直線方程應用的微型探究教學

于廣春

摘要：高中數(shù)學的解析幾何部分是學生學習的難點.在教學過程中要多進行微型探究，多角度研究問題，結合圖形讓同學理解.微型探究式教學的本質是培養(yǎng)學生的合作探究能力，變被動學習為主動學習，在老師提供大量的指導和幫助下學生來完成.本文通過直線方程這部分內容在教學中微型研究，來解決有關直線方程的應用問題.

關鍵詞：直線方程；數(shù)學思想；應用研究

高中數(shù)學微型探究教學是現(xiàn)在數(shù)學教學領域的一種創(chuàng)新的教學方式.它針對數(shù)學科目的教學情況，用特別的方式傳授給學生數(shù)學知識.直線方程是解析幾何中最簡單的一種曲線，求解直線方程是解析幾何中最基本，最重要的一類問題.直線方程的應用主要有直線方程與坐標軸圍成的面積問題；直線方程與圓錐曲線的關系問題等.本文就直線方程應用微型探究教學這一教學方式進行分析和探究，從而達到高中數(shù)學的有效教學目的，促進學生分析問題、解決問題能力的發(fā)展.

一、課前復習直線方程的各種形式

課前引入直線方程的五種形式時讓學生回答各種形式的直線方程分別表示什么樣的直線和不能表示什么樣的直線，使圖形根植在學生的頭腦中.

直線方程的五種形式：

1.斜截式：y=kx+b

2.點斜式：y-y0=k（x-x0）

以上兩種直線方程的限制條件是都不能表示斜率不存在的直線，即垂直于x軸的豎直的直線；

3.兩點式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1

兩點式直線方程的限制條件是不可以表示平行于y軸水平的直線和垂直于x軸豎直的直線；

4.截距式：xa+yb=1

截距式是兩點式的特殊形式，截距式直線方程的限制條件是不可以表示平行于y軸水平的直線和垂直于x軸豎直的直線和過原點的直線；

5.一般式：

Ax+By+C=0（A，B不全為零）一般式可以表示平面內的任意一條直線.在復習這幾種形式時我們就要把每種直線方程所不適用的直線，引導學生用語言刻畫出來，這樣將抽象的數(shù)學表達式形象化.

二、典例探究直線方程的應用

1通過具體數(shù)值提出問題，為一般性結論做鋪墊

例過點P（2，1）的直線L分別交x，y正半軸于A，B兩點，求ΔABO面積的最小值.

生甲 ：

由題知橫縱截距都存在，所以直線方程為xa+yb=1（a>0，b>0）.

因為過點P（2，1），

所以2a+1b=1.

2a+1b=1≥22ab .

所以2ab≤14.

所以ab≥8（當且僅當2a=1b，即a=4，b=2時取等號）.

sΔ=12ab≥4（當且僅當2a=1b，即a=4，b=2時取等號）.

生乙： 由題意知斜率存在

設直線方程為y-1=k（x-2），（k<0）

令x=0時，得y=1-2k，即A（0，1-2k）.

令y=0時，得x=2-1k，即B（2-1k，0）.

SΔ=121-2k2-1k（k<0）.

所以SΔ=12（4-1k-4k）.

-1k-4k≥2（-1k）·（-4k）=4.

即當-1k=-4k，k2=14.

因為 k<0，所以 k=12.

直線方程為y=-12x+2，與兩坐標軸交點為A（0，2），B（4，0）.

sΔ=12×2×4=4.

2引導學生從圖的角度探究取P為中點時面積最小

當繞點P順時針旋轉直線，與x，y軸分別交于A′，B′兩點，如圖2.

分析PA′>PA，PB′

∵PA=PB.

∴PA′>PB′.

∠APA′=∠BPB′.

SΔPAA′=12PA·PA′·sin∠APA′.

SΔPBB′=12PB·PB′·sin∠BPB′.

SΔPAA′>SΔPBB′.

SΔA′B′O=SΔABO+SΔPAA′-SΔPBB′>SΔABO.

當繞點P逆時針旋轉直線，與x，y軸分別交于A′，B′兩點，如圖3.

分析PA>PA′，PB

∵PA=PB，

∴PA′

∠APA′=∠BPB′.

∵SΔPAA′=12PA·PA′·sin∠APA′

SΔPBB′=12PB·PB′·sin∠BPB′.

∴SΔPAA′

∴SΔA′B′O=SΔABO+SΔPBB′-SΔPAA′>SΔABO.

3引導學生探究過定點P的直線與坐標軸圍成的面積

學生解析：

不妨設點P在第一象限，因為橫縱截距都存在，所以直線方程為xa+yb=1（a>0，b>0），又因為過點P（m，n），所以ma+nb=1.

因為ma+nb=1≥2mnab.

所以mnab≤14.

所以ab≥4mn（當且僅當ma=nb時取等號）.

所以sΔ取最小值2mn時，ma=nb.

又因為ma+nb=1，則a=2n，b=2m.

學生此時可以發(fā)現(xiàn)點P為直線與兩坐標軸交點的中點.

教師引導學生總結一般性的結論：

過點 P（m，n）的直線L分別交 x，y 正半軸于A，B 兩點，則ΔABO面積的最小值是 SΔmin=2mn，此時 P 為 A，B 中點.

為了加深學生對這一結論的認識，教師將此問題再深化，引導學生探討當已知直線與坐標軸圍成的面積值時，有幾條直線的問題.

變式過點P（2，1）且與坐標軸圍成的三角形面積為5的直線的條數(shù)共有幾條？

生甲：s=12ab=5ab=±10.

由2a+1b=1ab=±10， 解得a=5-5b=5+52

或a=5+5b=5-52

或a=-5-35b=-5+352

或a=-5+35b=-5-352.可見滿足題意的直線有4條.

教師引導學生從圖的角度來思考為什么上題中過點P（2，1）與兩個坐標軸圍成的三角形面積為5的直線條數(shù)是4條.

生乙：由面積的最小值為SΔmin=2mn=4可以知道在第二象限有兩條直線滿足與兩個坐標軸圍成的三角形面積為5，在第一和第三象限分別一條直線滿足與兩個坐標軸圍成的三角形面積為5.

通過本題，學生應用上面探究所得的結論輕松解決直線與坐標軸所圍成的面積值已知時，有幾條這樣的直線的問題.

綜上，在微型課的探究式活動中，學生探究能力決定本節(jié)課的教學質量，學生會有畏難情緒，有時難以達到探究目標，所以教師要做到循序漸進設置問題，同時在學生容易出現(xiàn)困難的地方根據(jù)內容合理設置問題.這樣才能調動學生的積極性，主動去探究數(shù)學知識.掌握直線方程的知識是學好解析幾何的基礎，而解析幾何的本質是幾何圖形的代數(shù)化，代數(shù)結果的幾何化，考查學生分析問題和解決問題的能力.所以筆者認為在平時的教學中應當緊抓代數(shù)、幾何兩種方法，引導學生進行探究，從形和數(shù)即從直觀的幾何圖形和函數(shù)的角度研究解析幾何的問題，將數(shù)形結合的數(shù)學思想和數(shù)學知識點的微型探究教法貫穿于解析幾何的整個教學中.

參考文獻：

[1]楊華 教學中困惑教研中解決反思中提升[J]中學數(shù)學研究，2015（3）：25-26.

[2]劉電芝 學習策略研究[M] 北京：人民教育出版社，1999：303.

[3]黃鵬程 高中數(shù)學微型探究教學的實踐[J]中學數(shù)學雜志，2014（9）：44-45