應(yīng)用GPD模型估算設(shè)計(jì)冰厚誤差影響分析

黃 帥，譚 絨

(西南電力設(shè)計(jì)院有限公司，四川 成都 610021)

1 概述

近幾十年來，隨之全球變暖的不斷加劇，極端天氣和氣候事件頻發(fā)，引起了社會(huì)各界的廣泛關(guān)注，學(xué)者對極端氣候及其變化的研究更加重視。從而極值理論在氣象方面得到了廣泛應(yīng)用。曹深西、陳子燊等簡要論述了當(dāng)前廣泛使用的極值分布理論的3個(gè)概率分布模型，并應(yīng)用模型推算廣東沿海9個(gè)站點(diǎn)的極值風(fēng)速。榮艷淑等通過對淮河流域各氣象站月降水和水文站月流量的GPD函數(shù)擬合，分析比較了二者概率分布特征之間的異同，尤其對二者極端事件災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)之間的異同進(jìn)行了定量化對比分析。

在電力氣象中，學(xué)術(shù)界也早已開啟了對覆冰極值概率理論的研究。徐文君等 提出了基于廣義帕累托分布(GPD)和Copula函數(shù)的冰風(fēng)暴災(zāi)害下電力斷線倒塔的概率計(jì)算方法。陸益錳等根據(jù)綠蔥坡和捷克Studnice覆冰觀測站的年最大覆冰荷載觀測數(shù)據(jù)，分別按正態(tài)分布、極值Ⅰ型、極值Ⅱ型和極值Ⅲ型分布以及PearsonⅢ型指數(shù)分布模型進(jìn)行擬合，并采用K～S法檢驗(yàn)了擬合度最優(yōu)的概率模型；基于擬合的各概率模型，對上述兩個(gè)區(qū)域在不同重現(xiàn)期下的覆冰厚度進(jìn)行了計(jì)算分析。

西南院與高校合作開展了覆冰極值概率分布模型的研究，本文的主要工作為：應(yīng)用GPD模型，選取歷年大于門限值的標(biāo)準(zhǔn)冰厚組成30 a和任意5～15 a的覆冰標(biāo)準(zhǔn)冰厚樣本；統(tǒng)計(jì)多樣本覆冰標(biāo)準(zhǔn)冰厚在設(shè)計(jì)重現(xiàn)期為30 a、50 a、100 a、150 a時(shí)的設(shè)計(jì)冰厚；對大、小容量樣本計(jì)算結(jié)果比較及誤差分析，提出大、小容量統(tǒng)計(jì)結(jié)果的關(guān)系及誤差。

2 資料來源及GPD極值分布模型的建立

2.1 資料來源

本文共選用了4個(gè)有長期覆冰觀測資料的站點(diǎn)，分別為四川的峨眉山、黃茅埂站，重慶的金佛山站，以及湖北的綠蔥坡站，其中峨眉山、金佛山、綠蔥坡為國家基本氣象觀測站，黃茅埂為西南院建立的覆冰觀測站，通過對4個(gè)觀測站的數(shù)據(jù)資料整理和分析，本文選用的時(shí)間區(qū)間分別為：峨眉山、金佛山、綠蔥坡(1965～1995)及黃茅埂(1983～1999、2006～2015)。對選用的長期覆冰觀測資料進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化整理，得到長序列覆冰樣本。

2.2 GPD極值分布模型的建立

GPD分布又稱廣義帕雷托分布，其分布函數(shù)為：

分布密度(PDF)為：

式中：分布參數(shù)β為門限值，σ為尺度參數(shù)，κ為形狀參數(shù)。

由此，我們可得GPD分布的分位數(shù)為：

式中：λ被稱為年交叉率，λ=m/n，n、m分別為樣本數(shù)量及大于門限值的樣本數(shù)量。

其中門限值的選定是GPD分布模型在實(shí)際中應(yīng)用的關(guān)鍵，一般而言，選取的門限值越大，計(jì)算誤差減少，但估計(jì)方差增加。門限值的選取與確定一直是學(xué)術(shù)界有待克服的一個(gè)重大難題，本文我們主要采用最為常用的Hill圖解法來確定GPD分布的門限值。當(dāng)Hill圖形狀參數(shù)相對穩(wěn)定時(shí)所對應(yīng)的點(diǎn)，我們即認(rèn)為該點(diǎn)為GPD分布的閾值。

依據(jù)Hill圖解法選取的閾值，即可采用L－矩估計(jì)方法對GPD分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。已知，概率加權(quán)矩(PWM)的通式為：

因此，我們有(b0、b1)

這里μi分別是第i階L矩，分別取r =0和r =1，我可以得到如下關(guān)系式

由此可得GPD分布的參數(shù)α，k的估計(jì)式：

3 覆冰樣本的GPD分布擬合及其重現(xiàn)期極值估計(jì)

3.1 門限值的選取

對選定的峨眉山、金佛山、綠蔥坡以及黃茅埂站的覆冰資料，應(yīng)用Hill圖解法選取不同的門限值，得到相應(yīng)超門限極值次數(shù)序列，對相應(yīng)不同超門限極值次數(shù)序列進(jìn)行Poisson分布擬合優(yōu)度x2檢驗(yàn)可知，除了在峨眉山門限值為9 mm、10 mm，綠蔥坡門限值為7 mm時(shí)沒有通過泊松分布的x2檢驗(yàn)，其他各站均通過了2χ檢驗(yàn)。計(jì)算不同門限值下的Hill估計(jì)量，考察Hill估計(jì)量隨門限值的演變情況，其計(jì)算結(jié)果見圖1。各站Hill估計(jì)量隨門限變化趨于穩(wěn)定的點(diǎn)，可以確定各站的最佳門限值：峨眉山站約為11 mm，黃茅埂站約為10 mm，金佛山站約為14 mm，綠蔥坡站約為8 mm。

圖1 各站逐日標(biāo)準(zhǔn)冰厚的Hill圖

3.2 覆冰極值GPD概率分布型的擬合及其重現(xiàn)期極值估計(jì)

根據(jù)以上確定的門限值，利用峨眉山、黃茅埂、綠蔥坡、金佛山4站的逐日冰厚資料，進(jìn)行GPD模型的擬合，表1給出了各站不同樣本年限GPD模型擬合精度的三種檢驗(yàn)指標(biāo)，可以看出，4個(gè)站GPD模型的相關(guān)系數(shù)全部在0.970以上，均方誤差和K～S統(tǒng)計(jì)量也很小，均通過顯著性水平α＝0.05的置信度檢驗(yàn)，表明GPD模型對各站都具有較好的擬合精度。

表1 各站GPD模型的擬合精度檢驗(yàn)

綠蔥坡 8 109 0.998 0.024 0.016

圖1為峨眉山、黃茅埂、金佛山、綠蔥坡站門限值分別為11 mm、10 mm、14 mm、8 mm時(shí)GPD模型累積頻率曲線圖。從圖中可以看出，各站的理論累積頻率與實(shí)測累積頻率非常接近，除黃茅埂外，峨眉山、金佛山和綠蔥坡站的理論頻率與實(shí)際頻率變化基本一致。

4 不同樣本長度對各重現(xiàn)期極值估計(jì)的影響

4.1 GPD模型重現(xiàn)期極值隨樣本長度的變化

由于選取的門限值過大會(huì)直接導(dǎo)致短序列的樣本容量過小，故本節(jié)中我們適當(dāng)降低各站佳門限值。根據(jù)圖1，我們選取的各站最佳值分別為峨眉山5 mm、黃茅埂5 mm、金7 mm、綠蔥坡8 mm。表2～表5為4個(gè)同樣本年限GPD模型計(jì)算的不同重現(xiàn)期極圖3比較了不同樣本年限條件下GPD模型的30 a、50 a、100 a和150 a重現(xiàn)期的冰厚極值變化?？梢钥闯?，隨著重現(xiàn)期的增加，GPD模型計(jì)算的冰厚極值之間的差異也逐漸變大，且重現(xiàn)期越大，計(jì)算的冰厚極值越大。在不同的重現(xiàn)期下，GPD模型計(jì)算的冰厚極值隨樣本長度的變化具有較好的一致性。

圖2 各站GPD分布模型的擬合曲線

由圖3和表2～表5可知，峨眉山站30 a一遇的冰厚極值在20.01～28.20 mm，50 a一遇的冰厚極值在22.09～29.97 mm，100 a一遇的冰厚極值在24.95～32.32 mm，150 a一遇的冰厚極值在26.64～33.67 mm。黃茅埂站30 a一遇的冰厚極值在43.70～65.44 mm，50 a一遇的冰厚極值在45.24～69.98 mm，100 a一遇的冰厚極值在47.04～76.11 mm，150 a一遇的冰厚極值在47.95～79.69 mm。金佛山站30年一遇的冰厚極值在39.05～49.03 mm，50 a一遇的冰厚極值在40.30～51.63 mm，100 a一遇的冰厚極值在41.82～54.98 mm，150 a一遇的冰厚極值在42.60～56.85 mm。綠蔥坡站30 a一遇的冰厚極值在20.8～29.78 mm，50 a一遇的冰厚極值在21.50～29.11 mm，100 a一遇的冰厚極值在22.37～33.03 mm，150 a一遇的冰厚極值在22.82～35.96 mm。

4.2 短序列重現(xiàn)期極值的誤差分析

圖4(左)為各站不同樣本長度與長序列重現(xiàn)期極值的均方根誤差，可以看出，在不同重現(xiàn)期下，不同樣本長度與長序列重現(xiàn)期極值的均方根誤差變化趨勢基本一致。對各站不同重現(xiàn)期的均方根誤差求平均，并進(jìn)行二階多項(xiàng)式擬合，得到的擬合曲線見圖4(右)，各站的擬合相關(guān)系數(shù)分別為0.74、0.96、0.77、0.77，均在0.74以上，通過顯著性水平α=0.05的置信度檢驗(yàn)，尤其是黃茅埂站的擬合相關(guān)系數(shù)達(dá)0.96。

峨眉山站在樣本年限小于10 a時(shí)，均方根誤差隨樣本年限增加而減少；當(dāng)樣本年限大于10年時(shí)，均方根誤差隨樣本年限增加而增加。而金佛山和綠蔥坡站的變化趨勢與峨眉山站相反，在樣本年限小于10 a時(shí)，均方根誤差隨樣本年限增加而增加；當(dāng)樣本年限大于10 a時(shí)，均方根誤差隨樣本年限增加而減少。說明金佛山和綠蔥坡站在樣本年限大于10 a時(shí)，樣本年限越大，計(jì)算的重現(xiàn)期極值越接近于大容量樣本的極值。對于黃茅埂站，均方根誤差隨樣本年限的增加呈一致減少的趨勢，說明樣本年限越大，計(jì)算的重現(xiàn)期極值越接近大容量樣本的極值。

根據(jù)峨眉山、黃茅埂、金佛山、綠蔥坡4站

不同樣本年限GPD模型計(jì)算的不同重現(xiàn)期極值，計(jì)算不同樣本短序列與長序列的30 a、50 a、100年和150年重現(xiàn)期的冰厚極值的相對偏差，結(jié)果見表6。

表2 峨眉山GPD模型重現(xiàn)期極值隨樣本長度的變化(mm)

表3 黃茅埂站GPD模型重現(xiàn)期極值隨樣本長度的變化(mm)

表4 金佛山站GPD模型重現(xiàn)期極值隨樣本長度的變化(mm)

表5 綠蔥坡站GPD模型重現(xiàn)期極值隨樣本長度的變化(mm)

圖3 各站GPD模型重現(xiàn)期極值隨樣本量變化

圖4 各站不同樣本長度與長序列重現(xiàn)期極值的均方根誤差(左)及不同重現(xiàn)期的平均均方根誤差擬合曲線(右)

表6 各站不同樣本長度與長序列重現(xiàn)期極值的相對偏差(%)

可以看出，峨眉山站與金佛山站不同樣本長度(5～15 a)短序列與長序列的不同重現(xiàn)期冰厚極值的絕對平均相對偏差較小，其中峨眉山站100 a重現(xiàn)期的絕對平均相對偏差最小，僅為6.88%；黃茅埂站與綠蔥坡站不同樣本長度(5～15 a)短序列與長序列的各重現(xiàn)期的冰厚極值的平均相對偏差較大，其中綠蔥坡站30 a重現(xiàn)期的絕對平均相對偏差最大為－22.60%。相對偏差最大值出現(xiàn)在黃茅埂站5 a樣本的150 a重現(xiàn)期，為－33.18%；相對偏差最小值出現(xiàn)在峨眉山站10 a樣本的100年重現(xiàn)期，為－0.22%。峨眉山站5～15 a短序列較30 a長序列的不同重現(xiàn)期的冰厚極值大多偏大；黃茅埂站、金佛山站、綠蔥坡站5～15 a短序列較30 a長序列的不同重現(xiàn)期的冰厚極值大多偏小。各站相對偏差隨樣本年限的變化趨勢與均方根誤差隨樣本年限變化趨勢一致。

在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)，任意選取的5～15 a短序列樣本，由于年度標(biāo)準(zhǔn)冰厚的大小有隨機(jī)性，假如中間有一年出現(xiàn)較大覆冰過程，包含年的短序列計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大差異，尤其是選用的氣象站資料為逐日的觀測數(shù)據(jù)，差異會(huì)較明顯；而觀冰站數(shù)據(jù)為各覆冰過程最大值，任意選取的短序列樣本的GPD計(jì)算結(jié)果差異較小。

4.3 應(yīng)用短序列覆冰對不同重現(xiàn)期極值估算方法

與氣象站觀測不同，觀冰站建站時(shí)間一般都較晚，且長期觀測成本較高。除特別的輸電線路通道外，觀冰站點(diǎn)的觀測一般僅限于滿足近期輸電線路的規(guī)劃需要，觀測年限較短，而氣象站又鮮有電線積冰的觀測資料。因此，實(shí)際線路工程中，如何正確應(yīng)用短序列的數(shù)據(jù)資料推算不同重現(xiàn)期的覆冰極值，成為線路設(shè)計(jì)的一個(gè)難點(diǎn)。

根據(jù)上述計(jì)算的不同樣本容量下重現(xiàn)期冰厚極值，將5～10 a以內(nèi)GPD模型的計(jì)算結(jié)果定義為短序列，求取短序列結(jié)果的平均值，而將峨眉山、金佛山、綠蔥坡3站的30 a資料和黃茅埂站的25 a資料計(jì)算的重現(xiàn)期極值作為長序列結(jié)果，則短序列的估算系數(shù)可以用長序列的重現(xiàn)期極值與短序列極值的比值來表示。

峨眉山站、黃茅埂站、綠蔥坡站和金佛山站GPD模型短序列重現(xiàn)期極值的估算系數(shù)結(jié)果見表7。從表7可以看出，30 a重現(xiàn)期下短序列的估算系數(shù)范圍為0.96～1.29，50 a重現(xiàn)期下短序列的估算系數(shù)范圍為0.96～1.27，100年重現(xiàn)期下短序列的估算系數(shù)范圍為0.97～1.24，150 a重現(xiàn)期下短序列的估算系數(shù)范圍為0.97～1.22。

表7 GPD模型短序列重現(xiàn)期極值的估算系數(shù)

?

5 結(jié)論

本文主要選用峨眉山、黃茅埂、綠蔥坡、金佛山4站的導(dǎo)線覆冰資料，應(yīng)用GPD模型，選取歷年大于門限值的標(biāo)準(zhǔn)冰厚組成30 a和任意5～15 a的覆冰標(biāo)準(zhǔn)冰厚樣本；統(tǒng)計(jì)多樣本覆冰標(biāo)準(zhǔn)冰厚在不同重現(xiàn)期下的設(shè)計(jì)冰厚；對大、小容量樣本計(jì)算結(jié)果比較及誤差分析，得到主要結(jié)論如下：

(1)應(yīng)用Hill圖解法確定的各站最佳門限值分別為11 mm、10 mm、14 mm、8 mm，為防止短序列的樣本容量過小，應(yīng)適當(dāng)降低各站的最佳門限值。

(2)任意選取的5～15 a短序列樣本，年度標(biāo)準(zhǔn)冰厚的大小水平有任意性，尤其是氣象站的觀測數(shù)據(jù)為每天一次的數(shù)據(jù)，差異會(huì)較明顯；而觀冰站數(shù)據(jù)為各覆冰過程最大值，任意選取的短序列樣本的GPD計(jì)算結(jié)果差異較小。

(3)在實(shí)踐中，為保障輸電線路工程的安全運(yùn)行，對于樣本容量較少的觀測站點(diǎn)，應(yīng)在GPD模型計(jì)算出的重現(xiàn)期極值基礎(chǔ)上乘以相應(yīng)重現(xiàn)期對應(yīng)的估算系數(shù)上限作為極值覆冰標(biāo)準(zhǔn)冰厚的設(shè)計(jì)成果。根據(jù)本文的分析成果，一般來說，GPD模型30 a、50 a、100 a、150 a重現(xiàn)期極值的估算系數(shù)上限取值分別為1.29、1.27、1.24、1.22。

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