巧用曲率半徑解決物理問題

張方彥

（南京市人民中學(xué)，江蘇南京 210018）

1 題目

如圖1為地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的橢圓軌道，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，a為近日點(diǎn)，b為遠(yuǎn)日點(diǎn)，地球在a、b兩點(diǎn)的速度和與太陽(yáng)的距離分別為V、V；R、R。求速度之比。

2 錯(cuò)誤解法

根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立關(guān)系：

這是學(xué)生在解答過程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤。

3 分析

根據(jù)以前的教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在這個(gè)地方經(jīng)常會(huì)問，上面求曲率的方法有沒有理論依據(jù)？曲率半徑真的是相等的嗎？

正確解法：如圖3所示，太陽(yáng)位于橢圓的焦點(diǎn)s處，太陽(yáng)的質(zhì)量為 M,地球的質(zhì)量為m。在頂點(diǎn)1、2之間機(jī)械能守恒及開普勒第二定律得；

其中，c為橢圓的半焦距，即

由以上方程可求得

頂點(diǎn)1處的曲率半徑ρ可有地球在該處所受的萬有引力等于地球在該處的向心力求的，即

頂點(diǎn)2處的曲率半徑ρ可由曲率圓的向心力公式求得，即

圖1 地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的橢圓軌道

圖2 在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)作兩個(gè)跟軌道相切的圓

圖3 太陽(yáng)位于橢圓的焦點(diǎn)

圖4 兩個(gè)扇形的面積圖

由上面的推導(dǎo)可以知道地球在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的曲率半徑一定相等。

其實(shí)這個(gè)問題也可用開普勒定律來研究。根據(jù)行星運(yùn)動(dòng)的第三定律，行星沿橢圓軌道時(shí)，它和中心天體的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，以近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)為中心，取一個(gè)極短的時(shí)間間隔Δt，在這個(gè)時(shí)間內(nèi)掃過的面積如圖4所示的兩個(gè)扇形的面積相等。

這兩個(gè)扇形的面積分別為：

由于S=S可以得到