電磁感應(yīng)現(xiàn)象中導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割問(wèn)題

嚴(yán)來(lái)蔣

摘要：以導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割命制的試題近年來(lái)在高考中多有體現(xiàn)，如繞棒的一端轉(zhuǎn)動(dòng)切割、繞棒上的某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)切割、兩棒同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)切割或圓盤(pán)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)等，理解等效切割或法拉第電磁感應(yīng)定律，便可輕松解決有關(guān)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：等效；旋轉(zhuǎn)切割；感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

以導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割命制的試題近年來(lái)在高考中多有體現(xiàn)，如繞棒的一端轉(zhuǎn)動(dòng)切割、繞棒上的某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)切割、兩棒同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)切割或圓盤(pán)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)等，理解等效切割或法拉第電磁感應(yīng)定律，便可輕松解決有關(guān)問(wèn)題.

如圖1所示，當(dāng)導(dǎo)體棒OA在垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)的平面內(nèi)，繞一端O點(diǎn)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線時(shí)，由于棒上各點(diǎn)線速度不同，故E=Blv中的v不能以ωl進(jìn)行替代.可以從以下兩個(gè)角度進(jìn)行分析，推導(dǎo)出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算式.

等效理解，

根據(jù)v=ωr可知，棒上各點(diǎn)線速度跟半徑成正比，故可用棒的中點(diǎn)的速度作為平均切割速度代入公式計(jì)算.由此可得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式

E=Blω·l2=12Bl2ω

由法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)，

設(shè)經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間導(dǎo)體棒掃過(guò)的扇形面積為ΔS，則ΔS=12ωΔt·l2，所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式

E=ΔΔt=BΔSΔt=12Bl2ω

一、單棒旋轉(zhuǎn)切割

例1如圖2所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，長(zhǎng)為3l的導(dǎo)體棒繞過(guò)O點(diǎn)垂直于紙面的軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，棒Oa段長(zhǎng)為2l，則（）

A.導(dǎo)體棒兩端電勢(shì)差Uab=32Bl2ω

B.導(dǎo)體棒兩端電勢(shì)差Uab=-32Bl2ω

C.導(dǎo)體棒兩端電勢(shì)差Uab=92Bl2ω

D.導(dǎo)體棒兩端電勢(shì)差Uab=-92Bl2ω

解析由于oa段和ob段產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向不同，故導(dǎo)體棒兩端的電勢(shì)差為不同兩段電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，oa段感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)Eoa=12B（2l）2ω，ob段感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)Eob=-12Bl2ω，兩段電動(dòng)勢(shì)代數(shù)和等于導(dǎo)體棒兩端電勢(shì)差Uba=32Bl2ω.

點(diǎn)評(píng)理解棒的兩端切割速度方向不同，導(dǎo)致感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向不同，因?yàn)殡妱?dòng)勢(shì)是標(biāo)量，故導(dǎo)體棒總電動(dòng)勢(shì)為兩部分的代數(shù)和.

二、雙棒旋轉(zhuǎn)切割

例2如圖3所示，在半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的垂直紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，PQM為圓內(nèi)接三角形，且PM為圓的直徑，三角形的各邊由材料相同的細(xì)軟導(dǎo)線組成（不考慮導(dǎo)線中電流間的相互作用）.設(shè)線圈的總電阻為r且不隨形狀改變，此時(shí)∠PMQ=37°，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.穿過(guò)線圈PQM的磁通量為Φ=096BR2

B.若磁場(chǎng)方向不變，只改變磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，且B=B0+kt（k為常數(shù)，k>0），則線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電流大小為I=096kR2r

C.保持P、M兩點(diǎn)位置不變，將Q點(diǎn)沿圓弧順時(shí)針移動(dòng)到接近M點(diǎn)的過(guò)程中，線圈中感應(yīng)電流的方向先沿逆時(shí)針，后沿順時(shí)針

D.保持P、M兩點(diǎn)位置不變，將Q點(diǎn)沿圓弧順時(shí)針移動(dòng)到接近M點(diǎn)的過(guò)程中，線圈中不會(huì)產(chǎn)生焦耳熱

解析三角形PQM的面積S=12（2Rsin37°）2Rcos37°=096R2，穿過(guò)線圈PQM中的磁通量Φ=BS=096BR2，故選項(xiàng)A正確.由B=B0+kt得ΔBΔt=k，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=ΔBΔtS=096kR2，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電流大小為：I=Er=096kR2r，故選項(xiàng)B正確.

保持P、M兩點(diǎn)位置不變，將Q點(diǎn)沿圓弧順時(shí)針移動(dòng)到接近M點(diǎn)的過(guò)程中，△PQM的面積先增大后減小，穿過(guò)線圈的磁通量先增大后減小，線圈中將產(chǎn)生感應(yīng)電流，根據(jù)楞次定律可知，感應(yīng)電流方向先沿逆時(shí)針?lè)较蚝笱仨槙r(shí)針?lè)较?；將Q點(diǎn)沿圓弧順時(shí)針移動(dòng)到接近M點(diǎn)的過(guò)程中，PQ段和QM段都在旋轉(zhuǎn)切割磁感線，在∠PMQ小于45°時(shí)，QM段旋轉(zhuǎn)切割的電動(dòng)勢(shì)大于PQ段旋轉(zhuǎn)切割的電動(dòng)勢(shì)，回路中感應(yīng)電流方向沿逆時(shí)針；在∠PMQ大于45°時(shí)，QM段旋轉(zhuǎn)切割的電動(dòng)勢(shì)小于PQ段旋轉(zhuǎn)切割的電動(dòng)勢(shì)，回路中感應(yīng)電流方向沿順時(shí)針，故選項(xiàng)C正確.

Q點(diǎn)沿圓弧順時(shí)針移動(dòng)到接近M點(diǎn)的過(guò)程中，回路中有感應(yīng)電流，線圈中會(huì)產(chǎn)生焦耳熱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)本題應(yīng)用幾何知識(shí)分析線圈面積的變化，確定磁通量的變化，進(jìn)而運(yùn)用楞次定律可知感應(yīng)電流的方向；也可以等效為兩棒同時(shí)切割，用右手定則判斷感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向，由棒的等效切割長(zhǎng)度，比較感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小，從而確定感應(yīng)電流的方向.

三、圓盤(pán)與渦流

例31824年，法國(guó)科學(xué)家阿拉果完成了著名的“圓盤(pán)實(shí)驗(yàn)”.實(shí)驗(yàn)中將一銅圓盤(pán)水平放置，在其中心正上方用柔軟細(xì)線懸掛一枚可以自由旋轉(zhuǎn)的磁針，如圖4所示.實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓盤(pán)在磁針的磁場(chǎng)中繞過(guò)圓盤(pán)中心的豎直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，磁針也隨著一起轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，但略有滯后.下列說(shuō)法正確的是（）

A.圓盤(pán)上產(chǎn)生了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

B.圓盤(pán)內(nèi)的渦電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)導(dǎo)致磁針轉(zhuǎn)動(dòng)

C.在圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，磁針的磁場(chǎng)穿過(guò)整個(gè)圓盤(pán)的磁通量發(fā)生了變化

D.圓盤(pán)中的自由電子隨圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)形成電流，此電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)導(dǎo)致磁針轉(zhuǎn)動(dòng)

解析當(dāng)圓盤(pán)在小磁針的磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，半徑方向的金屬條在切割磁感線，在銅盤(pán)的圓心和邊緣之間產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，故A正確.圓盤(pán)在徑向的輻條切割磁感線的過(guò)程中，內(nèi)部距離圓心遠(yuǎn)近不同的點(diǎn)電勢(shì)不等而形成感應(yīng)電流，即渦流，小磁針處在渦流的磁場(chǎng)中受到磁力而使小磁針轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，即電磁驅(qū)動(dòng)，故B正確.圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，由于圓盤(pán)面積、磁場(chǎng)都不變，故穿過(guò)整個(gè)圓盤(pán)中的磁通量沒(méi)有變化，故C錯(cuò)誤.電流是由于圓盤(pán)切割磁感線而產(chǎn)生的，不是因?yàn)樽杂呻娮与S圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故D錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)本題考查電磁驅(qū)動(dòng)的原理，明確電流的形成不是因?yàn)樽杂呻娮舆\(yùn)動(dòng)，而是由于圓盤(pán)切割磁感線產(chǎn)生了電動(dòng)勢(shì)，從而形成渦流.渦流的磁場(chǎng)使小磁針轉(zhuǎn)動(dòng).

小結(jié)解決導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割問(wèn)題的切入點(diǎn)是求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向由右手定則或楞次定律判斷，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小由法拉第電磁感應(yīng)定律計(jì)算或等效切割解答.不論單棒切割、雙棒切割、還是圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)切割都可能會(huì)有多個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，要注意計(jì)算各個(gè)電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和.把圓盤(pán)等效為沿半徑方向的無(wú)數(shù)根導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)切割是求解圓盤(pán)問(wèn)題的關(guān)鍵.

四、圓盤(pán)旋轉(zhuǎn)切割

例4如圖5甲所示為法拉第圓盤(pán)發(fā)電機(jī)照片，乙是圓盤(pán)發(fā)電機(jī)的側(cè)視圖，丙是發(fā)電機(jī)的截面圖.設(shè)圓盤(pán)半徑為r，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電阻為R，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω.（1）不計(jì)圓盤(pán)的電阻，求感應(yīng)電流的大小.（2）如果把此圓盤(pán)挖去半徑為r2的同心圓，仍以角速度ω繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，將原來(lái)接C點(diǎn)的導(dǎo)線接在圓盤(pán)的內(nèi)側(cè)，求感應(yīng)電流的大小.

解析（1）可以將圓盤(pán)等效為無(wú)數(shù)根很細(xì)的金屬條（像自行車的輻條一樣），則每根金屬條都在切割磁感線，每根金屬條均為電源，且彼此之間為并聯(lián)關(guān)系.

由于C點(diǎn)到D點(diǎn)的輻條各點(diǎn)線速度是均勻變化的，所以可以用CD棒的平均速度作為切割磁感線的有效速度.即電動(dòng)勢(shì)E1=Br1=12Br2ω，電流I1=E1R=Br2ω2R.

（2）當(dāng)挖去r2的同心圓后，等效輻條切割磁感線的平均線速度v2=rω+rω22=3rω4，則圓盤(pán)電動(dòng)勢(shì)E2=r2Bv2=38Br2ω，對(duì)應(yīng)感應(yīng)電流I2=E2R=3Br2ω8R.

點(diǎn)評(píng)解決此題的關(guān)鍵是把圓盤(pán)等效為無(wú)數(shù)根很細(xì)的金屬條，因?yàn)榇磐渴窍鄬?duì)某個(gè)回路而言的，當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤(pán)中心與邊緣的連線和外部電路組成的回路磁通量發(fā)生變化，進(jìn)而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).

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