雙門限唐檢測改進(jìn)算法

張超逸,李金海,閻躍鵬

(1.中國科學(xué)院微電子研究所,北京100029;2.中國科學(xué)院大學(xué),北京100049)

0 引 言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global navigation satellite system,GNSS)采用直接序列擴(kuò)頻技術(shù)實(shí)現(xiàn)定位、測速和授時(shí)功能。在導(dǎo)航接收機(jī)設(shè)計(jì)中,需要完成信號(hào)在時(shí)域和頻域的二維捕獲,并對每個(gè)捕獲單元的結(jié)果進(jìn)行檢測確認(rèn)[1-3]。最基本的檢測確認(rèn)方法是對每個(gè)單元的信號(hào)進(jìn)行積分和清零,將得到的包絡(luò)與門限相比較,以確定衛(wèi)星信號(hào)是否存在。由于單次駐留檢測的虛警概率過高,無法滿足系統(tǒng)要求,需采用多次駐留檢測來對捕獲結(jié)果進(jìn)行確認(rèn)[4]。唐檢測算法憑借可變的駐留次數(shù)、計(jì)算量少、結(jié)構(gòu)簡單以及在低信噪比下良好的檢測性能得到了廣泛的應(yīng)用[5]。為了提升檢測性能,文獻(xiàn)[6]提出了含近鄰約束的改進(jìn)唐檢測算法,增強(qiáng)對弱信號(hào)的檢測能力,但檢測速度并未得到有效提高。為解決駐留次數(shù)不確定導(dǎo)致檢測器長時(shí)間駐留在某個(gè)捕獲單元中的問題,文獻(xiàn)[7]提出了對單次檢測的總次數(shù)設(shè)置門限進(jìn)行約束的方法,通過選擇合理的次數(shù)門限,使得在檢測性能不受影響的條件下可以有效控制檢測次數(shù),但該算法主要針對弱信號(hào)情況,對平均駐留次數(shù)影響有限。文獻(xiàn)[8]在捕獲模塊之前增加了一個(gè)能量估計(jì)模塊,通過自適應(yīng)調(diào)整門限和駐留次數(shù)來提高檢測性能,但檢測速度受能量估計(jì)值影響較大,同時(shí)會(huì)帶來大量額外的計(jì)算復(fù)雜度。檢測速度對接收機(jī)至關(guān)重要,直接決定了衛(wèi)星從捕獲狀態(tài)轉(zhuǎn)至跟蹤狀態(tài)所需的時(shí)間。為了加快檢測速度,本文基于傳統(tǒng)唐檢測算法,提出了采用雙門限比較的唐檢測改進(jìn)算法,該算法將信號(hào)包絡(luò)與兩級(jí)門限分別比較后作出檢測判決,在檢測性能基本不受影響的前提下,有效降低了平均駐留次數(shù),減少了檢測確認(rèn)時(shí)間。

1 檢測統(tǒng)計(jì)量

接收機(jī)天線接收到導(dǎo)航信號(hào)后通過射頻模塊下變頻為數(shù)字中頻信號(hào),再經(jīng)過解調(diào)、解擴(kuò)、相干積分和清零之后得到I、Q兩路信號(hào)的表達(dá)式如下[9]:

式中:a為信號(hào)幅值;D為相干積分時(shí)間內(nèi)調(diào)制的導(dǎo)航電文;R為擴(kuò)頻碼自相關(guān)函數(shù);τ為本地碼與輸入信號(hào)之間的碼相位差;T為相干積分時(shí)長;fe為本地載波和輸入信號(hào)的載波頻率差;φe為本地載波和輸入信號(hào)的載波相位差;n I和n Q為互不相關(guān)的均值為零、方差為的高斯白噪聲。

對I、Q兩路信號(hào)進(jìn)行如下式的非相干積分:

本文取V2作為單次檢測的檢測統(tǒng)計(jì)量,即對Nnc個(gè)I、Q兩路信號(hào)的相干積分功率和進(jìn)行累加。當(dāng)衛(wèi)星信號(hào)不存在時(shí),V2服從自由度為2Nnc的中心卡方(χ2)分布。令y＝v2,則其概率密度函數(shù)為[10]:

式中:Γ(p)為γ函數(shù)。此時(shí)的概率密度函數(shù)僅與相干積分后的噪聲功率、非相干次數(shù)有關(guān)。當(dāng)衛(wèi)星信號(hào)存在時(shí),V2服從自由度為2Nnc的非中心卡方分布。

令y＝v2,則其概率密度函數(shù)為[10]:

式中:Iα(x)為第一類α階修正貝塞爾函數(shù);s2稱為非中心分布參量,考慮碼相位偏差τ與載波頻率偏差fe均為0的情況下定義為:

可以看出此時(shí)的概率密度函數(shù)還與輸入信號(hào)的功率有關(guān)。

單次檢測的虛警概率計(jì)算表達(dá)式如下:

式中:Vt為檢測門限值。

單次檢測的檢測概率計(jì)算表達(dá)式如下:

式中:Q m(a,b)為廣義馬庫姆(Marcum′s)Q函數(shù)。

由式(6)(7)可知,在相同檢測條件下,虛警概率越低,所需的檢測門限值越大,相應(yīng)的檢測概率也越低,因此,在虛警概率和檢測概率之間需要取得折中。檢測時(shí)采用Neyman-Pearson準(zhǔn)則,在給定單次檢測的虛警概率Pfa和由接收機(jī)估計(jì)得到的噪聲功率后由式(6)計(jì)算得到檢測門限Vt,然后再由式(7)計(jì)算得到單次檢測的檢測概率Pd。

2 唐檢測算法介紹

唐檢測算法是一種可變駐留次數(shù)的檢測確認(rèn)算法,其將檢測統(tǒng)計(jì)量與門限相比較,若大于門限,則檢測計(jì)數(shù)器K加1;若小于門限,則檢測計(jì)數(shù)器K減1。經(jīng)過多次檢測后,當(dāng)K達(dá)到次數(shù)門限A時(shí),認(rèn)為信號(hào)存在。當(dāng)K＝0時(shí),認(rèn)為信號(hào)不存在。這里K的初始值取B。算法流程圖如圖1所示。

圖1 唐檢測器檢測算法流程Fig.1 Flow diagram of Tong detection algorithm

文獻(xiàn)[11]給出了唐檢測算法的系統(tǒng)虛警概率為:

相干積分時(shí)長T＝1 ms,非相干次數(shù)Nnc＝1,系統(tǒng)虛警概率PFA＝10－6,B＝1時(shí),A取不同值、不同信噪比下的系統(tǒng)檢測概率PD如圖2所示。

圖2 唐檢測系統(tǒng)檢測概率Fig.2 System detection probability of Tong detection

為了進(jìn)行性能比較,圖2中同時(shí)給出了單次檢測的檢測概率。可以看出,單次檢測要滿足檢測概率大于90%的條件,信噪比需要大于13.5 dB,這樣的檢測性能是導(dǎo)航接收機(jī)無法接受的。而在相同的虛警概率下,經(jīng)過唐檢測處理后接收機(jī)的檢測性能得到大幅提升。如當(dāng)A等于4時(shí),滿足檢測概率大于90%所需信噪比僅為9.5 d B,比單次檢測降低4 dB,且A越大檢測性能越好。

表1給出了A取值不同時(shí)噪聲單元的平均駐留次數(shù),以及當(dāng)系統(tǒng)檢測概率等于90%時(shí)信號(hào)單元的平均駐留次數(shù)。當(dāng)僅采用單次檢測確認(rèn)算法時(shí),在每個(gè)捕獲單元僅駐留1次。采用唐檢測算法后,由表1可以看出,信號(hào)單元和噪聲單元的平均駐留次數(shù)都增加,且信號(hào)單元的平均駐留次數(shù)遠(yuǎn)大于噪聲單元。隨著A的增大,平均駐留次數(shù)也在增加。較大的平均駐留次數(shù)會(huì)導(dǎo)致接收機(jī)檢測確認(rèn)速度過慢,增加捕獲轉(zhuǎn)跟蹤所需的時(shí)間。因此,有必要對唐檢測算法進(jìn)行改進(jìn),減少平均駐留次數(shù),尤其是信號(hào)單元的平均駐留次數(shù)。

表1 唐檢測平均駐留次數(shù)Table 1 Average dwell times of Tong detection

3 本文算法

3.1 算法簡介

為了有效減少平均駐留次數(shù),在單門限檢測的基礎(chǔ)上額外增加另一個(gè)較大的門限,構(gòu)成兩級(jí)門限檢測。首先,判斷檢測統(tǒng)計(jì)量與較小的第一級(jí)門限的比較結(jié)果,當(dāng)大于第一級(jí)門限時(shí),檢測計(jì)數(shù)器K加1,否則,檢測計(jì)數(shù)器K減1。接著,判斷檢測統(tǒng)計(jì)量與較大的第二級(jí)門限的比較結(jié)果,當(dāng)大于第二級(jí)門限時(shí)檢測計(jì)數(shù)器K加1,否則不做處理。改進(jìn)算法流程如圖3所示。

圖3 雙門限唐檢測器檢測算法流程Fig.3 Flow diagram of Tong detection algorithm with double thresholds

由于第二級(jí)門限較大,具有較小的虛警概率,檢測通過門限的信號(hào)存在概率較大,這時(shí)對檢測計(jì)數(shù)器K再加1是合理的。通過設(shè)置兩級(jí)門限,在信號(hào)存在時(shí),使得檢測計(jì)數(shù)器K能夠更為迅速地接近檢測次數(shù)門限A,減少平均駐留次數(shù),提高檢測速度。

3.2 理論分析

唐檢測的數(shù)學(xué)模型可以采用具有兩個(gè)吸收態(tài)的馬爾可夫鏈來描述[6,7]。每個(gè)馬爾可夫鏈包含有一個(gè)狀態(tài)集S和一個(gè)轉(zhuǎn)移概率矩陣P。狀態(tài)集S包含了所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)。從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率稱為轉(zhuǎn)移概率P ij,其中i,j∈S。所有的P ij組成轉(zhuǎn)移概率矩陣P。當(dāng)P ii＝1,P ij＝0,i≠j時(shí),稱狀態(tài)i為吸收態(tài)。唐檢測算法對應(yīng)的狀態(tài)集S＝{0,1,…,A},吸收態(tài)為0和A。

令第一級(jí)門限對應(yīng)的虛警概率為Pfa1,第二級(jí)門限對應(yīng)的虛警概率為Pfa2。定義p0＝1－Pfa1表示小于第一級(jí)門限的概率;p1＝Pfa1－Pfa2表示大于第一級(jí)門限小于第二級(jí)門限的概率;p2＝Pfa2表示大于第二級(jí)門限的概率。p0、p1、p2均大于0,且p0＋p1＋p2＝1。由改進(jìn)算法流程可知,從狀態(tài)i到狀態(tài)i－1的概率為p0,從狀態(tài)i到狀態(tài)i＋1的概率為p1,從狀態(tài)i到狀態(tài)i＋2的概率為p2,到其余狀態(tài)的概率均為0,則可以得到改進(jìn)算法的轉(zhuǎn)移概率矩陣如下:

對式(14)中的a i表達(dá)式進(jìn)行等價(jià)變換可得:

聯(lián)立式(17)(18)(19)可求得δ0的表達(dá)式。又δ0＝a1－a0＝a1,a1表示從狀態(tài)i＝B＝1出發(fā),到達(dá)吸收態(tài)A的概率,即給定兩級(jí)門限的虛警概率后可計(jì)算得到系統(tǒng)虛警概率為:

同理,用兩級(jí)門限的檢測概率Pd1、Pd2代替虛警概率Pfa1、Pfa2,按照上述推導(dǎo),即可得到系統(tǒng)檢測概率,與式(20)形式一致。

定義從狀態(tài)i到吸收態(tài)A或0的平均次數(shù)為平均駐留次數(shù)μi(i＝0,1,…,A),則μi滿足如下線性方程組:

聯(lián)立式(24)(25)(26)可求得η0的表達(dá)式。又η0＝μ1－μ0＝μ1,μ1表示從狀態(tài)i＝B＝1出發(fā),到達(dá)吸收態(tài)A或0的平均次數(shù),即給定兩級(jí)門限的虛警概率后可計(jì)算得到噪聲單元的平均駐留次數(shù)為:

同理,用兩級(jí)門限的檢測概率Pd1、Pd2代替虛警概率Pfa1、Pfa2,按照上述推導(dǎo),即可得到信號(hào)單元的平均駐留次數(shù),與式(27)形式一致。

3.3 檢測性能

為了得到第二級(jí)門限不同取值對系統(tǒng)虛警概率和系統(tǒng)檢測概率的影響,設(shè)置理論仿真條件如下:

(1)取A＝4,B＝1,T＝1 ms,Nnc＝1。

(2)取PFA＝10－6,通過式(8)計(jì)算得到Pfa＝0.009 934,將其作為第一級(jí)門限對應(yīng)的虛警概率,即Pfa1＝Pfa。

(3)取Pfa2分別等于10－3、10－4、10－5、10－6、10－7作為第二級(jí)門限對應(yīng)的虛警概率。

根據(jù)式(20)計(jì)算得到雙門限下的系統(tǒng)虛警概率,結(jié)果如表2所示。

表2 雙門限唐檢測系統(tǒng)虛警概率Table 2 System false alarm probability of Tong detection with double thresholds

未增加第二級(jí)門限時(shí),單門限檢測算法對應(yīng)的系統(tǒng)虛警概率為10－6。增加第二級(jí)門限后,由表2可看出,雙門限檢測算法的系統(tǒng)虛警概率有所增加,但隨著第二級(jí)門限對應(yīng)的虛警概率變小(即第二級(jí)門限值變大),雙門限檢測算法的系統(tǒng)虛警概率隨之變小,且不斷逼近單門限檢測算法的系統(tǒng)虛警概率10－6。如在本例中,當(dāng)?shù)诙?jí)門限所對應(yīng)的虛警概率小于等于10－4時(shí),雙門限檢測算法的系統(tǒng)虛警概率與單門限檢測算法的系統(tǒng)虛警概率已處于同一數(shù)量級(jí)。

為了分析上述仿真條件下的系統(tǒng)檢測概率,首先分別將Pfa1和不同取值的Pfa2代入式(6)求得對應(yīng)的門限值,然后將門限值代入式(7)計(jì)算得到單次檢測概率Pd1和Pd2,最后求出不同信噪比下的雙門限檢測算法系統(tǒng)檢測概率,如圖4所示。

圖4 雙門限唐檢測系統(tǒng)檢測概率Fig.4 System detection probability of Tong detection with double thresholds

從圖4可以看出,不同Pfa2取值下的雙門限檢測算法系統(tǒng)檢測概率在不同信噪比下同單門限檢測算法相比均略有提升。隨著第二級(jí)門限對應(yīng)的虛警概率變大,系統(tǒng)檢測概率的提升越明顯。

當(dāng)A取其他值時(shí),雙門限檢測算法的系統(tǒng)虛警概率和系統(tǒng)檢測概率也具有上述特點(diǎn)。即雙門限檢測算法在檢測性能上會(huì)增加系統(tǒng)虛警概率和系統(tǒng)檢測概率,但可通過合理設(shè)置第二級(jí)門限值使其檢測性能與單門限檢測算法基本相同。

3.4 駐留次數(shù)

在相同的理論仿真條件下,設(shè)置不同的第二級(jí)門限后,根據(jù)式(27)計(jì)算得到的雙門限噪聲單元平均駐留次數(shù)如表3所示。

表3 噪聲單元平均駐留次數(shù)Table 3 Average dwell times for noise cells

由表1得到單門限檢測算法的噪聲單元平均駐留次數(shù)為1.0203。與表3的雙門限結(jié)果對比可以看出,雙門限檢測算法對噪聲單元的平均駐留次數(shù)影響較小,與單門限時(shí)的平均駐留次數(shù)基本相等。

不同信噪比下不同第二級(jí)門限所對應(yīng)的信號(hào)單元平均駐留次數(shù)如圖5所示。

圖5 信號(hào)單元平均駐留次數(shù)Fig.5 Average dwell times for signal cells

從圖5可以看出,第二級(jí)檢測門限對應(yīng)的虛警概率越大,平均駐留次數(shù)越少,檢測速度越快。表4給出了采用雙門限檢測算法在A取值不同下,系統(tǒng)虛警概率滿足1.2×10－6時(shí)第二級(jí)門限對應(yīng)的虛警概率大小,以及此時(shí)系統(tǒng)檢測概率等于90%時(shí)信號(hào)單元的平均駐留次數(shù)和與單門限結(jié)果比較的差值Diff。

由表4可以看出,雙門限檢測算法在系統(tǒng)虛警概率從1.0×10－6略微提高到1.2×10－6的條件下,能有效減少平均駐留次數(shù),且A越大次數(shù)減少得越多,從而大大提高了信號(hào)單元的檢測速度。

表4 雙門限唐檢測性能Table 4 Performance of Tong detection with double thresholds

3.5 算法應(yīng)用

在實(shí)際應(yīng)用中,雙門限唐檢測算法的兩級(jí)門限可通過如下步驟選取:

(1)已知接收機(jī)的系統(tǒng)虛警概率要求為PFA,通過式(8)計(jì)算得到單門限唐檢測算法對應(yīng)的單次檢測虛警概率Pfa,將其作為雙門限算法中第一級(jí)門限的虛警概率Pfa1,并通過式(6)計(jì)算得到對應(yīng)的門限值Vt1。

(2)選取n個(gè)小于Pfa1的值作為第二級(jí)門限的虛警概率估計(jì)值,然后將代入式(20)求出雙門限唐檢測算法的系統(tǒng)虛警概率。n的大小取決于對虛警概率估計(jì)精度的要求。

通過上述方法選取的門限大小可使雙門限唐檢測算法的系統(tǒng)虛警概率與單門限唐檢測算法的系統(tǒng)虛警概率處于同一數(shù)量級(jí),使得算法對接收機(jī)系統(tǒng)性能的影響可以忽略。與此同時(shí),使得系統(tǒng)檢測概率的提升最大,信號(hào)單元平均駐留次數(shù)的減少也最大,有效提高了接收機(jī)的檢測速度。

在各系統(tǒng)可見衛(wèi)星數(shù)為10顆,三系統(tǒng)聯(lián)合定位,駐留時(shí)間T＝1 ms,非相干次數(shù)Nnc＝1,A取12的條件下,經(jīng)仿真得出,采用改進(jìn)算法對每顆衛(wèi)星進(jìn)行捕獲檢測確認(rèn),共可減少檢測確認(rèn)時(shí)間82.161 ms。在針對弱信號(hào)的捕獲檢測中,需要更大的A,更長的相干積分時(shí)長T和更多的非相干次數(shù)N,此時(shí)采用改進(jìn)算法節(jié)省的檢測確認(rèn)時(shí)間更為可觀。此外,改進(jìn)算法僅需額外增加一個(gè)比較器,在實(shí)現(xiàn)過程中硬件資源消耗非常少。

4 仿真結(jié)果

用思博倫GSS9000模擬信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生不同信噪比的GPS信號(hào),再用采集器將信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字中頻信號(hào)后用于仿真校驗(yàn)。采集器的采樣率為16.368 MHz,數(shù)字中頻頻率為4.092 MHz。仿真條件為A＝4,B＝1,T＝1 ms,Nnc＝1,PFA＝10－6,Pfa1＝0.009 934。圖6為在Pfa2＝10－5條件下雙門限唐檢測算法系統(tǒng)檢測概率的理論值與仿真值。圖7分別給出了單門限、Pfa2＝10－3、Pfa2＝10－5三種情況下的唐檢測算法平均駐留次數(shù)的理論值與仿真值。

圖6 系統(tǒng)檢測概率仿真結(jié)果Fig.6 Simulation result of system detection probability

圖7 信號(hào)單元平均駐留次數(shù)仿真結(jié)果Fig.7 Simulation result of average dwell times for signal cells

從圖6和圖7可以看出,理論與實(shí)際仿真結(jié)果基本吻合,從而驗(yàn)證了理論推導(dǎo)分析,雙門限改進(jìn)唐檢測算法確實(shí)能有效減少平均駐留次數(shù),提高檢測速度。

5 結(jié)束語

針對唐檢測算法平均駐留次數(shù)過長導(dǎo)致檢測速度較慢的問題,在唐檢測算法中引入第二級(jí)門限用于比較檢測。算法經(jīng)過了理論推導(dǎo)和性能分析,并且通過實(shí)際仿真校驗(yàn)。結(jié)果表明,雙門限唐檢測算法在檢測性能上會(huì)略微增加系統(tǒng)虛警概率和檢測概率;在平均駐留次數(shù)上,噪聲單元的平均駐留次數(shù)基本不變,信號(hào)單元的平均駐留次數(shù)明顯減少。因此,通過給定系統(tǒng)虛警概率選擇合適的第二級(jí)門限,使得雙門限檢測算法可以有效提升檢測速度。

[1]Zhu Z,Graas F V,Pelgrum W.C/A code cross-correlation at a high doppler offset[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2015,51(3):1826-1838.

[2]劉曉明,張鶴,吳皓威,等.高動(dòng)態(tài)環(huán)境下長碼擴(kuò)頻信號(hào)快速捕獲算法[J].電子與信息學(xué)報(bào),2016,38(6):1398-1405.Liu Xiao-ming,Zhang He,Wu Hao-wei,et al.Rapid DSSS signal acquisition algorithm under high dynamic environment[J].Journal of Electronics&Information Technology,2016,38(6):1398-1405.

[3]Zhu C,Fan X.A novel method to extend coherent integration for weak GPS signal acquisition[J].IEEE Communications Letters,2015,19(8):1343-1346.

[4]Renzo M D,Annoni L A,Graziosi F,et al.A novel class of algorithms for timing acquisition of differential transmitted reference UWB receivers:architecture,performance analysis and system design[J].IEEE Transactions on Wireless Communications,2008,7(6):2368-2387.

[5]Kaplan E D,Hegarty C H.Understanding GPS:Principles and Applications[M].Boston:Artech House,2006:223-227.

[6]馬琳,崔嵬,吳嗣亮.極低信噪比環(huán)境下含近鄰約束的改進(jìn)唐檢測判決算法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011,33(8):1745-1749.Ma Lin,Cui Wei,Wu Si-liang.Improved Tong multiple trial algorithm with near neighbor constraint in extremely low SNR condition[J].Systems Engineering and Electronics,2011,33(8):1745-1749.

[7]馬琳,崔嵬,田靜,等.基于馬爾可夫鏈的含有檢測次數(shù)約束條件的唐檢測器[J].宇航學(xué)報(bào),2011,32(8):1799-1804.Ma Lin,Cui Wei,Tian Jing,et al.Study on Tong detector with number of detection times constraint based on Markov chain[J].Journal of Astronautics,2011,32(8):1799-1804.

[8]Park H,Lee S.PN code acquisition technique with an adaptive dwell time in DS-SS system[C]∥23rd International Conference on Software,Telecommunications and Computer Networks,Split,Croatia,2015:341-345.

[9]謝崗.GPS原理與接收機(jī)設(shè)計(jì)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2009:286-287.

[10]Proakis J G.數(shù)字通信[M].4版.北京:電子工業(yè)出版社,2003:29-31.

[11]姚錚,崔曉偉,陸明泉,等.應(yīng)用于GPS接收機(jī)的序貫檢測器性能分析[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,47(7):1166-1169.Yao Zheng,Cui Xiao-wei,Lu Ming-quan,et al.Performance analysis of sequential detector for GPS receivers[J].Journal of Tsinghua University(Science and Technology),2007,47(7):1166-1169.

[12]李思超,葉甜春,徐建華.唐檢測器的駐留時(shí)間及檢測性能分析[J].電子測量技術(shù),2009,34(3):53-55.Li Si-chao,Ye Tian-chun,Xu Jian-hua.Analysis on resident time and detection performance of tong detector[J].Electronic Measurement Technology,2009,34(3):53-55.

[13]朱云龍,丑武勝,楊東凱.Tong檢測算法性能分析及參數(shù)設(shè)置[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2015,41(3):418-423.Zhu Yun-long,Chou Wu-sheng,Yang Dong-kai.Performance analysis and parameter setting for Tong detection algorithm[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2015,41(3):418-423.