對(duì)開普勒第二定律教學(xué)的多角度分析

段金龍

摘要：開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的教學(xué)中，其中第二定律（面積定律）是教學(xué)難點(diǎn).針對(duì)這個(gè)問題，本文嘗試從幾何、動(dòng)力學(xué)及動(dòng)能定理三個(gè)角度，對(duì)開普勒第二定律進(jìn)行教學(xué)分析.

關(guān)鍵詞：開普勒第二定律；多角度分析

開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的教學(xué)中，第二定律（面積定律）最難理解，也是該節(jié)的難點(diǎn).筆者認(rèn)為，原因可能有以下兩點(diǎn)：一、該定律對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)功底有一定的要求；二、學(xué)生對(duì)“為什么當(dāng)行星離太陽(yáng)較近時(shí)運(yùn)行速度快，而離太陽(yáng)較遠(yuǎn)時(shí)運(yùn)行速度慢”的原因不清楚.但隨著學(xué)生所學(xué)知識(shí)的增多，教師可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生回過頭來(lái)用“新”知識(shí)解決“舊”難點(diǎn).本文首先用幾何知識(shí)證明“行星在近日點(diǎn)速度快，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度慢”，然后分別從動(dòng)力學(xué)和動(dòng)能定理（引力做功）的角度對(duì)此作出解釋說明.最后，以對(duì)開普勒第二定律的教學(xué)處理為例，介紹筆者對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的一貫處理方法，目的在于與廣大同行一同探討教學(xué)中存在的此類問題.

一、從幾何角度出發(fā)，對(duì)“行星在近日點(diǎn)速度快，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度慢”的證明

由開普勒第一定律（軌道定律）知，太陽(yáng)系的八大行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上[1].現(xiàn)以一顆行星為例，如圖1所示，行星與太陽(yáng)連線的長(zhǎng)度r在一段很短的時(shí)間△t內(nèi)來(lái)不及發(fā)生大的改變，可看做一恒定的半徑掃出一個(gè)扇形（此處用到了微元思想），由幾何知識(shí)可知，此扇形面積為

ΔS=12Δl·r（1）

其中，Δl是弧長(zhǎng)，r是半徑.

由橢圓知識(shí)，在近日點(diǎn)A附近平均軌道半徑最短，遠(yuǎn)日點(diǎn)B附近平均軌道半徑最長(zhǎng)，其它點(diǎn)的平均軌道半徑介于二者之間.對(duì)于近日點(diǎn)A、遠(yuǎn)日點(diǎn)B及軌道上的其它任意點(diǎn)P，有：

A

根據(jù)開普勒第二定律，扇形面積ΔS相同，故

ΔlA>ΔlP>ΔlB（3）

由于時(shí)間Δt極短，行星的速率

v=ΔlΔt（4）

又由于Δt相等，所以

vA>vP>vB（5）

即在橢圓軌道上，行星經(jīng)過近日點(diǎn)時(shí)速度最快，經(jīng)過遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)速度最慢；當(dāng)行星從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速率在逐漸減小；當(dāng)行星從遠(yuǎn)日點(diǎn)向近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速率在逐漸增大.

二、對(duì)“行星在近日點(diǎn)速度快，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度慢”的解釋

對(duì)于“為什么行星在近日點(diǎn)速度快，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度慢？”，教材在該節(jié)中并沒有做出回答（其實(shí)僅僅根據(jù)該節(jié)及前面的知識(shí)，并不能回答這個(gè)問題），但這個(gè)問題終究是不能回避的，待時(shí)機(jī)成熟，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生來(lái)分析這個(gè)問題.接下來(lái)，筆者分別從動(dòng)力學(xué)角度和引力做功角度，對(duì)“為什么行星在近日點(diǎn)速度快，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度慢？”加以解釋.

1.動(dòng)力學(xué)角度

開普勒第二定律蘊(yùn)含著行星與太陽(yáng)之間的相互作用力沿著它們的連線，但不是很明確.待學(xué)生學(xué)習(xí)了之后的第二節(jié)《太陽(yáng)與行星間的引力》及第三節(jié)《萬(wàn)有引力定律》后，這點(diǎn)就會(huì)得到證實(shí).在完成第二節(jié)和第三節(jié)的教學(xué)后，往往會(huì)再回過頭來(lái)從動(dòng)力學(xué)的角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)開普勒第二定律進(jìn)行再分析.

如圖2所示，太陽(yáng)對(duì)行星的引力充當(dāng)行星所受的合外力，從而使行星產(chǎn)生總是指向太陽(yáng)的加速度.當(dāng)行星從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的加速度a與速度v成鈍角，使得行星的速率逐漸減小；當(dāng)行星從遠(yuǎn)日點(diǎn)向近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的加速度a與速度v成銳角，使得行星的速率逐漸增大[2].

2.動(dòng)能定理角度

當(dāng)學(xué)完第七章之后，學(xué)生對(duì)“合外力做功，改變物體的動(dòng)能”有了一定的認(rèn)識(shí)，又可以回過頭來(lái)從引力做功的角度分析開普勒第二定律，如圖3所示.

當(dāng)行星從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，太陽(yáng)對(duì)它的引力F（即合力）與其運(yùn)行速度v成鈍角，引力做負(fù)功，使得行星的動(dòng)能逐漸減小，速率也隨之減?。划?dāng)行星從遠(yuǎn)日點(diǎn)向近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，引力F與速度v成銳角，引力做正功，使得行星的速率逐漸增大[2].

三、反思

開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律在以往的教材中并不做要求，只是以注解的方式出現(xiàn)在正文下邊（原因可能就是因?yàn)槠漭^難理解），新課標(biāo)教材把它編排在正文中，與第一定律（軌道定律）、第三定律（周期定律）一起構(gòu)成了完整的體系.這樣的安排固然更科學(xué)，但同時(shí)也對(duì)教師提出了更高的要求.在本文中，筆者曾兩度回首，從動(dòng)力學(xué)角度和引力做功角度分析了開普勒第二定律，與起初的幾何證明形成了前后呼應(yīng)（在幾何證明中用到的微元思想又與前面章節(jié)的化“變”為“恒”形成呼應(yīng)）.

實(shí)踐證明，筆者的這種處理方法是適合基礎(chǔ)知識(shí)比較薄弱的學(xué)生的.也就是說，在初次遇到某一難點(diǎn)時(shí)，教師不可不管學(xué)生的接受能力和認(rèn)知規(guī)律，將難點(diǎn)一步講到位，結(jié)果教師講得很累，學(xué)生也聽得很累，教學(xué)效果大打折扣.因此，在遇到教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，教師大可不必急于求成，一切還得從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，先放一放，等后邊時(shí)機(jī)成熟了，再引導(dǎo)學(xué)生從另一個(gè)角度來(lái)尋求解決問題的途徑，也不失為一種方法.筆者通過教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)得出這一處理方法的好處有：其一，通過多角度、前后呼應(yīng)的方式使難點(diǎn)得到有效分散，突破起來(lái)更輕松，學(xué)生容易接受，其積極性也更容易被調(diào)動(dòng)起來(lái)；其二，有助于培養(yǎng)學(xué)生從多角度看待同一問題，以及從多種渠道尋求解決問題的途徑的意識(shí)和思維習(xí)慣；其三，有利于幫助學(xué)生構(gòu)建起知識(shí)體系，通過用“新”知識(shí)來(lái)解決“舊”難點(diǎn)，能讓學(xué)生體會(huì)到物理學(xué)存在知識(shí)體系，而不是零散的知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生感受到物理學(xué)的統(tǒng)一美（在本例中，對(duì)開普勒第二定律從動(dòng)力學(xué)角度和做功角度的分析能讓學(xué)生體會(huì)到“天上的力與人間的力其實(shí)是一樣的，都滿足相同的規(guī)律”）.

參考文獻(xiàn)：

[1]張大昌主編普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 物理（必修2）[M] 北京：人民教育出版社，201029.

[2]程守洙，江之永普通物理學(xué)第五版（修訂本）[M].北京：高等教育出版社，2001