移動(dòng)坐標(biāo)下采面煤壁瓦斯涌出模型及無因次分析

王 浩 周天白 宋奕澎 劉 鵬

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)資源與安全工程學(xué)院，北京市海淀區(qū)，100083)

采煤工作面是煤礦井下最主要的工作場所之一，也是瓦斯事故隱患最為集中的地點(diǎn)之一。煤壁瓦斯涌出是采面瓦斯涌出的重要組成部分，工作面向前推進(jìn)時(shí)，新鮮煤壁不斷暴露，瓦斯涌出速度快、涌出量大，極易造成瓦斯積聚，嚴(yán)重威脅安全開采。因此，掌握煤壁瓦斯涌出規(guī)律，對準(zhǔn)確預(yù)測采煤工作面瓦斯涌出，指導(dǎo)礦井通風(fēng)設(shè)計(jì)及制定瓦斯防治措施有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

采煤工作面現(xiàn)場條件復(fù)雜多變，煤壁周期性前移，瓦斯涌出具有非穩(wěn)態(tài)特性，且不同來源的瓦斯在采動(dòng)空間相互摻混，要對其進(jìn)行分別測定極其困難。而采面煤壁瓦斯涌出的相似模擬實(shí)驗(yàn)又有許多問題需要解決，尤其是對工作面循環(huán)推進(jìn)的模擬更是難以實(shí)現(xiàn)。因此，在缺乏有效研究手段的情況下，運(yùn)用數(shù)值模擬研究煤壁瓦斯涌出成為一種必然趨勢。現(xiàn)階段有關(guān)瓦斯涌出的數(shù)值模擬大多基于靜止煤壁，對于移動(dòng)煤壁的研究則鮮見報(bào)道，而采面煤壁是循環(huán)推進(jìn)的，其瓦斯涌出滲流邊界也周期性前移，與靜止煤壁瓦斯涌出存在較大差異。顯然，在計(jì)算采煤工作面煤壁瓦斯涌出時(shí)，必須針對移動(dòng)煤壁開展研究。此外，研究采煤工作面煤壁瓦斯壓力、含量分布，可為計(jì)算工作面采落煤瓦斯涌出提供初始條件。為此，本文根據(jù)采煤工作面不斷推進(jìn)的特點(diǎn)，建立了移動(dòng)坐標(biāo)下采面煤壁瓦斯涌出模型，通過無因次分析和數(shù)值解算，研究采煤工作面勻速推進(jìn)下煤壁瓦斯涌出的一般規(guī)律，旨在為工作面瓦斯涌出預(yù)測提供理論依據(jù)。

1 移動(dòng)坐標(biāo)下采面煤壁瓦斯涌出數(shù)學(xué)模型

采面煤壁瓦斯涌出是受瓦斯地質(zhì)條件、生產(chǎn)工序等多種因素影響的復(fù)雜過程，為抓住其主要矛盾及簡化求解，現(xiàn)假定：煤體為連續(xù)性介質(zhì)；煤層瓦斯運(yùn)移過程為等溫過程，瓦斯流動(dòng)符合達(dá)西定律；游離瓦斯可視為理想氣體，瓦斯吸附量符合朗格繆爾方程；將采面煤壁瓦斯涌出視為垂直煤壁的單向流動(dòng)。

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)采面煤壁瓦斯流場任一點(diǎn)瓦斯的變化量都等于流入該點(diǎn)瓦斯的凈量，再結(jié)合達(dá)西定律和理想氣體狀態(tài)方程，得：

(1)

式中：W——單位質(zhì)量煤體瓦斯含量，m3/t；

τ——時(shí)間，d；

ρ——煤的視密度，t/m3；

λ——煤層透氣性系數(shù)，m2/(MPa2·d)；

P——煤層瓦斯壓力的平方，MPa2;

a——吸附常數(shù)，m3/t；

b——吸附常數(shù)，1/MPa；

p——瓦斯壓力，MPa；

n0——煤體孔隙率；

B——系數(shù)，m3/(t·MPa)；

T0——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的絕對溫度，取273 K；

p0——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的絕對壓力，取0.101325 MPa；

T——瓦斯氣體溫度，K；

ξ——瓦斯壓縮系數(shù)。

隨著采煤工作面的循環(huán)作業(yè)，煤壁周期性向前推進(jìn)，瓦斯流場邊界隨之周期性前移，且每一循環(huán)周期內(nèi)瓦斯流場均為非穩(wěn)態(tài)場，所以，采面煤壁瓦斯涌出是一個(gè)邊界周期性移動(dòng)的非穩(wěn)態(tài)問題，求解十分繁瑣。從宏觀的時(shí)間角度考慮，正常開采時(shí)工作面的日進(jìn)刀數(shù)相對固定，且每一進(jìn)刀周期內(nèi)瓦斯涌出變化波動(dòng)不大，因此，為簡化求解，可將工作面視為勻速推進(jìn)。勻速推進(jìn)下的煤壁瓦斯涌出特性雖不能反映出進(jìn)刀周期內(nèi)瓦斯涌出的波動(dòng)，但能從總體角度反映出采動(dòng)煤壁的瓦斯涌出情況。工作面勻速推進(jìn)時(shí)，煤壁瓦斯流場時(shí)刻處于動(dòng)態(tài)移動(dòng)中，以此，引入移動(dòng)坐標(biāo)系，坐標(biāo)系移動(dòng)方向、速度與工作面推進(jìn)方向、速度相一致。

式(1)為靜坐標(biāo)系下采面煤壁瓦斯涌出數(shù)學(xué)模型。靜坐標(biāo)系下，煤壁瓦斯流場內(nèi)任一點(diǎn)的瓦斯含量是空間點(diǎn)坐標(biāo)和時(shí)間的含量，而移動(dòng)坐標(biāo)下，流場內(nèi)任一點(diǎn)的瓦斯含量不僅與空間點(diǎn)坐標(biāo)和時(shí)間有關(guān)，且空間點(diǎn)坐標(biāo)又隨時(shí)間而變動(dòng)。則移動(dòng)坐標(biāo)下，單位時(shí)間內(nèi)煤壁瓦斯流場任一點(diǎn)的瓦斯變化量可表示為：

(2)

移動(dòng)坐標(biāo)下，煤壁瓦斯流場內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)隨工作面勻速推進(jìn)而移動(dòng)，則：

(3)

式中：v——工作面平均推進(jìn)速度，m/d。

引入移動(dòng)坐標(biāo)后，采面煤壁瓦斯流動(dòng)由靜坐標(biāo)下的非穩(wěn)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)問題，則流場內(nèi)任一點(diǎn)的瓦斯含量與時(shí)間無關(guān)，即：

(4)

將式(3)、式(4)代入式(2)，再代入式(1)，并根據(jù)瓦斯含量與壓力的關(guān)系，可得移動(dòng)坐標(biāo)下采面煤壁瓦斯涌出的數(shù)學(xué)模型為：

(5)

其邊界條件為：

P|Γ1=Pw=pw2

P|Γ2=Ps=ps2

(6)

式中：pw——煤壁外部空間瓦斯壓力，MPa；

ps——煤層原始瓦斯壓力，MPa；

Γ1——煤壁表面邊界；

Γ2——煤壁內(nèi)解算域邊界。

實(shí)際中，雖然不同采煤工作面的物性參數(shù)及生產(chǎn)條件不盡相同，但所有的采面煤壁瓦斯涌出屬于同一類物理現(xiàn)象，都應(yīng)滿足上述數(shù)學(xué)模型。因此，為使研究結(jié)果具有普遍意義，可將無因次分析法應(yīng)用于此類問題?，F(xiàn)引入無因次參量：無因次距離X、無因次瓦斯壓力Y、無因次孔隙率N、無因次瓦斯含量M和無因次瓦斯比流量Q，如式(7)所示：

(7)

將式(7)中的無因次準(zhǔn)數(shù)代入式(5)，整理得移動(dòng)坐標(biāo)下釆面煤壁瓦斯涌出無因次模型為:

(8)

其邊界條件為：

(9)

式中：Yw——煤壁外部空間無因次瓦斯壓力；

Ys——煤層原始無因次瓦斯壓力。

由式(8)和式(9)可知，采面煤壁的無因次瓦斯壓力場只與無因次距離X、無因次孔隙率N、Yw和Ys有關(guān)。

2 有限差分法求解

2.1 有限差分模型

采面煤壁瓦斯涌出模型是二階非線性常微分方程，本文采用有限差分法求解。求解思路為：先對解算域內(nèi)物理模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，確定節(jié)點(diǎn)號；然后運(yùn)用泰勒級數(shù)展開法，構(gòu)建有限差分方程組；再編制程序，進(jìn)行數(shù)值解算。網(wǎng)格劃分和節(jié)點(diǎn)編號的過程為：首先沿垂直于煤壁方向，用實(shí)線將釆面煤體分成K個(gè)區(qū)域；然后在每條實(shí)線處設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)編號為0,1,2,…,K；過兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)的中心做虛線，將兩條虛線之間的區(qū)域作為虛線間節(jié)點(diǎn)的控制單元，具體如圖1所示。考慮到瓦斯壓力、含量等參數(shù)越靠近壁面變化越劇烈，節(jié)點(diǎn)間距采用等比變化，越靠近壁面間距越小。

圖1 采煤工作面物理模型及網(wǎng)格劃分

(10)

將式(10)代入式(8)，可得

(11)

令Ci=Xi-Xi-1(i=1,2…,K)，并代入式(11)，整理可得內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的差分方程為：

由邊界條件可得0節(jié)點(diǎn)和K節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的方程為：

Y0=Yw

YK=Ys

(14)

將式(12)、式(13)和式(14)聯(lián)立，構(gòu)成了釆面煤壁瓦斯涌出的無因次差分方程組。因式f(Yi)含有節(jié)點(diǎn)無因次壓力，則該方程組為非線性方程組，必須采用迭代法進(jìn)行求解，具體的迭代計(jì)算過程與參考文獻(xiàn)類同，不再贅述。

求得各節(jié)點(diǎn)無因次壓力后，根據(jù)式(7)中無因次瓦斯含量的定義，可由下式計(jì)算i節(jié)點(diǎn)的無因次瓦斯含量Mi：

(15)

根據(jù)已求得的0節(jié)點(diǎn)、1節(jié)點(diǎn)的無因次壓力和式(7)中無因次瓦斯比流量的定義，可計(jì)算采面煤壁無因次瓦斯比流量Q，即

(16)

2.2 編制程序

根據(jù)采面煤壁瓦斯涌出的差分方程組，基于VB平臺編制解算程序。輸入變量時(shí)，先調(diào)研實(shí)際礦井瓦斯物性參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)無因次參量表達(dá)式(7)，初步確定X、N、Yw和Ys取值的大致范圍，再經(jīng)過多次運(yùn)行程序試算，確實(shí)出X的最佳取值范圍為0～373。在進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)，要先設(shè)定節(jié)點(diǎn)無因次壓力Yi(i=0,1,…,K)的初值，因各節(jié)點(diǎn)瓦斯壓力小于原始壓力，所以可設(shè)Yi=cYs(i=0,1,…,K;0

圖2 程序結(jié)構(gòu)流程圖

3 無因次結(jié)果及應(yīng)用分析

3.1 無因次結(jié)果

3.1.1 瓦斯壓力、含量的分布

圖3 無因次壓力的分布曲線

圖4 無因次含量的分布曲線

由圖3、圖4可知，ps與pw的比值越大時(shí)，煤壁無因次瓦斯壓力、含量曲線越“陡峭”，工作面煤壁距煤體原始瓦斯壓力區(qū)就越遠(yuǎn)，表明煤層原始瓦斯壓力越大，煤壁內(nèi)瓦斯壓力、含量梯度就越大，工作面煤體瓦斯卸壓區(qū)就越大。

3.1.2 瓦斯比流量

圖5 無因次瓦斯比流量的變化曲線

3.2 應(yīng)用分析

根據(jù)達(dá)西定律，實(shí)際煤壁瓦斯比流量的計(jì)算式為：

(17)

根據(jù)無因次參量式(7)，將上式中的參數(shù)無因次化，可得：

(18)

式(18)即為實(shí)際瓦斯比流量與無因次瓦斯比流量的關(guān)系式。

根據(jù)采面煤壁無因次模型的建立和求解過程可知，煤壁無因次瓦斯比流量Q由N、Yw和Ys所決定。當(dāng)某一采煤工作面物性參數(shù)確定時(shí)，無因次瓦斯比流量Q隨之確定。由于N0、Yw和Ys中均不含有工作面平均推進(jìn)速度v，因此無因次瓦斯比流量Q與工作面平均推進(jìn)速度v無關(guān)。再根據(jù)實(shí)際瓦斯比流量的計(jì)算式q=aρvQ可知，實(shí)際瓦斯比流量與工作面平均推進(jìn)速度成正比。

4 結(jié)論

(1)本文針對采煤工作面不斷推進(jìn)的特性，基于移動(dòng)坐標(biāo)和無因次分析理論，建立了采煤工作面煤壁瓦斯涌出無因次數(shù)學(xué)模型，利用有限差分法編制了解算程序，為定量分析工作面瓦斯涌出規(guī)律提供了基礎(chǔ)。

(2)通過大量的數(shù)值解算，得到了采面煤壁的無因次瓦斯壓力、含量的分布曲線及無因次瓦斯比流量的變化規(guī)律。結(jié)果表明：煤層原始瓦斯壓力越大，則煤壁內(nèi)瓦斯壓力、含量梯度就越大，工作面煤體瓦斯卸壓區(qū)就越大，煤壁瓦斯比流量也就越大；煤壁瓦斯比流量隨煤體孔隙率及瓦斯吸附常數(shù)b的增大而增大；煤壁瓦斯比流量與工作面平均推進(jìn)速度成正比關(guān)系。

(3)分析了瓦斯無因次瓦斯比流量曲線圖的實(shí)際應(yīng)用，通過查圖法，可快速確定采面煤壁實(shí)際瓦斯比流量，為計(jì)算采煤工作面瓦斯涌出參數(shù)提供一種簡便可行的方法。

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