高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理解的三種思路探索

周文琦

摘 要： 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思路歷來都是極其重要的。這種重視常常有兩個(gè)層面：一是理論層面；二是實(shí)踐層面。理論層面的重視常常體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思路在知識(shí)構(gòu)建、數(shù)學(xué)探索和學(xué)習(xí)反饋以及總結(jié)中的應(yīng)用，本文將數(shù)學(xué)思路蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建、數(shù)學(xué)探究及學(xué)習(xí)反思的過程中，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的路徑選擇。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思路 路徑選擇

本文在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐當(dāng)中進(jìn)行著這樣的努力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)理論與實(shí)踐的結(jié)合并不完全是關(guān)于數(shù)學(xué)思路的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論與課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)合，更多的時(shí)候，數(shù)學(xué)思路實(shí)際上是隱藏在知識(shí)構(gòu)建、數(shù)學(xué)探究與問題解決等過程中的，因此，數(shù)學(xué)更類似于默會(huì)知識(shí)。具體闡述如下：

一、在知識(shí)構(gòu)建中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思路

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)就是數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建，應(yīng)試環(huán)境之下，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)常常是講授式的，我們高中生基本上處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，即使在課程改革走過了十?dāng)?shù)年之后，高中數(shù)學(xué)課堂其實(shí)更多的還是這種常態(tài)。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式基本上對(duì)高中生的數(shù)學(xué)思路的培養(yǎng)沒有太大的作用，因?yàn)楸粍?dòng)狀態(tài)下的知識(shí)學(xué)習(xí)基本上沒有主動(dòng)建構(gòu)的可能，因此數(shù)學(xué)思路也就沒有了生長(zhǎng)的土壤。反之，如果給了高中生以主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的空間，那高中生的數(shù)學(xué)思路就有可能高效形成。

如在“點(diǎn)到直線的距離”這一知識(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，具體的可以讓我們高中生經(jīng)歷這樣的一些知識(shí)構(gòu)建過程：第一步，引導(dǎo)高中生認(rèn)識(shí)何為點(diǎn)到直線的距離。這一設(shè)計(jì)與高中生原有的距離知識(shí)相關(guān)，同時(shí)又是在點(diǎn)與線這一新的情境中提出的問題，因此可以促成高中生新舊知識(shí)發(fā)生相互作用，從而建立起點(diǎn)與直線距離的準(zhǔn)確理解。第二步，尋找求點(diǎn)到直線距離的方法。通常情況下，高中生的思路都是先作出過該點(diǎn)并垂直于直線的垂線，然后兩直線方程相交求出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后通過兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)到直線的距離。應(yīng)當(dāng)說在這個(gè)過程中，如果將問題解決的過程交由高中生，那么高中生的思路過程是很豐富的，因?yàn)閺慕Ⅻc(diǎn)到直線距離的認(rèn)識(shí)，到尋找到求點(diǎn)到直線距離的方法，都需要高中生在大腦中構(gòu)建點(diǎn)到直線距離的表象，然后有效地調(diào)用已有的知識(shí)，將求點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)換為利用兩點(diǎn)坐標(biāo)來求兩點(diǎn)間的距離。這種思路轉(zhuǎn)換，是典型的數(shù)學(xué)思路的組成部分。然后實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程到此時(shí)并沒有結(jié)束，因?yàn)樵趧偛潘玫姆椒ǖ姆此贾校咧猩鷷?huì)發(fā)現(xiàn)這一方法計(jì)算的繁雜性，從而猜想（必要的時(shí)候教師可以給予一點(diǎn)點(diǎn)撥）有沒有一種更好的方法的存在，而這種思路本身就是數(shù)學(xué)思路的一種體現(xiàn)——尋找新的解決問題的策略。于是進(jìn)一步的，教師可以引導(dǎo)高中生從更高的角度審視點(diǎn)與直線距離的關(guān)系，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)在于確定點(diǎn)與垂足對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)的差。而認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)之后，又會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離可以有新的表達(dá)方式。在這個(gè)過程中，思路轉(zhuǎn)換與新的思路的出現(xiàn)，就是數(shù)學(xué)思路的充分體現(xiàn)。

二、在數(shù)學(xué)探究中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思路

數(shù)學(xué)探究是當(dāng)前重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)探究的過程如果在課堂上真實(shí)地發(fā)生了，那上一點(diǎn)所強(qiáng)調(diào)的高中生的自主性就可以得到保證。同時(shí)其還可以繼續(xù)前進(jìn)一步，讓數(shù)學(xué)探究更好地為培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)思路做出貢獻(xiàn)——應(yīng)當(dāng)說這一過程其實(shí)是自然而然的，因?yàn)橹灰姓嬲臄?shù)學(xué)探究發(fā)生了，那高中生就必然處于數(shù)學(xué)思路的過程中，這正如一個(gè)在數(shù)學(xué)思路大海里撲騰的孩子，自然也就更容易學(xué)會(huì)游泳。

如在“三角誘導(dǎo)公式”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就可以給高中生創(chuàng)造一個(gè)數(shù)學(xué)探究的機(jī)會(huì)。筆者的設(shè)計(jì)是這樣的：第一步，明確提出三角誘導(dǎo)公式的探究問題。第二步，選擇最簡(jiǎn)單的突破口——從銳角的三角函數(shù)開始，思考如何求其三角函數(shù)值。高中生的反應(yīng)自然是如果是特殊角，那么直接可以回憶出結(jié)果；如果是一般角，那么可以通過查詢?nèi)呛瘮?shù)表來獲得其值。于是提出新的問題：如何從銳角三角函數(shù)的求法出發(fā)，去求任意角的三角函數(shù)呢？第三步，開展數(shù)學(xué)探究。在探究之初，高中生會(huì)意識(shí)到角的周期性對(duì)求三角函數(shù)值帶來的影響，于是就可以將對(duì)問題的探究縮小到0～2π的范圍之內(nèi)，同時(shí)可以將所有角的始邊確定在坐標(biāo)橫軸的正半軸上，于是問題的解決實(shí)際上就已經(jīng)建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型（這是典型的數(shù)學(xué)思路的產(chǎn)物）。其后，如果一個(gè)角的終邊存在于非第一象限之內(nèi)，那是不是可以想方設(shè)法地將其轉(zhuǎn)換為第一象限的角呢？ 這個(gè)問題實(shí)際上是本探究過程中的關(guān)鍵，而解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是什么？這都是數(shù)學(xué)思路方法的使用。

三、在學(xué)習(xí)反饋和總結(jié)中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思路

數(shù)學(xué)思路的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常常被認(rèn)為是隱性的，這符合數(shù)學(xué)思路支撐數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)問題解決的規(guī)律。但需要注意的是，當(dāng)面對(duì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象是高中高中生的時(shí)候，有時(shí)候數(shù)學(xué)思路也可以相對(duì)變得顯性一些，也就是說，讓高中生明確從數(shù)學(xué)思路的角度去感知數(shù)學(xué)的魅力。這對(duì)于高中高中生來說其實(shí)也是很有價(jià)值的，因?yàn)楦咧须A段的高中生所需要的其實(shí)并不完全是知識(shí)性的東西，筆者常常與高中生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)方面的聊天，很多高中生都表現(xiàn)出一種思想，那就是希望在數(shù)學(xué)課堂上不僅能夠?qū)W到知識(shí)，還希望能夠理解數(shù)學(xué)為什么能成為最有魅力的學(xué)科。 這其實(shí)就是對(duì)包括數(shù)學(xué)思路在內(nèi)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意味的期待。既然如此，數(shù)學(xué)教師就要在滿足高中生應(yīng)試需要的同時(shí)，找機(jī)會(huì)更好地給高中生以數(shù)學(xué)思路的啟迪。

四、結(jié)束語

總之，數(shù)學(xué)思維和思路應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，對(duì)其重視不能只是停留在理論的層面，不能只出現(xiàn)在教案或論文當(dāng)中，要成為課堂上真實(shí)學(xué)習(xí)案例。只有從理論到實(shí)踐中都存在著強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)思維和思路，那高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能真正符合學(xué)生的認(rèn)知需要，才能提升高中生們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，通過對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，在遇到問題時(shí)，會(huì)擅長(zhǎng)概括提煉問題，從多方面開辟思維點(diǎn)，從已知因素中發(fā)現(xiàn)新的線索，能夠根據(jù)條件的變化改變思考方向，探究問題與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，在思維上擺脫“框題型、對(duì)套路”的僵化模式，激發(fā)創(chuàng)造性火花。并且在問題得到解決后會(huì)檢驗(yàn)問題是否真正得到解決，發(fā)現(xiàn)推理過程中存在的矛盾、運(yùn)算錯(cuò)誤等問題。

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