四輪漸近教學(xué)法

孟慶杰

摘要：本文依據(jù)數(shù)學(xué)家華羅庚先生提出的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的四種境界，闡述了四輪漸近教學(xué)法，即一輪課堂模仿、二輪作業(yè)獨(dú)立解決、三輪小組研討、四輪自學(xué)升華.

關(guān)鍵詞：模仿；獨(dú)立解決；研討；自學(xué)；教學(xué)法

一、四輪漸近教學(xué)法

1.一輪課堂模仿

課堂模仿就是常規(guī)課堂教學(xué)即老師講清概念、性質(zhì)、公式等，師生合作完成幾個例題（以教材例題為主），學(xué)生模仿做幾個練習(xí)（以教材習(xí)題為主，基本都是定義、性質(zhì)、公式的正用），這期間包含師生交流、探討等.

2.二輪作業(yè)獨(dú)立解決

課后作業(yè)是教學(xué)過程的基本環(huán)節(jié)之一，如果教師能按照下面這樣精心設(shè)計作業(yè)，就能收到很好的效果.（1）逐字閱讀今天所學(xué)定義、性質(zhì)、公式等數(shù)遍，最后一字不差的背誦下來；（2）獨(dú)立完成老師精選（基本是定義、性質(zhì)、公式等的逆用和變形用等）的作業(yè)（第二天必須上交）.

3.三輪小組研討

此輪首先分好學(xué)習(xí)小組，分學(xué)習(xí)小組很有學(xué)問，一定要考慮好各項指標(biāo).較好的分組方法是自愿組合，老師協(xié)調(diào)好學(xué)習(xí)好差、男女生比例、性格內(nèi)外向、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣等，每組5—6人為宜.其次，小組成員推選一名愛好數(shù)學(xué)且對數(shù)學(xué)有感覺的組長，負(fù)責(zé)完成小組任務(wù)等工作.最后，如下布置小組任務(wù)（組長負(fù)責(zé)找好時間、地點(diǎn)、方式等，三天內(nèi)必須完成）：（1）小組每個成員用不同于教材的語言，等價敘述本節(jié)所學(xué)定義、性質(zhì)、公式等（這里主要指用數(shù)學(xué)的三種語言即圖表語言、符號語言、文字語言），語言越簡單越易懂越好.然后組內(nèi)相互交流、補(bǔ)充，最后選出公認(rèn)的最好的在全班面前展示；（2）研究探討老師精選的題目（基本是創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)造新方法的題目）.

4.四輪自學(xué)升華

前三輪是解決數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵即縱向問題，而此輪是研究數(shù)學(xué)概念的外延即橫向問題.本輪的任務(wù)（三天內(nèi)必須完成）（1）獨(dú)立思考查資料看一看本節(jié)所學(xué)定義、性質(zhì)、公式等與學(xué)過的（有時也可以是沒學(xué)過的）哪些知識有關(guān)，有何關(guān)系？（2）獨(dú)立思考老師精選的幾個問題.

5.驗收

在學(xué)完本節(jié)內(nèi)容三天內(nèi)，教師找一節(jié)課（有時是半節(jié)課或兩節(jié)課，不管多長時間，以完成教學(xué)任務(wù)為準(zhǔn)），組織全班同學(xué)解決如下問題：（1）背課文（一字不差）；（2）小組推選的用不同于教材概念敘述的等價敘述概念的展示；（3）自學(xué)查資料展示；（4）師生研討解決（以教師為主）教師精選試題中的疑問及學(xué)習(xí)研究中的相關(guān)問題（有些問題師生之間、生生之間已經(jīng)交流會了）.

二、四輪漸近教學(xué)法的實例說明

以高中數(shù)學(xué)人教B版數(shù)學(xué)必修1“2.1.4函數(shù)的奇偶性”[2]為例，具體說明四輪漸近教學(xué)法.

1. 一輪課堂模仿

（1）老師通過導(dǎo)課引出奇函數(shù)和偶函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有-x∈D，且f（-x）=-f（x），則這個函數(shù)叫做奇函數(shù). 設(shè)函數(shù)y=g（x）的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有-x∈D，且g（-x）=g（x），則這個函數(shù)叫做偶函數(shù).老師強(qiáng)調(diào)：定義域內(nèi)，x、-x屬于定義域，f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）.

①教師模仿：教材例1（1）判斷函數(shù)f（x）=x+x3+x5的奇偶性.

解：因為函數(shù)的定義域為R，當(dāng)x∈R時，-x∈R.因為f（-x）=-x-x3-x5=-f（x），所以函數(shù)f（x）=x+x3+x5是奇函數(shù).

②學(xué)生模仿（老師叫一名學(xué)生解答）：教材例1（2）判斷函數(shù)f（x）=x2+1的奇偶性.學(xué)生解答略，參考答案：偶函數(shù).老師再強(qiáng)調(diào)判定方法：定義域內(nèi)，對稱，f（x）與f（-x）的關(guān)系.

③全體學(xué)生模仿：教材P49判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：

A.f（x）=x+x3B.f（x）=-x2

C.f（x）=1+x3D.f（x）=1x2+1，x∈[-1，2].

參考答案：A.奇函數(shù)；B.偶函數(shù)；C.f（x）與f（-x）既不相等也不相反，非奇非偶；D.定義域不對稱，非奇非偶.

（2）通過上面的模仿，我們基本知道了如何判斷函數(shù)的奇偶性.研究函數(shù)主要研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，老師話題一轉(zhuǎn)，看一看奇函數(shù)和偶函數(shù)，他們的圖象有何特點(diǎn).通過具體實例觀察，用特殊到一般的思想，給出奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖象特征：如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù). 如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).

①教師模仿：教材P538.已知偶函數(shù)f（x）在y軸右邊的一部分圖象（如圖1），根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)在y軸左邊的圖象.教師根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，作出y軸左邊的圖象（略）.

②全體學(xué)生模仿：教材P538.已知奇函數(shù)f（x）在y軸右邊的一部分圖象（如圖2），根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)在y軸左邊的圖象. 多數(shù)學(xué)生能根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，作出y軸左邊的圖象（略）.

教師強(qiáng)調(diào)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

③師生共同模仿：教材P494（改編）.如圖3，給出函數(shù)y=f（x）的局部圖象，當(dāng)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)時，試分別比較f（1）與f（3）的大小.參考答案：f（x）是奇函數(shù)時，f（1）>f（3）；f（x）是偶函數(shù)時，f（1）

④師生合作探究教材例2.研究函數(shù)y=1x2的性質(zhì)并作出它的圖象.

通過討論及教師的啟發(fā)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)此函數(shù)是偶函數(shù).所以只考慮x>0時的圖象性質(zhì)，就可以知道定義域內(nèi)整體的性質(zhì)和圖象（略）.

教師總結(jié)強(qiáng)調(diào)，進(jìn)入下一輪.

2.二輪作業(yè)獨(dú)立解決（有時當(dāng)堂可以做作業(yè)）

模仿完成開始布置作業(yè)：（1）逐字閱讀教材P47—P49 數(shù)遍，一字不差的背誦奇偶函數(shù)定義及圖象特征或一字不差的背誦從P47—P49 整篇內(nèi)容.（2）能背誦下來后，獨(dú)立完成如下試題（第二天上交）：

①判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：

（1）f（x）=x2-2ax，x>0-x2-2ax，x<0；

（2）f（x）=-x2+ax，x>0-x2-ax，x<0

②已知函數(shù)f（x）=x+1+x-a是偶函數(shù)，求實數(shù)a.

③已知y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1.若g（x）=f（x）+2，則g（-1）=.

④已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=x2-x，求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式.

⑤討論函數(shù)f（x）=a（a為不等于零的常數(shù)）的奇偶性.

⑥判斷函數(shù)f（x）=1-x2+x2-1的奇偶性，并由此題結(jié)論說明任給函數(shù)g（x），若從奇偶性角度分類，有幾種情況？

參考答案：①（1）奇函數(shù)（2）偶函數(shù)；②a=1；③g（-1）=-1；④f（x）=-x，g（x）=x2；⑤當(dāng)函數(shù)定義域為對稱區(qū)間時，函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)函數(shù)定義域不是對稱區(qū)間時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；⑥因為函數(shù)定義域為-1，1，且f（x）=0，所以函數(shù)f（x）為既奇又偶函數(shù). 任給函數(shù)g（x）可分為：奇函數(shù)；偶函數(shù)；既奇又偶函數(shù)；非奇非偶函數(shù).

3.三輪小組研討（有時課堂可以研討）

此輪由組長負(fù)責(zé)（找好時間、地點(diǎn)及方式等）完成下列任務(wù)（三天內(nèi)完成）：（1）小組每個成員，結(jié)合數(shù)學(xué)的三種語言，簡單明了地用不同于教材的語言，敘述奇函數(shù)偶函數(shù)的定義.經(jīng)小組交流補(bǔ)充后，推選一名最好的在全班面前展示.（2）運(yùn)用集體智慧完成下列問題：

①若奇函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)含零，則f（0）=.從定義和圖象角度分別說明結(jié)論的正確性，若能舉例說明此結(jié)論的應(yīng)用更好.

②對任意偶函數(shù)f（x），是否等式f（x）=f（x）一定成立，說明理由.若等式成立，能否舉例說明它的應(yīng)用.

③定義域為對稱區(qū)間的函數(shù)f（x），在判斷其奇偶性時，除教材的方式外還有沒有其它方式？

④定義域相同的兩個奇函數(shù)f（x）、g（x）和兩個偶函數(shù)h（x）、t（x），它們經(jīng)過加、減、乘、除后所得函數(shù)是否還具有奇偶性？

⑤已知定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）的函數(shù)f（x），對于定義域內(nèi)任意實數(shù)x，y都有f（x·y）=f（y）x+f（x）y成立，試判斷f（x）的奇偶性.

⑥設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（x2-2x-1）=f（x+1）的所有x之和為.

⑦不等式8（x+1）3+10x+1+x3+5x>0.

參考答案：①f（0）=0.由定義f（-0）=-f（0），推出f（0）=0；由奇函數(shù)圖象性質(zhì)，原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是本身，所以圖象過原點(diǎn)，即f（0）=0；

②一定成立.因為當(dāng)x≥0時，x=x，所以f（x）=f（x）.當(dāng)x<0時，f（x）=f（-x）=f（x），所以f（x）=f（x）；

③f（x）±f（-x）=0（+號成立為奇函數(shù)，-號成立為偶函數(shù)），f（x）f（-x）=±1（f（-x）≠0）（+1為偶函數(shù)，-1為奇函數(shù)），f（x）·f（-x）=±f（x）2（+f（x）2為偶函數(shù)，-f（x）2為奇函數(shù)）等；

④f（x）+g（x）為奇函數(shù)，h（x）-t（x）為偶函數(shù)，f（x）·h（x）為奇函數(shù)等；

⑤若f（x）恒為零，則函數(shù)為既奇又偶函數(shù).若f（x）不恒為零，函數(shù)為奇函數(shù)；

⑥由題意x2-2x-1=x+1或x2-2x-1=-（x+1），解得所有x之和為4；

⑦原不等式化為（2x+1）3+5×2x+1>-x3-5x①.設(shè)f（x）=x3+5x，則①變?yōu)閒（2x+1）>-f（x）.又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在R上遞增，所以f（2x+1）>f（-x），即2x+1>-x，解得x>-1為所求解集.

4.四輪自學(xué)升華

認(rèn)真完成前三輪的學(xué)習(xí)研究，學(xué)生對奇偶性問題已經(jīng)有點(diǎn)感覺和認(rèn)識了.此時獨(dú)立完成一些奇偶性的問題，時機(jī)已經(jīng)成熟.因此布置如下任務(wù)（三天內(nèi)完成）：（1）獨(dú)立思考查資料，看一看奇偶性問題與學(xué)過的（也可以是沒學(xué)過的）哪些知識有關(guān)，有何關(guān)系？找出一點(diǎn)或兩點(diǎn)即可.（2）獨(dú)立完成下列問題：

①已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足f（2x-2）

②設(shè)定義在[-2，2]上的奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f（m）+f（m-1）>0，則m的取值范圍.

③已知函數(shù)y=f（2x+1）是偶函數(shù)，則一定是函數(shù)y=f（2x）圖象的對稱軸的直線是（）.

A.x=-12B.x=0C.x=12D.x=1

參考答案：①f（2x-2）=f（2x-2）

②f（m）>-f（m-1）=f（1-m），推出-2≤m<1-m≤2，解得m∈[-1，12）；

③f（2x+1）=f[2（x+12）]，所以圖象向右平移12個單位，得y=f（2x） ，所以答案為C.

5.驗收

四輪完成后，就是老師收口的時候了. 在學(xué)完本節(jié)內(nèi)容三天內(nèi)，教師找一節(jié)課（有時是半節(jié)課或兩節(jié)課，不管多長時間，以完成教學(xué)任務(wù)為準(zhǔn)），組織全班同學(xué)解決如下問題：（1）背課文（一字不差）（略）；（2）展示小組推選的不同于教材的奇偶性定義：這里舉幾例①人體就是偶函數(shù)模型②定義域內(nèi)自變量取互為相反數(shù)時，所對應(yīng)的函數(shù)值相等為偶函數(shù)，所對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)為奇函數(shù)③定義域內(nèi)自變量取互為相反數(shù)時，所對應(yīng)的函數(shù)值相減為零為偶函數(shù)，所對應(yīng)的函數(shù)值相加為零為奇函數(shù)等；（3）自學(xué)查資料展示：這里舉幾例①奇函數(shù)若在y軸兩側(cè)單調(diào)，則單調(diào)性相同②偶函數(shù)若在y軸兩側(cè)單調(diào)，則單調(diào)性相反③非奇非偶函數(shù)，若其圖象有一條平行于y軸的對稱軸，則其函數(shù)可以通過圖象平移變?yōu)榕己瘮?shù)；若其圖象有一個對稱中心（a，0）（a≠0），則其函數(shù)可以通過圖象平移變?yōu)槠婧瘮?shù)等；（4）師生研討解決（以教師為主）教師精選試題中的疑問及學(xué)習(xí)研究中的相關(guān)問題（有些問題師生之間、生生之間已經(jīng)交流會了）（略）.

總之，教無定法，無論怎樣好的教學(xué)方法，老師、學(xué)生都要相互配合，并且付出很多辛苦和努力.如果感到數(shù)學(xué)難教，學(xué)生難學(xué)會，不妨試一試四輪漸近教學(xué)法，可能有一定的效果.

參考文獻(xiàn)：

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