老師，怎樣運(yùn)用基本不等式求最知道？

王思儉

很多同學(xué)經(jīng)常議論：“基本不等式的內(nèi)容很簡單，遇到靈活的題目，往往是束手無策，究竟是什么原因？”“基本不等式的技巧性很強(qiáng)，想不到變換就死定了！”“運(yùn)用基本不等式解題真是靈活多變，很難總結(jié)題型的規(guī)律，究竟有沒有規(guī)律可尋呢？”我們知道基本不等式是研究函數(shù)值域、求最大值或最小值、求參數(shù)的取值范圍時(shí)常用的利器，通常將問題化難為易、化繁為簡，但這需要我們具有敏銳的觀察力、精細(xì)的分析力、深刻的思考力、豐富的聯(lián)想力、扎實(shí)的運(yùn)算力，同時(shí)還要具有良好的解題回顧的習(xí)慣.只有這樣才能總結(jié)出運(yùn)用基本不等式求最值的基本策略，才能駕馭基本不等式.為此，特邀請幾位同學(xué)就《怎樣運(yùn)用基本不等式求最值》進(jìn)行交流，旨在引導(dǎo)大家如何進(jìn)行規(guī)律總結(jié).

教師：很好！生丁的解題過程嚴(yán)謹(jǐn)，答案正確，同時(shí)他也指出生丙的錯(cuò)誤原因.只有這樣才能提高你們的思辨能力！大家看看還有什么方法嗎？

教師：思路清晰，方法簡潔明了，答案正確，很好！大家再思考一下，還有其他方法嗎？

眾生：學(xué)霸！

教師：解法漂亮！他的過程十分簡潔！他是在發(fā)現(xiàn)正弦、余弦的平方和為1的前提下進(jìn)行變換的，利用了整體思想，同時(shí)他也指出等號(hào)成立的條件.所以你們要學(xué)會(huì)先觀察問題、分析問題，再選擇適當(dāng)?shù)慕忸}策略，將不具備使用定理的問題轉(zhuǎn)化為可以使用基本不等

生乙：生甲的兩處使用基本不等式的等號(hào)條件分別是x=2y，x=y，因此最后的等號(hào)不能成立，所以他的答案是錯(cuò)的.

生甲：是的，我怎么義犯糊涂了，下次一定吸取教訓(xùn).

教師：很好！你們給出三種不同的解法，從中可以看出化歸思想的重要性，化陌生為熟知，化待求為已求.生乙的方法簡潔，生丁三角換元后就是上述的變題，因此，你們在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，要注意積累方法，借鑒其他同學(xué)好的方法，往往是他山之石可以攻玉，變題1：已知實(shí)數(shù)想x，y滿足x+2y=1，求p=1/x+1/y的取值范圍.

教師：生甲靈活運(yùn)用整體思想和分類討論思想解決本題，答案正確.很好！再看變

題2：已知正數(shù)x，y滿足x+2y=2，求p=1/x十2/y的最小值.

生乙：如同上題一樣，消元后，化歸為關(guān)于x的函數(shù)，整體換元求解.

生丁：將已知等式右邊化歸為1，再整體代換求出最小值為9/2.

教師：很好！靈活運(yùn)用“1”的代換，沒有“1”構(gòu)造“1”，從而使問題變得更加簡單了，解題過程也十分簡潔.請看變題3：已知正數(shù)x，y滿足1/x+1/y=1，求x+2y的最小值.

教師：很好！你們在學(xué)習(xí)過程中白覺地將問題推廣到一般形式，這種探究精神值得提倡.這兩個(gè)推廣的問題實(shí)質(zhì)是一樣的，就是將x→1/x.y→1/y再看變題4：已知θ∈（o，丌），求p=9/（1-cosθ）+16/（1+cosθ）的最小值.

生戊：根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式p=9/2sin（θ/2）²+16/2cos（θ/2）²用sin（θ/2）²+16/2cos（θ/2）²=1，整體代換求出最小值為49/2.

生辛：直接觀察分母之和為定值2，即（1-cosθ）+（l+cosθ）=2，轉(zhuǎn)化為正數(shù)x，y滿足x+y=2，求p的最小值，

教師：兩位同學(xué)的答案都是正確的，生戊是三角變換人手，巧用正弦、余弦的平方和為1，生辛直接洞察出分母之和為定值，再化歸為熟知的問題求解.再看變題5：已知正數(shù)想，y滿足x+2y≤1，求p=1/x+1/y的最小值.

生丙：看來消元法行不通了，是不是要改變策略了？

教師：很好！給出的條件雖然不是等式，但還是可以轉(zhuǎn)化為“1”的整體代換，再使用基本不等式求解.現(xiàn)在看問題：

教師：正確！本題是直接利用基本不等式變形來求解.變題1：已知直角三角形的面積為50，則周長的最小值為

教師：正確！現(xiàn)在大家可以靈活使用基本不等式解題了，變題2：若直角三角形的周長為10，則此三角形的面積最大值為

教師：很好！生丁能根據(jù)兩道題的特征抽象概括出一般規(guī)律，從而得到此命題，他這種精神正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，你們平時(shí)要多加訓(xùn)練，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.變題3：已知正數(shù)啊a，b滿足a+b+3=ab，求a+b的取值范圍.你們探討此題有哪些解法？

生戊：消元法，b=（a+3）/（a-1），因此p=a+b=a+（a+3）/（a-1）（a>1），即a²-pa+p+3=0，利用判別式△=p²-4p-12≥0，解之得p≥6或p≤-2（舍去），故取值范圍為[6，+∞）.

生己：拆分配湊法，p=（a-1）+4/（a-1）+2≥2×2+2=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)等號(hào)成立.

教師：很好！你們從消元出發(fā)，給出了不同解法，其中生己的方法較簡潔.你們還能想到其他方法嗎？

生辛：方程思想，設(shè)a+b=t，則ab=3+t.因此啊a，b是方程x²-tx+t+3=0的兩個(gè)正根，因此判別式△≥0，解之得t≥6.

教師：生辛是構(gòu)造一元二次方程，再利用判別式法求解.你們再想一想還有其他方法嗎？教師：生乙的方法較簡潔，先利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式，然后求解.在他的解題過程中，你們發(fā)現(xiàn)什么了？

生辛：題設(shè)不變，可以求ab的取值范圍，答案為[9，+∞）.

生庚：如果是填空題，可以秒殺求解其最小值，當(dāng)啊a，b交換時(shí)已知條件不變，目標(biāo)也不變，因此當(dāng)a=b時(shí)取到最小值，解方程求出a=3時(shí)取最小值6.

教師：很好！生辛發(fā)現(xiàn)也可以求ab的最小值，而生庚給出了秒殺的辦法，這些解題策略都值得大家學(xué)習(xí)借鑒.變題4：已知正數(shù)啊a，b滿足a+b+3≤ab，求a+b的最小值與ab的最小值.

生甲：消元法不能解決了，是不是通過基本不等式建立一元二次不等式求解？

教師：很好！完全正確！在已知條件是不等式的情況下，我們往往是通過基本不等式構(gòu)建相關(guān)的一元二次不等式，然后再求解.

基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問題的有效T具，應(yīng)用時(shí)，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應(yīng)用條件，只有具備公式應(yīng)用的三個(gè)條件時(shí)，才可應(yīng)用，否則可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，endprint