高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)

陳佩

摘要：正確理解高中數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視數(shù)學(xué)概念的探究，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)概念的建立過程，體會概念蘊含的數(shù)學(xué)思想。本文主要探討了高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) ? 函數(shù)單調(diào)性 ? 概念

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師很少會創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)概念，導(dǎo)致學(xué)生記不住概念，也難以理解概念的本質(zhì)。筆者認(rèn)為，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)概念的建立過程，讓學(xué)生理解概念的來龍去脈，直觀地感知或通過實驗逐步認(rèn)識事物的本質(zhì)，認(rèn)識概念。

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，其中函數(shù)的單調(diào)性最為特殊。筆者以北師大版必修1“函數(shù)單調(diào)性概念”教學(xué)為例，談?wù)勅绾沃匾暩拍畹奶骄窟^程，讓學(xué)生感悟概念內(nèi)涵。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

問題1：“上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和函數(shù)的三要素，了解到函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。在生活中，我們常聽到房價上漲、氣溫升高、油價上漲、股票下跌這些話，你能舉出一些描述這些上升、下降變化規(guī)律的成語嗎？（如每況愈下、此起彼伏、蒸蒸日上……）”

問題2：“你能根據(jù)‘蒸蒸日上‘每況愈下‘波瀾起伏分別舉出一個函數(shù)嗎？”

問題3：“觀察y=2x，y=-2x，y=x2的函數(shù)圖像，說一說每個圖像從左至右是上升還是下降？”

引出課題：函數(shù)圖像的變化規(guī)律反映了函數(shù)的一種性質(zhì)，這就是函數(shù)的單調(diào)性。

二、歸納探索，形成概念

問題4：“還記得初中時，你們用什么語言描述圖像的‘上升‘下降嗎？”

筆者以二次函數(shù)y= x2為例，引導(dǎo)學(xué)生觀察隨著自變量x的增大，函數(shù)值y如何變化？學(xué)生思考，得出結(jié)論，教師板書：圖像在y軸左側(cè)“下降”，即當(dāng)x<0時，y隨著x增大而減小;圖像在y軸右側(cè)“上升”，即當(dāng)x>0時，y隨著x增大而增大。我們稱前者為減函數(shù)，稱后者為增函數(shù)。

問題5：“還是以y=x2為例，y軸右側(cè)，圖像呈上升趨勢，即x>0時，y隨著x增大而增大。結(jié)合解析式用數(shù)學(xué)語言怎么描述？”

經(jīng)過小組討論，得出以下幾種方式：

①在（0，+∞）內(nèi)，x取1，2，3，4，5，根據(jù)解析式得到f（1）

f（4）

②在（0，+∞）內(nèi)，設(shè)x1

x3……xn，如果得到f（x1）

f（x3）……f（xn） ，就可以得到x∈（0，+∞）時，y隨著x增大而增大;

③在（0，+∞）內(nèi)，任意取x1，x2，讓x1

接著，最后引導(dǎo)學(xué)生分析比較以上三種方式，得出增函數(shù)數(shù)學(xué)符號語言，并板書。

問題6：“你能找出增函數(shù)概念的關(guān)鍵詞嗎？”

問題7：“你能類比增函數(shù)，給減函數(shù)下定義嗎？”

問題8：“初中學(xué)習(xí)了以下三類函數(shù)，你能通過觀察圖像指出函數(shù)在哪些區(qū)間上是單調(diào)的，單調(diào)性如何？①單調(diào)區(qū)間什么時候?qū)戦_區(qū)間，什么時候?qū)戦]區(qū)間？②函數(shù)f （x）=在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，能否說這個函數(shù)在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)？

三、初步應(yīng)用，鞏固概念

例題1：判斷y=的單調(diào)性，并用定義證明它在（0，+∞）上的單調(diào)性。

引導(dǎo)學(xué)生討論證明方法后，教師應(yīng)指導(dǎo)有困難的學(xué)生。學(xué)生完成后，教師可選取幾個典型解題過程投影并分析，組織學(xué)生討論解題過程中哪個是完整、正確的，最后總結(jié)出利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟為任取——作差——變形——定號——下結(jié)論。

最后，教師可布置變式練習(xí)，要求學(xué)生畫出函數(shù)f（x）=|x2-4x-5|的圖像，然后根據(jù)圖像寫出單調(diào)區(qū)間。

四、總結(jié)反思，提升能力

“函數(shù)單調(diào)性概念與初中所學(xué)的‘y隨x的增大而增大或圖像從左至右逐漸上升這種定義方法是否一致？兩者是否存在區(qū)別？”筆者設(shè)計以上兩個問題，讓學(xué)生經(jīng)歷了函數(shù)單調(diào)性概念的建構(gòu)過程。借助一次、二次函數(shù)等圖像，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的“上升”“下降”的直觀特征（圖形語言），再結(jié)合二次函數(shù)的圖像與對應(yīng)值表定性描述增、減變化的數(shù)字特征（自然語言）：x增大，y增大（減?。?。最后，教師進一步利用解析式研究，定量精確描述上述特征（符號語言），最后從特殊到一般給出增（減）函數(shù)的形式化定義。

參考文獻：

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（作者單位：江西省豐城市第九中學(xué)）