從簡單到復(fù)雜
2018-03-04 17:30:36沙國祥
新高考·高一數(shù)學(xué) 2017年5期
沙國祥
首先，除了基本不等式，還有一些比較重要的不等式，可以由此推演而來.如：都能用基本不等式加以證明，可見，基本不等式不愧為基本中的基本！
其次，基本不等式可直接或經(jīng)過變形后用于證明不等式或求函數(shù)的最值等問題.
我們來看這樣的例子：
這個不等式的左端很有意思，三種基本三角函數(shù)sinx，cosx，tanx齊上陣，如果直接用基本不等式，是得不到結(jié)論的（你不妨一試）.我們利用三角公式化簡，設(shè)法減少異名三角函數(shù)的個數(shù)：
再運(yùn)用基本不等式立得結(jié)論.
再次，基本不等式的運(yùn)用隱身于各種復(fù)雜的方程、函數(shù)問題的求解中.
這道題很特別，給出了一個十分復(fù)雜的方程，其中有三個未知數(shù)，乍看非常嚇人！你可能會有疑問：能夠一石三鳥，求出a，b，c的值嗎？再說，條件給出的是一個方程，哪里有基本不等式的影子呢？
我們退一步來看一個簡單的類似問題（學(xué)數(shù)學(xué)時，我們常常從簡單的問題悟出道理，再將其用于解決復(fù)雜的問題）：已知a2+（b-1）2+（c-2）2=0這一個方程，就能夠一舉確定三個未知數(shù)a，b，c的值.這個方程好強(qiáng)悍！它有什么特別之處呢？注意：當(dāng)a，b，c都是實(shí)數(shù)時，a2≥0，（b-1）2≥0，（c-2）2≥0，所以a2+（b-1）2+（（c-2）2≥0，等號當(dāng)且僅當(dāng)其中的三個完全平方式都為0時才成立，即當(dāng)a2+（b-1）2+（c-2）2=0時，必有a=b-l=c-2=0，a=0，b=1，c=2.
那么，我們可以類比這個思路，將方程2a2+1/ab-4ac+4c2=4的左邊進(jìn)行配方嗎？是可以的，但更好的辦法，是類比更本質(zhì)的地方，證明2a2=1/ab+1/（a（a-b））-4ac+4c2≥4，且找出等號成立的條件.注意到分母ab，a（a-b），將所給方程的左邊向分母
回顧一下，我們利用基本不等式，由簡單到復(fù)雜（或有時先化復(fù)雜為簡單，再從簡單到復(fù)雜），解決了一些比較復(fù)雜的不等式、函數(shù)問題.好比一條小溪，不斷彎曲流淌，沿途匯入無數(shù)小溪、小河，直至變成大河大江，雖浩浩蕩蕩、波浪翻滾，其源頭卻是清晰、簡單的.endprint
