基于S型曲線的指標(biāo)非線性標(biāo)準(zhǔn)化研究

劉學(xué)之，楊澤宇，沈鳳武，尚玥佟，劉 嘉(.北京化工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 0009；.北京城市礦產(chǎn)資源開(kāi)發(fā)有限公司，北京 000)

一、引 言

在綜合評(píng)價(jià)研究中，因通常包括多個(gè)量綱不同的指標(biāo)，故需將各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行無(wú)量綱化，即數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理。目前，標(biāo)準(zhǔn)化處理方法一般分為線性標(biāo)準(zhǔn)化方法和非線性標(biāo)準(zhǔn)化方法兩大類，通過(guò)線性或非線性變換，將數(shù)據(jù)映射到一個(gè)較小的區(qū)間，比如(-1,1)或(0,1)[1-3]。

然而，在實(shí)際生產(chǎn)生活中，數(shù)據(jù)大多是非均勻分布的，若待研究的指定區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)過(guò)多且相對(duì)距離過(guò)小，在線性變換后數(shù)據(jù)點(diǎn)間的間距將會(huì)變得更小。梁路等認(rèn)為在大數(shù)據(jù)挖掘的過(guò)程中，尤其是對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等模型，因數(shù)據(jù)集中的屬性存在不同的取值范圍而往往會(huì)導(dǎo)致模型的不穩(wěn)定[4]。如果需要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)一步挖掘和分析造成微小差距的因素時(shí)，無(wú)法將這些數(shù)據(jù)進(jìn)一步細(xì)分，特別是對(duì)距離度量敏感的模型無(wú)疑是不利的。在現(xiàn)有的研究中，詹敏等認(rèn)為指標(biāo)屬性與無(wú)量綱化處理方法之間的關(guān)系密不可分，并分別根據(jù)原始數(shù)據(jù)的相關(guān)特性設(shè)計(jì)了指標(biāo)無(wú)量綱化方法，取得了較好的計(jì)算、評(píng)價(jià)效果[5]；還有學(xué)者認(rèn)為線性無(wú)量綱化方法有其局限性，因該方法是基于綜合評(píng)價(jià)結(jié)果與原指標(biāo)之間存在線性關(guān)系，所以線性無(wú)量綱化方法有一定的適用范圍。

對(duì)于某些指標(biāo)，當(dāng)其T時(shí)刻達(dá)到極值時(shí)，該指標(biāo)對(duì)評(píng)價(jià)體系的邊際效用大幅下降，并在整個(gè)評(píng)價(jià)體系中的權(quán)重發(fā)生改變，則需要重新設(shè)計(jì)。如采用線性標(biāo)準(zhǔn)化方法，該指標(biāo)權(quán)重設(shè)置需根據(jù)其對(duì)評(píng)價(jià)體系的影響分段設(shè)置。郭亞軍等認(rèn)為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果不僅受到指標(biāo)權(quán)重的影響，很大程度上也取決于指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化的方法，并基于盡可能反映多個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象之間局部和整體差異的原則，提出了拉開(kāi)檔次法[6]。

本文針對(duì)線性標(biāo)準(zhǔn)化方法存在的局限性，結(jié)合Logistic曲線函數(shù)特性設(shè)計(jì)S形曲線模型對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性變換，構(gòu)建非線性的標(biāo)準(zhǔn)化處理方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)特定區(qū)間內(nèi)指標(biāo)數(shù)據(jù)的有效區(qū)分，為成功實(shí)現(xiàn)綜合評(píng)價(jià)奠定基礎(chǔ)。在不改變指標(biāo)數(shù)據(jù)排布的情況下，將數(shù)據(jù)稠密的區(qū)間放縮，并對(duì)指定區(qū)間的數(shù)據(jù)劃分層級(jí)。

Logistic函數(shù)最早用于人口增長(zhǎng)問(wèn)題的研究，長(zhǎng)久以來(lái)它幾乎是唯一描述S型增長(zhǎng)的曲線模型，即描述了一個(gè)群體的某屬性由低水平向高水平發(fā)展的過(guò)程，且不同階段的變化速度各不相同。在以往的研究中，學(xué)者大多將Logistic函數(shù)曲線應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)研究中，通常首先對(duì)現(xiàn)有已知樣本數(shù)據(jù)擬合，然后預(yù)測(cè)今后可能出現(xiàn)的結(jié)果。Martin最早通過(guò)構(gòu)建Logistic回歸對(duì)公司的破產(chǎn)及違約率做出預(yù)測(cè)[7]；Ohlson將Logistic模型應(yīng)用于商業(yè)銀行信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)，通過(guò)設(shè)置風(fēng)險(xiǎn)警界線判斷企業(yè)的信用類別[8]。在國(guó)內(nèi)，蔡濟(jì)波、黃豪等利用Logistic模型對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并對(duì)未來(lái)趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)[9-10]；杜強(qiáng)等利用Logistic曲線對(duì)各省碳排放進(jìn)行了預(yù)測(cè)[11]。

二、基于S形曲線設(shè)計(jì)指標(biāo)非線性變換

Ⅰ.連續(xù)的單調(diào)遞增函數(shù)。

Ⅱ.0

Ⅲ.漸近線為y=K和y=0。

從方程式可看出，Sigmoid函數(shù)是令Logistic函數(shù)中系數(shù)K=B=a=1時(shí)的特殊形式，即Sigmoid函數(shù)是Logistic函數(shù)的變式。

設(shè)評(píng)價(jià)對(duì)象集為R,R={R1,R2,…,Rn}時(shí)，受評(píng)對(duì)象的評(píng)價(jià)指標(biāo)集為X，X={X1,X2,…,Xn}，則Xij表示第n個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象在評(píng)價(jià)指標(biāo)集X中的第j個(gè)指標(biāo)的評(píng)分：X1j,X2j,…Xnj通過(guò)S形曲線法，按照式(1)將上述n個(gè)指標(biāo)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

(1)

其中Xij表示第i個(gè)受評(píng)對(duì)象的第j個(gè)指標(biāo)，Yij表示受評(píng)價(jià)對(duì)象的原始指標(biāo)數(shù)據(jù)Xij經(jīng)過(guò)Sigmoid函數(shù)轉(zhuǎn)化后得到的分?jǐn)?shù)，α和β為待定系數(shù)，其值由樣本中實(shí)際數(shù)據(jù)確定。由Sigmoid函數(shù)表達(dá)式可得式(1)是由Sigmoid函數(shù)向右平移變換β單位、再伸縮變換α倍得來(lái)，因此式(1)中β決定了圖像位置，α決定了圖像的走向或者幅度。由于Sigmoid函數(shù)的圖像總體是呈S形，且該函數(shù)首字母也為S，因此把式(1)中函數(shù)表達(dá)式表示的曲線稱為S形曲線。S形曲線中參數(shù)α和β的確定方法：

1.通過(guò)Sigmoid函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化近似轉(zhuǎn)化樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為指標(biāo)得分，取值0.5，于是根據(jù)性質(zhì)(Ⅳ)可得β=media(Xij)。

三、算例分析

線性標(biāo)準(zhǔn)化的特點(diǎn)是無(wú)量綱化變換均為線性和差異不變性。線性變換函數(shù)的計(jì)算都運(yùn)用了某些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，如最大值、最小值、均值、方差等；差異不變性表現(xiàn)為任意正向化指標(biāo)數(shù)據(jù)變換后滿足等比關(guān)系，即數(shù)據(jù)處理后仍保持相對(duì)一致的間距。在線性處理方法中，指標(biāo)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的分布圖均為直線型，且極差化法最為典型和常用，因此本文的研究中以極差化法和S形曲線法進(jìn)行比較分析。

為了便于論證，本文以單因素指標(biāo)為例，同時(shí)將分析樣本中的指標(biāo)數(shù)據(jù)通過(guò)式(1)式(2)轉(zhuǎn)化為相對(duì)數(shù)。本文特別選擇國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率這兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行算例分析，即分析在處理非均勻分布的指標(biāo)數(shù)據(jù)集合和包含正負(fù)值的指標(biāo)數(shù)據(jù)集合時(shí)S型曲線法的優(yōu)勢(shì)。

(一)以GDP為評(píng)價(jià)指標(biāo)

選取2012年全球190個(gè)國(guó)家的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為樣本*數(shù)據(jù)來(lái)源于世界銀行官方網(wǎng)站：http://www.worldbank.org.cn/。，因各國(guó)GDP數(shù)值差異較大、分布范圍隨機(jī)，為不失一般性，以10為底對(duì)上述GDP數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)處理，然后按上述方法計(jì)算得分，并通過(guò)SPSS軟件對(duì)其進(jìn)行對(duì)數(shù)處理排序。

分別應(yīng)用式(1)Sigmoid函數(shù)和式(2)極差化法，將各國(guó)GDP數(shù)值映射到(0,1)區(qū)間內(nèi)，根據(jù)式(1)式(2)可得：

極差化法：

(2)

S型曲線變換：

極差化變換：

上述兩種不同方法變換后結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖1。由于美國(guó)GDP絕對(duì)值最大，通過(guò)線性極差化計(jì)算后定義其相對(duì)值為1，而德國(guó)映射到(0,1) 區(qū)間內(nèi)計(jì)算出的數(shù)值只有0.879 5，相應(yīng)地其他國(guó)家依次降低。

如果運(yùn)用S形曲線二次轉(zhuǎn)化，結(jié)果有19個(gè)國(guó)家超過(guò)了0.9，這其中就包括了德國(guó)等類似發(fā)達(dá)國(guó)家，數(shù)量為樣本數(shù)據(jù)的10%；同樣， 0.1以下的國(guó)家有19個(gè)，也占樣本數(shù)據(jù)的10%，成功地將經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)國(guó)家、一般發(fā)展中國(guó)家和欠發(fā)達(dá)國(guó)家明顯地劃分開(kāi)來(lái)。從圖1看，S型曲線法只增減了不同區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的數(shù)量，未改變數(shù)據(jù)排序情況。

圖1 極差法與S型曲線法處理方法對(duì)比圖

S形曲線法在GDP指標(biāo)數(shù)據(jù)達(dá)到飽和值后將國(guó)家個(gè)體的分布區(qū)間壓縮了，標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)值為美國(guó)0.988 4、德國(guó)0.966 5(如圖1所示)，即經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)和欠發(fā)達(dá)國(guó)家的數(shù)據(jù)間距適度減緩。若以線性標(biāo)準(zhǔn)化處理，德國(guó)和美國(guó)數(shù)據(jù)間距差距很大，2012年美國(guó)GDP總值為16.24萬(wàn)億美元，同年德國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為3.43萬(wàn)億美元，位居全球第四，美國(guó)的GDP絕對(duì)值幾乎是當(dāng)時(shí)排名第三德國(guó)的五倍之多，更是世界范圍內(nèi)大部分國(guó)家的十幾倍甚至上百倍，對(duì)設(shè)計(jì)國(guó)家的GDP指標(biāo)的權(quán)重較為不利。S形曲線法在處理各國(guó)GDP數(shù)據(jù)時(shí)，有效劃分出層級(jí)，高水平國(guó)家同屬發(fā)達(dá)經(jīng)濟(jì)體，比較直觀。根據(jù)原始數(shù)據(jù)與圖1，整理得出國(guó)家數(shù)量分布區(qū)間，見(jiàn)表1。

表1 指標(biāo)處理信息匯總表

從圖1和表1還可以看出，非線性變換后對(duì)于非均勻分布的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)拉伸效果，數(shù)據(jù)稠密的區(qū)間被細(xì)化了，數(shù)值相近的國(guó)家也得以區(qū)分開(kāi)來(lái)，有利于該集中分布區(qū)間的進(jìn)一步研究，見(jiàn)圖2-a所示。

圖2-a S型曲線法處理國(guó)家數(shù)量直方圖

圖2-b 極差化法處理國(guó)家數(shù)量直方圖

相比極差化法處理(圖2-b)， 0.4～0.7區(qū)間內(nèi)集中了超過(guò)50%的國(guó)家，進(jìn)行局部數(shù)據(jù)研究時(shí)該區(qū)間內(nèi)國(guó)家間缺乏鑒別性；相比之下，S形曲線法轉(zhuǎn)化后的不同區(qū)間內(nèi)國(guó)家分布數(shù)量相對(duì)均勻，GDP排序前50的國(guó)家分布于0.9～1區(qū)間內(nèi)；GDP排名中段的國(guó)家在0.4～0.8區(qū)間內(nèi)均有分布(見(jiàn)圖2-a，表1)，因此可有效針對(duì)該部分國(guó)家進(jìn)一步分析，比較國(guó)家之間造成GDP水平差別的因素，以便進(jìn)一步研究。

(二)以經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率為評(píng)價(jià)指標(biāo)

以2012年190個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)對(duì)比兩種標(biāo)準(zhǔn)化方法。如圖3-a所示，采取線性極差化法經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值集中分布于0.3～0.7區(qū)間內(nèi)，且呈現(xiàn)不均勻狀態(tài)。相比之下，經(jīng)過(guò)S形曲線法處理后的評(píng)分以均勻狀態(tài)分布在0～1區(qū)間內(nèi)，而且在2012年全球經(jīng)濟(jì)下行的先決條件下，在190個(gè)國(guó)家的數(shù)據(jù)中經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率達(dá)到7%的國(guó)家屬于高速增長(zhǎng)國(guó)家集團(tuán)，通過(guò)線性法轉(zhuǎn)化后的相對(duì)值為0.7，僅達(dá)到70%的水平，低于這些國(guó)家在實(shí)際情況中所處的全球經(jīng)濟(jì)地位，而通過(guò)S形曲線轉(zhuǎn)化后為0.88；若某一國(guó)家的增長(zhǎng)率為-1%，線性轉(zhuǎn)化和S形曲線轉(zhuǎn)化后的結(jié)果分別為0.35和0.08，顯然在該國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展停滯的狀況下，0.35過(guò)高，而0.08的評(píng)分則與實(shí)際情形更為吻合。因此，在處理指標(biāo)數(shù)據(jù)有正有負(fù)的情況下，筆者認(rèn)為S形曲線標(biāo)準(zhǔn)化方法更符合客觀實(shí)際情況，這是線性標(biāo)準(zhǔn)化法所不具備的。

在上述190個(gè)數(shù)據(jù)中，有4/5的國(guó)家其經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率在0%～7%范圍內(nèi)，經(jīng)過(guò)S形曲線法處理后，指標(biāo)評(píng)分多集中在0.14～0.88區(qū)間內(nèi)，相比線性方法得到的評(píng)分集中在0.4～0.68區(qū)間的結(jié)果而言，S形曲線法有效拉伸了圖3-c中0.4～0.7區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)間距，且當(dāng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率超過(guò)7%時(shí)，則該國(guó)被劃入當(dāng)年經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)的國(guó)家范疇，以0.88～1的得分在190個(gè)國(guó)家中領(lǐng)跑；相反，若一國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率為負(fù)，則被認(rèn)為是經(jīng)濟(jì)停滯發(fā)展經(jīng)濟(jì)體， 處于0.14以下區(qū)間內(nèi)。

四、研究結(jié)論

從樣本數(shù)據(jù)來(lái)看，經(jīng)過(guò)GDP和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率兩個(gè)指標(biāo)的檢驗(yàn)，S型曲線可以有效解決稠密區(qū)間數(shù)據(jù)相近且不利于進(jìn)一步細(xì)分的問(wèn)題，也可以對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)達(dá)到飽和后仍然間距過(guò)大情況加以優(yōu)化。

本文根據(jù)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化的原理，結(jié)合Logistic曲線的特性，使用Sigmoid函數(shù)處理樣本中指標(biāo)數(shù)據(jù)，有效地拉伸了數(shù)據(jù)集中的分布區(qū)間并壓縮了數(shù)據(jù)稀松的分布區(qū)間，有效地將非均勻分布的指標(biāo)數(shù)據(jù)局部性突顯出來(lái)。在某些實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)需要對(duì)結(jié)果相似的多個(gè)對(duì)象進(jìn)一步挖掘其影響因子時(shí)，S型曲線法是對(duì)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理方法的補(bǔ)充，也為相關(guān)研究提供了一種思路。

圖3-a 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率極差法和S型曲線處理后對(duì)比圖

圖3-b 極差化法處理國(guó)家數(shù)量直方圖

圖3-c S形曲線法處理國(guó)家數(shù)量直方圖

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