離為x，則此時由受力平衡得：

第二過程中外力F做的功可以直接計算出來，但是第一過程中外力F是變化的，用初等數(shù)學(xué)的方法不能直接求其做的功（當(dāng)然由于外力是與下移的距離成正比的，可以求出此過程中的平均作用力來計算功，有興趣的同學(xué)可自行分析）。這時可以作出外力F與向下移動的距離x的關(guān)系圖象來分析。

根據(jù)上面的分析可以作出F-x圖象如圖8所示。

在F-x圖象中，可以用圖線所包圍的面積來表示力F做的功，也就是圖中梯形的面積。所以整個過程中力F做的功為：

將上面的有關(guān)結(jié)論代入整理得：

本題也可以用等效法來求解。

五、等效法

在一些物理問題中，一個物理過程的變化發(fā)展，一個狀態(tài)的確定，往往是由多種因素共同決定的，在這些過程或狀態(tài)中，如果某些因素所起的作用與另一些因素所起的作用效果相同，這時就可以用等效的方法進(jìn)行分析，從而達(dá)到殊途同歸的效果，有時還可將問題簡化。

比如上面的例3中：將平放在水平地面上的磚一塊一塊疊放起來，如果換一個角度來看，將所有的磚塊作為一個整體，相當(dāng)于重心升高了，所做的功應(yīng)該就是整體重力勢能的增加值。

這就是將磚全部疊放起來做功的最小值，與上面的解結(jié)果相同，但分析過程較為簡便。

如上面的例4中，如果從等效的角度看，用外力將木塊壓到湖底的過程中，一方面木塊的重力勢能減少，另一方面水的重力勢能增加，如果能求出系統(tǒng)重力勢能的變化，就可以計算外力做的功。

現(xiàn)在來分析木塊壓到湖底的過程中湖水重力勢能的變化量。

如圖9所示，將木塊開始位置時分成水面上方和下方兩部分。在木塊壓到湖底的過程中，木塊下面的那部分相當(dāng)于與湖水底部對應(yīng)的同體積的水的位置對調(diào)，而下面那部分同體積的水的重力與木塊的重力大小相同，在對調(diào)過程中，這部分水重心上升的高度與木塊下降的高度相同，所以它們的重力勢能的變化恰好抵消。而木塊在水面上方的那部分向下移到水中過程，可以等效看成木塊這部分將湖底對應(yīng)的同體積水的空間填充，與此同時湖底中的這部分水則移到水面上，而由于不考慮木塊按入湖底過程中水面高度的變化，可以分析這部分水重力勢能的增加量。

這就是木塊壓到湖底的過程中外力所做功的最小值，得到與上面分析同樣的結(jié)果。 六、微元法

在物理問題中，一些物理量的變化往往是連續(xù)發(fā)生的，這類問題通常要用微積分來解決，而在中學(xué)物理競賽中則常用微積分的思想進(jìn)行微元處理。

例5 如圖10所示，長為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA，以角速度ω繞其一端O勻速度轉(zhuǎn)動時，其動能為多大？

解析 在桿繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，由于桿上各點(diǎn)的線速度大小是不同的，所以不能直接用動能公式

進(jìn)行計算。此時就可以考慮用微元法來分析。

先將桿分成相同的n段（n很大），這時在轉(zhuǎn)動時可以將每一小段上各部分的速度看成是相同的。

現(xiàn)分析其中任意一小段（如圖11所示），設(shè)從轉(zhuǎn)動軸向外數(shù)為第i段，endprint