定式思維招全錯(cuò)，審清題意挽敗局

王修湯

學(xué)完《簡單的線性規(guī)劃問題》一節(jié)后，我班同學(xué)練習(xí)了這樣一道題.

一、題目重現(xiàn)

某制藥公司有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)中成藥產(chǎn)品.公司進(jìn)行產(chǎn)品結(jié)構(gòu)調(diào)整，決定用現(xiàn)有產(chǎn)品生產(chǎn)線的剩余生產(chǎn)能力試生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品，新產(chǎn)品的生產(chǎn)方式為批量生產(chǎn)：400個(gè)產(chǎn)品為一批.目前由于大多數(shù)生產(chǎn)設(shè)備已用于其他產(chǎn)品的生產(chǎn)，所以首先確定每周生產(chǎn)線可用的生產(chǎn)時(shí)間，以及各種產(chǎn)品每批的生產(chǎn)時(shí)間，時(shí)間單位以小時(shí)計(jì).然后由生產(chǎn)中心確定生產(chǎn)成本，市場(chǎng)中心進(jìn)行定價(jià)，得到兩種新產(chǎn)品每一批的利潤.具體數(shù)據(jù)如下表所示.

試確定這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)方式，以使公司每周的利潤最大，并求出最大利潤.

二、普通解法我班同學(xué)普遍解法如下：設(shè)每周生產(chǎn)產(chǎn)品一x批，生產(chǎn)產(chǎn)品二y批，每周的利潤為g千元，則約束條件為

目函數(shù)為z=3x+5y，畫出可行域（如圖1）.當(dāng)直線z=3x+5y經(jīng)過直線3x+2y=18與直線y=6的交點(diǎn)（2，6）時(shí)，z取最大值36，所以生產(chǎn)線每周生產(chǎn)2批產(chǎn)品一，生產(chǎn)6批產(chǎn)品二時(shí)，公司利潤最大，最大利潤為36千元.

三、參考答案

設(shè)第三條生產(chǎn)線每周生產(chǎn)產(chǎn)品一、產(chǎn)品二分別為x批、y批，此生產(chǎn)線每周的利潤為z元z千元，則約束條件為3x+2y≤18，x≥0，y≥0目標(biāo)函數(shù)為z=3x+5y，畫出可行域（如圖2）.當(dāng)直線z=3x+5y經(jīng)過直線3x+2y=18與直線x=0的交點(diǎn)（O，9）時(shí)，z取最大值45，所以生產(chǎn)線1每周生產(chǎn)4批產(chǎn)品一，生產(chǎn)線2每周生產(chǎn)6批產(chǎn)品二，生產(chǎn)線3每周生產(chǎn)9批產(chǎn)品二時(shí)，公司每周的利潤最大，最大利潤為87千元.

四、錯(cuò)因分析

本是課本上的一道常規(guī)練習(xí)題，全班同學(xué)卻無一人做對(duì)，這必須引起足夠的重視.仔細(xì)分析了解就會(huì)發(fā)現(xiàn)，是我們的定式思維招致了錯(cuò)誤.因?yàn)檫@幾天我班剛學(xué)過線性規(guī)劃的應(yīng)用題，很多題目都是根據(jù)條件列jLI_I表格，再寫出約束條件.例如課本中有一道例題：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1 t甲種產(chǎn)品需要A種原料4 t，B種原料12 t，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1t乙種產(chǎn)品，需要A種原料1t，B種原料9t，產(chǎn)生的利潤為1萬元.現(xiàn)有庫存A種原料10t，B種原料60t，則甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少，才能使利潤總額最大？

課本上為了指導(dǎo)解題，將已知數(shù)據(jù)整理成下表：

根據(jù)表格，很多同學(xué)列出的約束條件是O≤4x+y≤10，0≤12x+9y≤60，這個(gè)約束條件對(duì)于這道x≥0，y≥o.題來說是正確的.但是當(dāng)我們做其他題目時(shí)，例如前面的原題，還不由自主地去套用表格的這種模式，就會(huì)列出上面錯(cuò)解中的約束條件.從錯(cuò)解得出的結(jié)論也能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，因?yàn)殄e(cuò)解結(jié)論中并沒有交待清楚每一條生產(chǎn)線如何生產(chǎn)，僅僅是籠統(tǒng)指出生產(chǎn)線每周生產(chǎn)2批產(chǎn)品一，生產(chǎn)6批產(chǎn)品二.

五、重新審題

題目中“400個(gè)產(chǎn)品為一批”是什么意思？每一批只能全是一種產(chǎn)品嗎.還是可以在同一批中同時(shí)有產(chǎn)品一和產(chǎn)品二？靜心分析應(yīng)該是每一批都是一種產(chǎn)品.第一，因?yàn)樯a(chǎn)線的性質(zhì)決定了每批只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品；第二，題目中的表格也體現(xiàn)出每批只是一種產(chǎn)品.

對(duì)于第1條和第2條生產(chǎn)線，沒有懸念.每周只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當(dāng)然盡全力生產(chǎn)，效益最高.所以第1條生產(chǎn)線每周生產(chǎn)4小時(shí)產(chǎn)品一，即生產(chǎn)4÷1=4批，就能獲得最大利潤4×3=12（千元）；而第2條生產(chǎn)線每周生產(chǎn)12小時(shí)產(chǎn)品二，即生產(chǎn)12÷2=6批，就能獲得最大利潤6×5=30（千元）.

唯獨(dú)第3條生產(chǎn)線，它是一段時(shí)間生產(chǎn)產(chǎn)品一，另一段時(shí)間生產(chǎn)產(chǎn)品二，必須合理安排才能獲得更大的利潤.所以才會(huì)有約束條件3x+2y≤18，x≥0，y≥0其實(shí)從表格可知，產(chǎn)品二所需時(shí)間短，利潤大，所以理所當(dāng)然全部生產(chǎn)產(chǎn)品二，這和我們利用線性規(guī)劃知識(shí)解得的答案r=0，y=9完全一致.所以，第3條生產(chǎn)線每周生產(chǎn)18小時(shí)產(chǎn)品二，即生產(chǎn)18÷2=9批，獲利9×5=45（千元）.總的利潤為每周12+30+45 =87（千元），即8.7萬元，

由此算來，解題的前提是“審題”，如果連題目的意思都沒有弄明白就下手解題，那就只能死套題型，最終招致的就是“全錯(cuò)”.只有審清題意，才是解決數(shù)學(xué)問題的“正道”，endprint