深入考題模型，拓展應(yīng)用探析

趙艷

[摘? 要] 初中數(shù)學(xué)中的“將軍飲馬”模型在解決線段和最值問題中有著廣泛的應(yīng)用. 本文從教材知識點(diǎn)說起，以一道考題為例，對該模型進(jìn)行研究拓展，并給出線段和最值問題的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 最值;線段;將軍飲馬模型;拓展;思想

從教材考點(diǎn)說起

“軸對稱”是蘇教版八年級上冊的重要內(nèi)容，教材中結(jié)合生活實(shí)際對該內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)的講解，主要是為了讓學(xué)生在感受圖形對稱美的同時理解圖形變換過程中的不變關(guān)系，并能靈活運(yùn)用解決實(shí)際問題. 其中該章節(jié)最為重要的知識點(diǎn)是軸對稱的基本性質(zhì)，它是后續(xù)線段垂直平分線性質(zhì)定理研究的基礎(chǔ)，也是相關(guān)幾何問題研究的核心，尤其是利用其性質(zhì)，結(jié)合“兩點(diǎn)之間，線段最短”定理進(jìn)行線段和最值問題的探究活動. 在近幾年各地的中考中出現(xiàn)了眾多考查該知識點(diǎn)的考題，如常規(guī)的平面幾何題、研究線段取值的函數(shù)曲線題等.

對中考真題的探析

軸對稱的性質(zhì)在拋物線問題中有著一定的應(yīng)用，尤其是研究線段最值時可以采用該種轉(zhuǎn)化方式，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以建立起兩點(diǎn)直線距離的研究模型，下面探究一相關(guān)中考題.

從考題抽象模型

上述第（2）問求PO+PA取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)，就是研究定點(diǎn)A，O與定直線l上動點(diǎn)P之間的線段最值. 對考題進(jìn)行模型抽象，如圖3所示，在問題解答過程中采用作對稱點(diǎn)的方式來將關(guān)于一條直線的同側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)點(diǎn)，利用軸對稱的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化線段和，借助兩點(diǎn)之間的線段最小值定理可以證明最小值的取值情況.

對模型進(jìn)行深入探究可知該問題實(shí)際上就是對經(jīng)典的“將軍飲馬”模型的變式應(yīng)用，如圖4模型所示，將軍從山腳下的點(diǎn)A出發(fā)，到河流l處飲馬，然后再走到營地B，試問將軍應(yīng)在河流的何處飲馬，所走的距離才會最短. 該問題的研究采用的就是軸對稱的建模方式，即作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B與l的交點(diǎn)就是最佳的飲馬點(diǎn). 雖然出題的形式有所不同，但剖析本質(zhì)所用的研究模型是一致的.

對飲馬模型的拓展

飲馬模型是研究線段最值問題的常用模型，是關(guān)于“兩定點(diǎn)——一定直線——一動點(diǎn)”的模型，是軸對稱性質(zhì)和“兩點(diǎn)之間，線段最短”定理的綜合應(yīng)用. 對于該模型我們可以進(jìn)行適度的拓展，如圖5所示，l1和l2是兩條定直線，點(diǎn)M和N分別是直線l1和l2上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)P是一定點(diǎn)，即“一定點(diǎn)——兩定直線——一兩動點(diǎn)”模型，圖5做法就為求模型中PM+MN+NP最小值的策略：過點(diǎn)P分別作直線l1和l2的兩個對稱點(diǎn)P″和P′，根據(jù)軸對稱則有PM+MN+NP=P′M+MN+NP′=P′P″，此時線段和的最小值就為線段P′P″的長. 在歷年的考題中也有對“將軍飲馬”拓展模型的應(yīng)用.

評析? 上述考題雖然增加了條件“△PCE的面積最大”，但實(shí)際上是為了確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，后續(xù)依然可以轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬問題”，借助其拓展模型“一定點(diǎn)——兩定直線——一兩動點(diǎn)”，結(jié)合軸對稱性質(zhì)來轉(zhuǎn)化求解. 該類問題的求解重在分析的過程，破除動定點(diǎn)之間的線段“屏障”，轉(zhuǎn)化為直線上的兩點(diǎn)模型是關(guān)鍵，模型選用正確則計算量相對較小，解題效率可獲得顯著的提升.

教學(xué)實(shí)踐建議

1. 剖析問題本質(zhì)，還原考點(diǎn)知識

上述以拋物線為背景求解線段和的最小值，表面上屬于折線之間的長度分析，但分析解題過程可以發(fā)現(xiàn)，該類問題背后所承載的是學(xué)生熟悉的軸對稱性質(zhì)和“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”定理. 問題的求解實(shí)際上就是在變化的特性中提取不變特征，將“動點(diǎn)”與“定點(diǎn)”的分析轉(zhuǎn)化為“雙定點(diǎn)”分析，最終實(shí)現(xiàn)“折線”轉(zhuǎn)“直線”的目的. 因此，解題時要準(zhǔn)確把握問題特征，對其進(jìn)行本質(zhì)剖析，還原問題考查原型，結(jié)合基本性質(zhì)定理探索求解思路. 而在實(shí)際教學(xué)中則可以結(jié)合相關(guān)知識點(diǎn)來開展考題拓展，使學(xué)生深刻理解定理背后所隱含的內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生由“知識點(diǎn)”向“解題應(yīng)用”的過渡.

2. 提煉問題模型，深層拓展發(fā)掘

對于函數(shù)與幾何的綜合題，最為關(guān)鍵的一步是對考題模型的提煉，即深入問題本質(zhì)，從圖形的特征結(jié)構(gòu)等方面構(gòu)建模型，然后結(jié)合相關(guān)經(jīng)典模型的解答策略來完成. 如上述考題從幾何線段最值問題中提煉出“動點(diǎn)”與“定點(diǎn)定直線”的研究模型，然后銜接經(jīng)典的“將軍飲馬”模型來破解，模型提煉合理，則整個計算過程相對較為簡單. 而考題的研究不應(yīng)止于此，畢竟考題的形式是多樣的，把握本質(zhì)對模型進(jìn)行適度拓展則可以確保模型的多樣化，增強(qiáng)模型的實(shí)用性，這對于后續(xù)的問題研究有重要意義. 因此，教學(xué)中應(yīng)開展模型的提煉和拓展教學(xué)，可以從簡單的幾何模型入手，逐步變換問題的條件，使模型呈現(xiàn)多樣性，通過模型的分析來拓展學(xué)生的解題思維，提升解題能力.

3. 注重解題方法，發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)思想

上述考題的解題過程可以概括為以下三個階段：考題模型構(gòu)建、數(shù)形結(jié)合分析、等效轉(zhuǎn)化求解. 即根據(jù)問題條件提煉出問題模型，然后結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理，采用數(shù)形結(jié)合分析的方式探索，最后簡單轉(zhuǎn)化問題利用基本知識求解. 整個過程實(shí)際上是在解題思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的，如建模階段涉及了模型思想，分析階段涉及數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化階段涉及了轉(zhuǎn)化與化歸思想，正是思想方法與基本知識的完美結(jié)合實(shí)現(xiàn)了問題的高效求解. 思想方法是數(shù)學(xué)的核心，是問題策略構(gòu)建的指導(dǎo)思想，基于思想方法下的解題才是合理的，因此在解題教學(xué)中有必要滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生理解思想方法的深層內(nèi)涵，以數(shù)學(xué)思想為基礎(chǔ)凝練解題策略，從而達(dá)到觸類旁通的學(xué)習(xí)效果.

結(jié)束語

“將軍飲馬”模型實(shí)際上是軸對稱性質(zhì)和“兩點(diǎn)之間，直線最短”定理的綜合，結(jié)合基本模型，從基本性質(zhì)定理角度來探索線段和的最值能夠取得良好的學(xué)習(xí)效果. 知識點(diǎn)是固化的，但模型是可變的，把握問題本質(zhì)開展模型的拓展學(xué)習(xí)對于解題思維的提升具有一定的幫助，上述模型的研究僅是一個典型例子，后續(xù)還需進(jìn)一步挖掘.