2017年全國II卷第10題的解析變式及教學(xué)啟示

蘇藝偉

摘要：本文以2017年全國II卷第10題為例說明如何采用綜合法，基底法，坐標(biāo)法求解空間中的線線角，并給出相關(guān)的變式訓(xùn)練，最后對(duì)立體幾何教學(xué)中存在的問題淺談自己的看法.

關(guān)鍵詞：線線角；綜合法；基底法；坐標(biāo)法

空間角的計(jì)算是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在高考試題中涉及到的空間角經(jīng)常有線線角，線面角，二面角.對(duì)于線線角的考查，一般以考查兩異面直線所成角為主，解決此類問題往往可以采用三種方法，分別是綜合法，基底法，作標(biāo)法.

一、考情分析

試題1（2017年全國II卷第10題）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）

A.32B.155C.105B.33

試題分析本題作為選擇題第10題，處于較為壓軸的位置，具有一定的難度，主要考查空間中線線角的計(jì)算，能夠較好地區(qū)分不同程度的考生.試題表述簡短，樸實(shí)，平易近人，但是內(nèi)涵豐富，寓意深厚，著重考查考生的空間想象能力（沒有給出具體圖形），推理論證能力.考生必須具備較強(qiáng)的空間想象能力，運(yùn)算求解能力方能正確作答.試題入手寬，解法多，具有較好的探究意義.

二、解法分析

方法1：綜合法

如圖1所示，取AB中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)Q，B1B中點(diǎn)N，B1C1中點(diǎn)P.連接MQ，PQ，MP，MN，PN.

因?yàn)锳B1//MN，BC1//PN，

所以異面直線AB1與BC1所成的角即為∠MNP或其補(bǔ)角.

所以AC=7，MQ=72，PQ=1，MN=52，PN=22，PM=112.

在ΔMNP中，cos∠MNP=PN2+MN2-PM22PN·MN=-105.

又異面直線所成角的范圍是（0，π2]，

故異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為105.

方法2：基底法

如圖2所示，設(shè)BA=a→，BB1=b→，BC=c→，

則a→=2，b→=1，c→=1，a→·b→=0，c→·b→=0，a→·c→=-1.

由于AB1=AB+BB1=b→-a→，

BC1=BB1+B1C1=b→+c→.

故AB1·BC1=2，AB1=5，BC1=2.

設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，

則cosθ=AB1·BC1AB1BC1=105.

方法3：坐標(biāo)法

如圖3所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1放入長方體A1E1F1C1-AEFC中，以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AC為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由于∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，

易求得AC=7，AE=37，BE=57.

所以A0，0，0，B37，57，0，B137，57，1，C10，7，1.

AB1=37，57，1，BC1=-37，7-57，1.

故AB1·BC1=2，AB1=5，BC1=2.

設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，

則cosθ=AB1·BC1AB1BC1=105.

上述三種方法是處理空間中線線角的常用方法.方法1為綜合法，理論依據(jù)是立幾中的三個(gè)公理以及相關(guān)定理、性質(zhì).其關(guān)鍵在于作出輔助線，進(jìn)而證明與解答.方法2是基底法，理論依據(jù)是空間向量基本定理（空間中任意一個(gè)向量都可以表示成不共面的三個(gè)向量的線性組合），需要三個(gè)模與相互夾角已知的不共面向量作為基底，用其表示空間內(nèi)任意向量，通過數(shù)量積等運(yùn)算實(shí)現(xiàn)化歸.方法3是建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何元素以坐標(biāo)的形式體現(xiàn)出來，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算.三種方法都具有各自的優(yōu)點(diǎn)，不可偏廢.本道高考試題很好地展現(xiàn)了三種解法的運(yùn)用，故而具有很好的探究意義并且對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)向功能.

變式1已知四面體O-ABC的各條棱長都是1.M，N分別是AB，OC的中點(diǎn).求異面直線OM與BN所成角的余弦值.

方法1：綜合法

如圖4所示，連接MC，取MC中點(diǎn)G，連接NG，BG.

由于OM//NG，所以異面直線OM與BN所成的角即為∠BNG或其補(bǔ)角.

易求得BN=32，NG=34，BG=74.

在ΔBNG中，cos∠BNG=BN2+GN2-BG22BN·GN=23.

故異面直線OM與BN所成角的余弦值為23.

方法2：基底法

如圖5所示，設(shè)OA=a→，OB=b→，OC=c→.

則a→=1，b→=1，c→=1，a→·b→=12，c→·b→=12，a→·c→=12.

由于OM=12a→+b→，BN=ON-OB=12c→-b→.

故OM·BN=-12，OM=32，BN=32.

設(shè)異面直線OM與BN所成的角為θ，

則cosθ=OM·BNOMBN=23.

方法3：坐標(biāo)法

如圖6所示，將四面體O-ABC放入正方體A1E1F1C1-AEFC中，并且建立空間直角坐標(biāo)系.

由于四面體O-ABC的各條棱長都是1，所以正方體棱長為22.

所以O(shè)22，22，22，M24，0，24，B22，0，0，N24，22，24.

OM=-24，-22，-24，BN=-24，22，24.

故OM·BN=-12，OM=32，BN=32.

設(shè)異面直線OM與BN所成的角為θ，

則cosθ=OM·BNOMBN=23.endprint

變式2（2015年浙江高考理科第13題）在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是多少？

方法1：綜合法

如圖7所示，連接DN，取DN中點(diǎn)E，連接ME，CE.

由于AN//ME，所以異面直線AN，CM所成的角即為∠CME或其補(bǔ)角.

易求得ME=2，CE=3，CM=22.

在ΔCME中，cos∠CME=78.

故異面直線AN，CM所成角的余弦值是78.

方法2：基底法

如圖8所示，設(shè)AD=a→，AB=b→，AC=c→.

則a→=2，b→=3，c→=3.

易求得cos∠BAC=79，cos∠CAD=13，

cos∠BAD=13.

故a→·b→=2，c→·b→=7，a→·c→=2.

由于AN=12c→+b→，CM=AM-AC=12a→-c→.

故AN·CM=-7，AN=22，CM=22.

設(shè)異面直線AN與CM所成的角為θ，

則cosθ=AN·CMANCM=78.

方法3：坐標(biāo)法

如圖9所示，將三棱錐A-BCD放入長方體中，并且建立空間直角坐標(biāo)系.

A2，0，0，N22，22，7，C2，2，7，M22，22，0.

AN=-22，22，7，CM=-22，-22，-7.

故AN·CM=-7，AN=22，CM=22.

設(shè)異面直線AN與CM所成的角為θ，

則cosθ=AN·CMANCM=78.

三、教學(xué)啟示

1.講透核心概念

空間中線線角的求解計(jì)算往往可以采用綜合法和向量法（向量基底法與向量坐標(biāo)法）來解決.雖然方法有別，但是各種方法的出發(fā)點(diǎn)是異面直線所成角的定義以及異面直線和共面直線的區(qū)別.這就啟發(fā)我們?cè)诮虒W(xué)中一定要抓住核心概念，講透核心概念的來龍去脈，從正反兩方面深刻理解核心概念的本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相關(guān)的解題策略引導(dǎo)以達(dá)到對(duì)概念內(nèi)涵和外延的鞏固.

2.不可偏廢綜合法

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，向量法可以以算代證地處理幾何問題，強(qiáng)有力的代數(shù)計(jì)算幾乎扼殺了幾何方法的直觀簡潔之美，將幾何推證淪為機(jī)械計(jì)算的數(shù)字游戲.事實(shí)上，綜合法的實(shí)質(zhì)是立體問題平面化，即利用已知條件及定理，性質(zhì)，法則等已知事實(shí)，以合情推理為先導(dǎo)，演繹推理不斷整合完善，最終將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的溝通，其解題途徑多樣，思維靈活多變，能夠更好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)理性思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).以2016年全國I卷第11題為例進(jìn)行說明.

試題2平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（）.

A.32B.22C.33D.13

解法分析如圖10所示，設(shè)面CB1D1∩平面ABCD=m1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1.

由于α//平面CB1D1，平面ABCD∩α=m，平面ABCD∩面CB1D1=m1，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有m//m1.

由于面ABCD//面A1B1C1D1，面CB1D1∩平面ABCD=m1，面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有B1D1//m1.

因此有m//B1D1.

由于α//平面CB1D1，平面ABB1A1∩α=n，平面ABB1A1∩面CB1D1=n1，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有n//n1.

由于面DCC1D1//面ABB1A1，面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有CD1//n1.

因此有n//CD1.

因此，m，n所成角的正弦值為B1D1與CD1所成角的正弦值.

由于ΔCB1D1是一個(gè)正三角形，故正弦值為32.

不難發(fā)現(xiàn)，本道試題也是空間中線線角的求解.然而由于題目本身的特殊性，無法采用基底法或者坐標(biāo)法，此時(shí)只能運(yùn)用綜合法的思路進(jìn)行分析.因此，如果我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中一味地強(qiáng)調(diào)向量法就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的思維產(chǎn)生局限，碰到諸如此類較為靈活的試題就會(huì)受阻.相反如果我們能夠注重對(duì)綜合法的培養(yǎng)與滲透，學(xué)生在陌生的情境下就能夠自覺分析，不僅能夠順利解答還能產(chǎn)生更多優(yōu)秀的解法.

優(yōu)化解法1如圖11所示，由于α//平面CB1D1，平面ABCD∩α=m，平面ABCD∩面CB1D1=CM，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有m//CM.

由于α//平面CB1D1，平面ABB1A1∩α=n，平面ABB1A1∩面CB1D1=B1M，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有n//B1M.

因此，m，n所成角的正弦值為CM與B1M所成角的正弦值.

由于ΔCB1M是一個(gè)正三角形，故正弦值為32.

優(yōu)化解法2 如圖12所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1的下方和下方的左側(cè)各補(bǔ)上一個(gè)一模一樣的正方體.顯然AR//D1B1，AF//D1C，故面ARF//面CB1D1，

因此題目給出的平面α即是面ARF.

不難發(fā)現(xiàn)，α∩平面ABCD=m，即為面ARF∩平面ABCD=m，故m=AR；

同理，α∩平面ABB1A1=n，即為面ARF∩平面ABB1A1=n，故n=AF.因此m，n所成角即為直線AR，AF所成的角.

設(shè)該正方體的棱長為1，

在ΔARF中，AR=2，AF=2，RF=6，

由余弦定理可求得∠RAF=120°.

因此m，n所成角為120°，故正弦值為32.

3.正確處理好綜合法與向量法的關(guān)系

向量法的引入是大勢(shì)所趨，符合國際數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流.向量法對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)等方面具有促進(jìn)作用，且能有效減輕學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何過程中過渡依賴平面幾何的沉重負(fù)擔(dān)，正如吳文俊先生說，如今隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用和發(fā)展，用代數(shù)研究幾何難題是最好的方式，除此之外我實(shí)在想不出其他的.這足以體現(xiàn)向量工具性的作用.因此在教學(xué)中，我們要處理好綜合法與向量法的關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量法與綜合法，從不同角度解決立體幾何問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]張延斌.剖析立體幾何中幾個(gè)常見模型的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（3）：27-29.endprint