考慮邊界條件不確定性的塔機有限元模型修正

秦仙蓉， 郝婼蘭， 徐 儉， 張 氫， 孫遠韜

(同濟大學機械與能源工程學院 上海，201804)

引 言

由于塔式起重機(以下簡稱塔機)常處于惡劣的工作環(huán)境中可引發(fā)嚴重事故，所以必須對起重機械的安全進行基礎性、系統(tǒng)性的研究，實現(xiàn)對塔機進行動態(tài)性能在線監(jiān)測，這首先需要可信的、能準確反映結(jié)構實際力學特性的有限元模型。隨著大型塔機結(jié)構的復雜化，需要利用試驗數(shù)據(jù)對初始有限元模型進行修正，修正后的有限元模型能反映結(jié)構的力學特性，更能對工程結(jié)構進行損傷識別、健康診斷以及對工程結(jié)構工作狀態(tài)進行評估與預測[1]。

有限元模型修正方法大體分為4類，分別為基于靜力學信息[2]、基于動力學信息[3]、聯(lián)合靜力學和動力學信息[4]、基于響應面法的有限元模型修正[5-12]。基于響應面方法的有限元模型修正的主要思路是：首先，采用合適的試驗設計方法設計試驗；然后，基于統(tǒng)計學分析技術得到能反映特征量與設計空間之間復雜隱式函數(shù)關系的顯式響應面模型；最后，直接利用響應面替代原有限元模型進行修正。這樣就將計算工作量非常大的有限元分析轉(zhuǎn)移到計算速度更快的響應面分析，使計算效率大大提高。文獻[5]在分析土坡穩(wěn)定的可靠性中，應用響應面法建立了包含常數(shù)項和線性項的二次多項式響應面函數(shù)，該方法的計算效率相比傳統(tǒng)可靠度計算方法有大幅提升。文獻[6]在二階多項式響應面函數(shù)中忽略交叉項，考慮平方項的影響，建立了更加簡單有效的回歸響應面。文獻[8-12]系統(tǒng)闡述了響應面方法的幾個關鍵步驟，包括響應面函數(shù)形式的選擇和試驗設計方案的確定等，并通過許多工程實例證明了該方法能明顯提高修正的效率。

過去的大型塔機模型修正案例中，為了簡化問題，往往忽略邊界條件的不確定性，只對結(jié)構的材料參數(shù)及結(jié)構參數(shù)進行修正，這樣會使修正結(jié)果精度不夠或計算收斂困難。筆者考慮邊界條件的不確定性，建立某型塔機有限元模型，采用質(zhì)量剛度阻尼單元MATRIX27來模擬實際結(jié)構的邊界條件，通過修正質(zhì)量剛度阻尼單元MATRIX27的剛度值來逼近實際結(jié)構的邊界條件，從而說明有限元模型修正過程中考慮邊界條件影響的必要性，證明了所提出的考慮邊界條件不確定性的修正方法的有效性。

1 塔機風振響應現(xiàn)場實測

圖1為某型塔機及主要部件圖。整機高度為56 m，最大臂長為65 m，最大臂長處額定起重量為1 300 kg。采用模態(tài)測試方法，通過風致振動測試進行結(jié)構動力特性識別。由于測試對象結(jié)構跨度非常大且結(jié)構復雜，人在塔機上活動范圍非常有限，不適宜配置有線式振動傳感器和數(shù)據(jù)采集儀，故采用無線環(huán)境激勵試驗模態(tài)測試分析系統(tǒng)DH5907A測試設備，測試設備與現(xiàn)場如圖2所示。

圖1 某型塔機及主要部件Fig.1 Components of a tower crane

圖2 測試設備與測試現(xiàn)場Fig.2 Test equipment and testing scene

基于風致振動測試數(shù)據(jù)，采用時域的隨機子空間方法對塔機模態(tài)參數(shù)進行識別，得到如表1所示的塔機低階固有頻率及振型。以前五階實測模態(tài)數(shù)據(jù)為依據(jù)，修正塔機有限元模型。

表1實測塔機前五階模態(tài)頻率及相應振型

Tab.1Modalfrequenciesandmodeshapesofthetowercranefromfieldtests

階次f/Hz振型10．12起重臂回轉(zhuǎn)平面一階彎曲20．26起重臂起升平面一階彎曲30．35塔身回轉(zhuǎn)平面一階彎曲40．70塔身起升平面一階彎曲50．88起重臂回轉(zhuǎn)平面二階彎曲

2 考慮邊界條件不確定性的有限元建模

根據(jù)塔機施工圖紙中的材料參數(shù)、幾何參數(shù)及邊界條件等在ANSYS平臺中建立初始有限元模型。其中：塔身、起重臂、平衡臂及塔頂?shù)冉Y(jié)構采用三維鐵木辛柯梁單元BEAM189；起重臂及平衡臂的拉桿采用桿單元LINK10；起升機構、變幅機構、平衡重、套架、小車及吊鉤以集中質(zhì)量點單元MASS21的方式分別加在平衡臂、起重臂、平衡臂、塔身和起重臂上的對應位置。在基礎節(jié)插入混凝土部分的4個腳點對應的節(jié)點施加全約束。

在邊界條件的處理方面，以往的很多大型塔機的修正案例中為簡化問題，在建立塔機的有限元模型時，往往是直接在基礎節(jié)與加強節(jié)連接處的節(jié)點上施加全約束，相當于將基礎節(jié)與加強節(jié)之間的連接剛度視為無窮大，這顯然不符合實際情況?；A節(jié)與加強節(jié)連接處的實際剛度值(x方向剛度(kx)，y方向剛度(ky)，z方向剛度(kz)，繞x軸轉(zhuǎn)動的扭轉(zhuǎn)剛度(kφx)，繞y軸轉(zhuǎn)動的扭轉(zhuǎn)剛度(kφy)和繞z軸轉(zhuǎn)動的扭轉(zhuǎn)剛度(kφz))不可能為無窮大，但具體為多少無法準確測量，且隨著時間推移，連接材料的強度等會發(fā)生不同程度的變化，因此塔機有限元模型的邊界條件不能完全確定，具有不確定性。由于這種不確定性的存在，通過對邊界直接施加全約束建立的初始有限元模型得到的仿真結(jié)果必然與試驗結(jié)果之間存在誤差。

為了建立更準確的有限元模型，了解邊界條件對模型修正結(jié)果精度的影響，建立考慮邊界條件不確定性的初始有限元模型，即用質(zhì)量剛度阻尼單元MARTIX27模擬邊界條件。如圖3所示，基礎節(jié)和加強節(jié)通過點1～4連接，在4個連接點處都建立6個六自由度質(zhì)量剛度阻尼單元MATRIX27，分別模擬kx，ky，kz，kφx，kφy和kφz，共24個單元。

初始有限元模型如圖3所示，其單元數(shù)近6 000個，節(jié)點數(shù)超過1萬個，自由度數(shù)超過6萬個。

圖3 初始有限元模型Fig.3 The initial finite element model

3 基于響應面法的有限元模型修正

基于響應面方法的有限元模型修正的主要步驟是：a.選定修正參數(shù)；b.采用合適的試驗設計方法設計試驗，進行樣本計算；c.基于統(tǒng)計學分析技術，得到能反映特征量和設計空間之間復雜隱式函數(shù)關系的顯式響應面模型；d.評價響應面的有效性；e.利用響應面替代模型進行模型修正。具體步驟及流程如圖4所示。

圖4 基于響應面法的有限元模型修正實現(xiàn)流程Fig.4 The FEM updating implementation process based on the response surface method

3.1 修正參數(shù)篩選

考慮到有些自由度上的彈簧單元可能對結(jié)構動態(tài)特性的影響不顯著，為了進一步簡化模型，進行靈敏度分析。靈敏度分析的結(jié)果顯示每個連接點的轉(zhuǎn)動剛度(kφx，kφy和kφz)對結(jié)構的動態(tài)特性影響均不顯著，剔除這些參數(shù)，剩下每個連接點處3個方向的平動剛度(kx，ky和kz)，共12個待修正參數(shù)。

由于條件限制，未能通過試驗方式給出修正參數(shù)的初始值。筆者在基礎節(jié)與加強節(jié)之間節(jié)點施加全約束的有限元模型中提取被約束單元的剛度矩陣，用來初步預估12個修正參數(shù)的初始值，如表2所示。

表2某型塔機基礎節(jié)及加強節(jié)之間各向連接剛度初始值

Tab.2Initialvalueoftheconnectionstiffnessbetweenthebasesectionandthestrengthensectionofthetowercrane

序號參數(shù)參數(shù)說明初始值/(MN·m-1)1x1連接點1處x方向62x2連接點1處y方向1003x3連接點1處z方向24x4連接點2處x方向65x5連接點2處y方向1006x6連接點2處z方向27x7連接點3處x方向68x8連接點3處y方向1009x9連接點3處z方向210x10連接點4處x方向611x11連接點4處y方向10012x12連接點4處z方向2

3.2 二次響應面模型修正

由上所述，共選取了12個修正參數(shù)，選取結(jié)構的前4階模態(tài)頻率作為響應，采用二次響應面方法對選取的參數(shù)進行修正。其步驟如下：a.基于D最優(yōu)設計方法，選擇94組設計樣本，將樣本參數(shù)代入有限元模型中，計算前4階頻率；b.采用以F檢驗法為標準的逐步回歸法對各自變量進行顯著性分析，決定變量的取舍；c.選取二次響應面函數(shù)。

應用最小二乘回歸分析技術對樣本數(shù)據(jù)進行擬合，得到塔機前四階固有頻率的響應面函數(shù)為

0.002 5x6+0.002 8x7+0.000 5x9+

(1)

(2)

(3)

(4)

由二次響應面表達式可以看出：塔機的第1階頻率，即起重臂在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的彎曲振動模態(tài)主要與基礎節(jié)和加強節(jié)1，2和3連接點x方向的剛度以及2連接點z方向的剛度有關；塔機的第2階～第4階模態(tài)，即起重臂在起升平面內(nèi)的彎曲振動模態(tài)，塔身在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的彎曲振動模態(tài)及塔身在起升平面內(nèi)的彎曲振動模態(tài)均主要與基礎節(jié)和加強節(jié)連接點y方向的剛度有關。

通過對比有限元模型和響應面模型的計算值，來評價響應面模型的有效性，保證其可靠性。對于含有多個響應的響應面模型，通常采用樣本的決定系數(shù)R2和相對均方根誤差RMSE[12-13]兩種標準進行評價，其表達式為

表3為計算的R2和RMSE的結(jié)果?？梢姡篟2的最小值為0.871 6，接近于1；RMSE的最大值為0.003 3，接近于0，說明響應面函數(shù)計算值與真值之間的差異程度很小。因此在參數(shù)設計空間內(nèi)，響應面函數(shù)能夠有效反映結(jié)構響應和參數(shù)之間的關系，回歸的響應面模型可以替代有限元模型進行模型修正。

表3塔機二次響應面模型有效性評價

Tab.3Evaluationoftheeffectivenessofquadraticresponsesurfaceforthetowercrane

階次1234R20．87850．87240．87160．9372RMSE/10-31．23．32．60．87

將塔機前4階頻率的響應面模型替代有限元模型，進行優(yōu)化迭代，對參數(shù)進行修正。此模型修正問題可以轉(zhuǎn)化為一個單目標約束優(yōu)化問題，數(shù)學模型為

(7)

s.t.xi,min≤xi≤xi,max

(8)

表4 修正后參數(shù)值與初始值比較Tab.4 Comparison of updated parameters and initial values

修正后的參數(shù)值與初始值對比如表4所示。將修正后的參數(shù)代入有限元模型進行計算，將計算得到的頻率與實測結(jié)果進行對比，如表5所示。分析前4階頻率可知，基于二次響應面法修正后的有限元模型計算結(jié)果與實測頻率很接近，最大相對誤差為8.3%，最小相對誤差為0%，證實了用響應面模型替代有限元模型進行修正的可行性和有效性。將修正前后模型的第5階頻率與實測第5階頻率對比可得，修正后的有限元模型預測精度明顯高于修正前模型，說明對結(jié)構的邊界條件進行修正后的有限元模型不僅能復現(xiàn)實測頻段內(nèi)的模態(tài)，還能以一定精度預測實測頻段外的模態(tài)。

考慮到相同的頻率不一定對應一致的振型，將修正后的參數(shù)代入有限元模型進行計算，提取前5階振型，分別與實測振型進行對比，發(fā)現(xiàn)各階振型能較好吻合。這說明利用修正后的有限元模型計算得到的各階模態(tài)仍然與實測模態(tài)相對應。

表5修正前后頻率與實測頻率比較

Tab.5Comparisonofnon-updated,updatedfrequenciesandmeasuredfrequencies

模態(tài)階次實測頻率/Hz初始模型二次響應面初始頻率/Hz誤差/%修正后頻率/Hz誤差/%復現(xiàn)10．120．10-16．70．138．3復現(xiàn)20．260．22-15．40．287．7復現(xiàn)30．350．29-17．10．350．0復現(xiàn)40．700．61-12．80．665．7預測50．880．84-4．50．891．1

誤差率=100%×(計算值-實測值)/實測值

圖5 基于二次響應面法目標函數(shù)收斂曲線Fig.5 Convergence curve of the cost function based on the quadratic response surface method

圖5為基于二次響應面法的塔機模型修正過程的目標函數(shù)收斂曲線。由圖可得，收斂曲線是從第21次迭代開始收斂，整個優(yōu)化過程計算時間僅為3 s左右。在相同的電腦配置下采用傳統(tǒng)的修正方法，即直接用該塔機有限元模型進行修正，參數(shù)每改變一次，就需對參數(shù)修改的有限元模型計算一次，每次耗時約1.5 h左右。由此說明，基于響應面法的有限元模型修正方法可以極大提高修正效率。

4 結(jié)束語

考慮邊界條件的不確定性，以邊界條件為修正參數(shù)，建立可靠的二次響應面替代模型，用于有限元模型修正。將修正結(jié)果與風致振動試驗結(jié)果相對比，得到結(jié)論：a.基于二次響應面法修正后的有限元模型計算結(jié)果與實測頻率很接近，最大相對誤差為8.3%，最小相對誤差為0%，且各階振型與實測振型吻合較好，說明了用響應面模型替代有限元模型進行修正的可行性和有效性；b.對結(jié)構的邊界條件進行修正后的有限元模型能以一定精度預測實測頻段外的模態(tài)；c.考慮邊界條件的不確定性，對有限元模型進行修正，可以提高模型的精度，有助于對工程結(jié)構進行更準確地損傷識別、健康診斷以及工作狀態(tài)的評估與預測。此外，與傳統(tǒng)修正方法對比，說明了基于響應面法的有限元模型修正方法可以極大提高修正效率。

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