傳送帶模型中的功能關(guān)系及應(yīng)用

周榮高

傳送帶問(wèn)題以真實(shí)物理現(xiàn)象為依據(jù)，它既能訓(xùn)練學(xué)生的科學(xué)思維，又能聯(lián)系科學(xué)和生活實(shí)際，同時(shí)涉及受力分析、相對(duì)運(yùn)動(dòng)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律以及功能關(guān)系等多方面相關(guān)的知識(shí)，綜合性強(qiáng)，能考查考生分析物理過(guò)程及應(yīng)用物理規(guī)律解答實(shí)際問(wèn)題的能力，這種類型的問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。本文側(cè)重分析有關(guān)摩擦力做功的計(jì)算、動(dòng)能定理的運(yùn)用以及傳送帶系統(tǒng)能的轉(zhuǎn)化和守恒的有關(guān)問(wèn)題。

一、功能關(guān)系計(jì)算

1.物體與傳送帶相對(duì)滑動(dòng)時(shí)摩擦力的功

①滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體做的功

由動(dòng)能定理

其中x₁是物體對(duì)地的位移，滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體可能做正功，也可能做負(fù)功，物體的動(dòng)能可能增加也可能減少。

②滑動(dòng)摩擦力對(duì)傳送帶做的功由功的概念得 ，其中x₂是傳送帶對(duì)地的位移，滑動(dòng)摩擦力對(duì)傳送帶可能做正功也可能做負(fù)功。

說(shuō)明：當(dāng)摩擦力對(duì)傳送帶做負(fù)功時(shí)，我們通常說(shuō)成是傳送帶克服摩擦力做功，這個(gè)功的數(shù)值等于外界向傳送帶系統(tǒng)輸入的能量。

③摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的總功等于摩擦力對(duì)物體和傳送帶做的功的代數(shù)和。

即

結(jié)論：滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)總是做負(fù)功，這個(gè)功的數(shù)值等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積。

④摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的總功的物理意義是：摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的總功，在數(shù)值上等于物體與傳送帶相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量，即Q=f△x。

2.傳送帶系統(tǒng)能量的分配

要維持傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)，必須有外力克服傳送帶受到的阻力做功而將系統(tǒng)外的能量轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的能量，傳送帶克服摩擦力所做的功W等于外界注入系統(tǒng)的能量E，通常情況下，這部分能量一部分轉(zhuǎn)化為被傳送物體的機(jī)械能E_機(jī)，另一部分通過(guò)相互摩擦轉(zhuǎn)化為內(nèi)能Q。由能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：

或者寫成

3.分析能量問(wèn)題的思路

①外界對(duì)系統(tǒng)做的功或者外界注入系統(tǒng)的能量是多少；

②弄清楚注入的能量分配為哪幾部分，這些能量分別是多少；

③由能量轉(zhuǎn)化和守恒定律進(jìn)行計(jì)算；

④受力分析的過(guò)程中要注意摩擦力大小和方向的突變，突變往往發(fā)生在物體與傳送帶速度相等的時(shí)刻。要注意到傳送帶對(duì)物體可能是以靜摩擦力作用，此運(yùn)動(dòng)階段不產(chǎn)生熱量。 二、經(jīng)典應(yīng)用透析

1.水平傳送帶模型

例1 如圖1所示，電動(dòng)機(jī)帶著水平傳送帶以ν=10m/s的恒定速度向右運(yùn)動(dòng)，傳送帶長(zhǎng)L=16m，今在其左端A將一個(gè)質(zhì)量m=lkg的工件輕輕放在上面，工件被傳送到右端B，已知工件與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，g=10m/s²。試求：

（1）工件由A端傳送到B端的時(shí)間；

（2）此過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦熱；

（3）電動(dòng)機(jī)由于傳送物體多消耗的電能。

點(diǎn)撥 剛開(kāi)始工件受到傳送帶水平向右的滑動(dòng)摩擦力而做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)工件速度與傳送帶速度相同時(shí)，工件與傳送帶一起做勻速運(yùn)動(dòng)，二者之間不再有摩擦力。工件做勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于ν_件<ν_帶，則二者發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，傳送帶克服摩擦力做功產(chǎn)生熱量，工件做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，不再產(chǎn)生摩擦熱。

解析 （1）由題意可知，工件初速度ν₀=0，加速度a=μg=5m/s²，工件加速時(shí)時(shí)間t₁=ν/a=2s

工件加速過(guò)程中位移

工件勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

則工件由A端傳送到B端的時(shí)間

（2）工件加速過(guò)程中的相對(duì)位移

故此過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦熱

（3）電動(dòng)機(jī)由于傳送物體多消耗的電能

升華 在利用傳送帶運(yùn)輸物體時(shí)，因物體與傳送帶間存在相對(duì)滑動(dòng)而產(chǎn)生摩擦熱，這樣就會(huì)使動(dòng)力系統(tǒng)要多消耗一部分能量。在計(jì)算傳送帶系統(tǒng)因傳送物體而消耗的能量時(shí)，一定不要忘記物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)因相對(duì)滑動(dòng)而摩擦生熱的計(jì)算。

變式1 如圖2所示，水平傳送帶以ν=10m/s的恒定速度向右運(yùn)動(dòng)，傳送帶長(zhǎng)L=16m，今在其左端A將一個(gè)質(zhì)量m=lkg的工件，以某一水平速度滑上傳送帶，工件傳送到右端B，已知工件與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)/x=0.5=10m/s²。試求：

（1）若工件以ν₀=5m/s的速度水平向右滑上傳送帶，工件由A端到B端的時(shí)間及系統(tǒng)摩擦熱為多少？

（2）若工件以ν₀=12m/s的速度水平向右滑上傳送帶，工件由A端到B端的時(shí)間及系統(tǒng)摩擦熱又為多少？

點(diǎn)撥 工件以5m/s的速度滑上傳送帶時(shí)，由于ν_件<ν_帶，工件受水平向右的滑動(dòng)摩擦力做勻加速運(yùn)動(dòng)。工件以12m/s的速度滑上傳送帶時(shí)，由于ν_件>ν_帶，工件受水平向左的滑動(dòng)摩擦力做勻減速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ν_件=ν_帶時(shí)二者一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的摩擦熱只產(chǎn)生在工件與傳送帶發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的階段。

解析 （1）因ν₀<ν，故工件先加速運(yùn)動(dòng)，工件加速到與傳送帶速度的時(shí)間

工件加速階段的位移

工件勻速運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間

故工件由A端到B端的時(shí)間

則工件由A端到B端過(guò)程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦熱為

（2）因ν₀>ν，故工件先減速運(yùn)動(dòng)，工件減速時(shí)間

工件減速階段的位移

工件勻速運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間L—

故工件由A端到B端的時(shí)間endprint

則工件由A端到B端過(guò)程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦熱為

變式2 如圖3所示，在變式1中若傳送帶改為沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，且r=10m/s，試分析當(dāng)工件分別以初速度ν₀=5m/s和ν₀=12m/s，從左端A水平向右滑上傳送帶時(shí)，工件的運(yùn)動(dòng)情況，并求出該過(guò)程產(chǎn)生的摩擦熱。

點(diǎn)撥 ν₀與ν反向，工件受到與運(yùn)動(dòng)方向相反的摩擦力而做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。若工件從傳送帶右端滑出，工件將一直受到摩擦力的作用而做勻減速運(yùn)動(dòng)，若工件不能從傳送帶右端滑出，工件將先勻減速到ν=0，然后再反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)直到與傳送帶速度相同。若工件從傳送帶右端滑出，則產(chǎn)生摩擦熱的距離為物塊與傳送帶相對(duì)滑動(dòng)距離，即等于L+νt。若工件先減速后反向加速，則克服摩擦力做功產(chǎn)生摩擦熱的距離為工件與傳送帶發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的距離。

解析 （1）ν₀=5m/s時(shí)，工件先向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為0的時(shí)間

件運(yùn)動(dòng)的位移^=從-士說(shuō)丨=14.4m

故工件再向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，速度增加到與傳送帶相同的時(shí)間^=i=2s，運(yùn)動(dòng)的位移

a

&=士=10m，再以速度z；=10m/s勻速

運(yùn)動(dòng)A端的時(shí)間=^^=0.44s，故工件

v

再回到A端，共需時(shí)間，=^^^=

4.84s，此過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量0=//jng（vt{+x{+vt2-x2}=242J。

升華 （1）當(dāng)ν₀與ν同向時(shí)，只要傳送帶足夠長(zhǎng)，無(wú)論ν₀與ν的大小關(guān)系如何，最終一定一起勾速運(yùn)動(dòng)。（2）當(dāng)ν₀與ν反向時(shí)，只要傳送帶足夠長(zhǎng)，當(dāng)ν₀<ν時(shí)，工件返回到滑人端，速度大小仍為ν₀；當(dāng)ν₀>ν時(shí)，工件返回到滑入端，速度大小為ν。（3）Q=μmgx_相，式中x_相為全過(guò)程的相對(duì)位移，應(yīng)注意ν₀與ν同向和反向時(shí)的區(qū)別。

總結(jié) 水平傳送帶解題策略：先分析物體初速度與傳送帶速度關(guān)系，然后判斷出物體所受摩擦力是阻力還是動(dòng)力，接著分析物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，抓住“滑動(dòng)摩擦力突變發(fā)生在二者速度相等”的臨界狀態(tài)，對(duì)其全過(guò)程進(jìn)行正確分析，進(jìn)而運(yùn)用有關(guān)物理規(guī)律求解。

2.傾斜傳送帶模型

例2如圖4所示，傳送帶與地面的夾角θ=37°，A、B兩端間距L=16m，傳送帶以速度ν=10m/s，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，物體質(zhì)量m=1kg，無(wú)初速度地放置于A端，它與傳送帶間的動(dòng)摩檫因數(shù)μ=0.5，試求：

（1）物體由A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間；

（2）系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量。

點(diǎn)撥 開(kāi)始時(shí)物體沿斜面方向受重力沿斜面向下的分力與斜面對(duì)它沿斜面向下的摩擦力而做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ν_物=ν_帶時(shí)，先判斷物體所受沿斜面向下的重力分力與摩擦力的大小關(guān)系，若mgsinθ>μmgcosθ，則物體繼續(xù)沿斜面做勻加速運(yùn)動(dòng)（此時(shí)摩擦力的方向變?yōu)橄蛏?，合力變小，加速度減?。?，若/mgsinθ≦/μmgcosθ，則物體隨斜面一起勻速運(yùn)動(dòng)。無(wú)論物體相對(duì)傳送帶如何運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量等于摩擦力乘以它們間的相對(duì)路程。

解析 （1）物體剛放上傳送帶時(shí)受到沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力，由牛頓第二定律得：

變式1如圖5所示，傳送帶與地面的夾角θ=37°，A、B兩端間距L=16m，傳送帶以速度ν=10m/s，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，物體質(zhì)量m=1kg，無(wú)初速度地放置于A端，它與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，試求：

（1）物體由A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間；

（2）系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量。

解析 （1）物體剛放上傳送帶時(shí)受到沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力，由牛頓第二定律得：

變式2如圖6所示，傳送帶與地面的夾角θ=37°，A、B兩端間距L=16m，傳送帶以速度ν=10m/s，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，物體質(zhì)量m=1kg，無(wú)初速度地放置于A端，它與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，試求：

（1）物體由A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間；

（2）系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量。

點(diǎn)撥 傳送帶沿逆時(shí)針?lè)较颍ㄑ匦泵嫦蛏线\(yùn)動(dòng)），則物體始終受到沿斜面向上的摩擦力，因mgsinθ>μmgcosθ，則物體一直沿斜面向下做勻加速運(yùn)動(dòng)。物體沿斜面下滑的過(guò)程中克服摩擦力做功而產(chǎn)生熱量，相對(duì)滑動(dòng)的距離為傳送帶的長(zhǎng)度與傳送帶轉(zhuǎn)過(guò)的距離之和。

解析 因傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，物體受到的滑動(dòng)摩擦力沿斜面向上，由牛頓第二定律得：

則系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量

升華（1）物體沿傳送帶向下傳送時(shí)，若ν_物與ν_帶同向，則物體加速到與傳送帶速度相同時(shí)，若mgsinθ>μmgcosθ，則物體將繼續(xù)加速，但加速度大小已改變，若mgsinθ≦μmgcosθ，則物體與傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)。 （2）物體沿傳送帶向上傳送時(shí)，必有μmgcosθ>mgsinθ，且物體加速到與傳送帶同速后，一起與傳送帶勻速上升。

例2 如圖7所示，繃緊的皮帶與水平面的夾角θ=30°，皮帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，始終保持ν₀=2m/s的速率運(yùn)行?，F(xiàn)把一質(zhì)量m=10kg的工件（可看做質(zhì)點(diǎn)）輕輕放在皮帶的底端，經(jīng)時(shí)間t=1.9s，工件被傳送到h=1.5m的高處，g=10m/s².求：

（1）工件與皮帶間的動(dòng)摩檫因數(shù)；

（2）電動(dòng)機(jī)由于傳送工件多消耗的電能

點(diǎn)撥 通過(guò)分析和具體的計(jì)算弄清楚工件的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，要考慮到工件可能先加速后勻速運(yùn)動(dòng)，考慮到工件的動(dòng)能和重力勢(shì)能都在增加。

解析 （1）由題意可知皮帶長(zhǎng)為

（2）首先要弄清什么是電動(dòng)機(jī)“多消耗的電能當(dāng)皮帶空轉(zhuǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)會(huì)消耗一定的電能，現(xiàn)將一工件置于皮帶上，在摩擦力作用下，工件的動(dòng)能和重力勢(shì)能都要增加，另外，滑動(dòng)摩擦力做功還會(huì)使一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，這兩部分能量之和就是電動(dòng)機(jī)多消耗的電能。 在時(shí)間t₁內(nèi)，皮帶運(yùn)動(dòng)的位移為=1.6m，工件相對(duì)皮帶的位移△s=s₂-s₁=0.8m，

升華（1）靜止的物體放在傳送帶上運(yùn)動(dòng)，在物體與傳送帶達(dá)到相同速度之前，物體與皮帶存在相對(duì)滑動(dòng)，因此一定有摩擦生熱現(xiàn)象發(fā)生，摩擦生熱的量值等于滑動(dòng)摩擦力與物體相對(duì)于傳送帶位移的乘積。

（2）物體在傾斜的傳送帶上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與傳送帶達(dá)到共同速度后，若物體在靜摩擦力的作用下做勻速運(yùn)動(dòng)，此運(yùn)動(dòng)過(guò)程系統(tǒng)不產(chǎn)生熱量，動(dòng)能也不增加，但是物體的重力勢(shì)能仍在增加，這一點(diǎn)應(yīng)該引起重視。