基于新型線邊集成超市的周期性物料配送優(yōu)化

周炳海,徐佳惠,彭 濤

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海201804)

0 引 言

物料配送(Part feeding)占車輛生產(chǎn)成本的20%～50%[1]。如何設(shè)計(jì)高效、合理的物料配送系統(tǒng),對降低混流裝配線的生產(chǎn)成本具有重要意義。

許多國內(nèi)外學(xué)者對傳統(tǒng)送料機(jī)制,即線邊儲(chǔ)料(Line stocking)和成套供料(Kitting)進(jìn)行了廣泛的對比和研究[2,3],并指出不存在絕對的最優(yōu)機(jī)制,應(yīng)根據(jù)物料特性和實(shí)際生產(chǎn)環(huán)境選用不同送料機(jī)制才可有效降低系統(tǒng)配送總成本。近年來,研究焦點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)移為準(zhǔn)時(shí)化配送策略[4,5],即采用物料超市(Supermarket)替代傳統(tǒng)的中心倉庫存放物料,通過對多載量小車等送料設(shè)備的調(diào)度[6]實(shí)現(xiàn)物料的小批量多頻次配送。為充分結(jié)合傳統(tǒng)線邊儲(chǔ)料、成套供料以及準(zhǔn)時(shí)化配送策略的優(yōu)勢,降低系統(tǒng)總運(yùn)作成本,Boysen等[7]結(jié)合某德國汽車制造商的實(shí)際運(yùn)營情況,提出并介紹了“線邊集成超市”(Line-integrated supermarkets)的概念,但未對具體的物料配送調(diào)度問題進(jìn)行深入研究。Battini等[8]對廠內(nèi)物流進(jìn)行研究時(shí)也簡單提及了“魚骨型物流超市”(Fish bone supermarkets),即線邊集成超市,并說明了其可行性和潛在價(jià)值。

雖然基于線邊集成超市的物料配送有效利用當(dāng)前送料機(jī)制的優(yōu)勢、降低系統(tǒng)成本,但是目前尚未發(fā)現(xiàn)其他相關(guān)研究。為此,本文引入線邊集成超市的概念,研究送料工人與工位之間的合理配置問題,并對物料配送進(jìn)行調(diào)度決策,以最小化包括工人固定成本和物料配送成本的系統(tǒng)總運(yùn)作成本。對于小規(guī)模問題,結(jié)合問題的引理、定理建立嵌套啟發(fā)式動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法獲取精確解,并構(gòu)建改進(jìn)型和聲搜索算法(Modified harmony search algorithm,MHSA)求中大規(guī)模問題的滿意解。

1 問題描述

如圖1所示,為有效降低物料的線邊庫存,送料工人采用準(zhǔn)時(shí)化順序供應(yīng)(Just-in-sequence,JIS),即根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)計(jì)劃和裝配情況準(zhǔn)備并配送物料到對應(yīng)工位,并按需按序放置于JIS料箱,以滿足裝配需求。為明確物料配送任務(wù)、有效管理送料工人,本文將物料配送調(diào)度分解成兩個(gè)子問題:①送料工人與工位的分配問題P1,即確定各送料工人負(fù)責(zé)工位;②周期性配送問題P2,即確定送料工人的周期性配送時(shí)間間隔。

圖1 線邊集成超市物料配送系統(tǒng)Fig.1 Part feeding system with line-integrated supermarkets

為有效描述該配送系統(tǒng),作如下假設(shè):①采用節(jié)拍時(shí)間作為基本時(shí)間單位;②裝配線不允許發(fā)生缺料;③一個(gè)送料工人負(fù)責(zé)一個(gè)或多個(gè)連續(xù)工位;④送料工人對所負(fù)責(zé)的工位進(jìn)行周期性配送;⑤送料工人搬運(yùn)能力有限;⑥送料工人一旦從線邊超市出發(fā)送料,必須配送完所有物料后返回;⑦每個(gè)工位設(shè)一個(gè)JIS料箱,存放物料,其容量有限;⑧送料工人揀料、卸料時(shí)間,以及從線邊超市到工位的行走時(shí)間均為定值;⑨每個(gè)工位僅裝配一類物料,且僅考慮每個(gè)生產(chǎn)節(jié)拍內(nèi)的物料需求量;⑩生產(chǎn)系統(tǒng)為一個(gè)相對穩(wěn)定的系統(tǒng),不考慮不確定因素。

結(jié)合以上描述和假設(shè),定義如下問題參數(shù)和決策變量,并建立數(shù)學(xué)模型。

(1)參數(shù)與變量

設(shè)S為裝配工位集合,s＝1,2,…,;W為送料工人集合,w＝1,2,…,;P為待裝配車輛總數(shù),p＝1,2,…,P;T為系統(tǒng)生產(chǎn)節(jié)拍總數(shù),t＝1,2,…,T;ct為系統(tǒng)節(jié)拍時(shí)間;B s為工位s處JIS料箱的容量;為工位s在第t個(gè)生產(chǎn)節(jié)拍所需物料量;wt為送料工人從線邊超市到工位的行走時(shí)間;st為送料工人在兩連續(xù)工位間的行走時(shí)間;at w為送料工人w每次的分揀、裝卸物料時(shí)間;C w為第w個(gè)送料工人的搬運(yùn)能力;δw為第w個(gè)送料工人負(fù)責(zé)的最左邊工位編號(hào);T w為第w個(gè)送料工人的周期性配送時(shí)間間隔,且T w≥1;D w為第w個(gè)送料工人的單次送料時(shí)長,且D w＝at w＋2·[wt＋st·(δw＋1－1－δw)];R w為第w個(gè)送料工人的送料次數(shù),r＝1,2,…,R w;為第w個(gè)送料工人第r次配送的物料量;F w為第w個(gè)送料工人的固定成本;u為單位物料單位時(shí)間的搬運(yùn)成本。

(2)數(shù)學(xué)模型

式(1)～(4)以最小化送料工人數(shù)為目標(biāo)求解問題P1。其中,式(2)(3)表示各送料工人至少負(fù)責(zé)1個(gè)工位,且負(fù)責(zé)的工位不重復(fù)。式(4)為終止條件,均為虛擬值,不計(jì)入目標(biāo)函數(shù)。此外,為有效應(yīng)對問題P2,即減少物料配送等非增值活動(dòng)的成本,建立以最小化單位物料配送的最大時(shí)間為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型,如式(5)所示。式(6)(7)為配送量約束,即應(yīng)滿足裝配過程不發(fā)生缺料。式(8)(9)分別為送料工人能力和JIS料箱容量約束。式(10)表明送料工人周期性配送時(shí)間間隔不得小于其固定的送料時(shí)長。

顯然,兩個(gè)子問題相互關(guān)聯(lián):工位分配問題確定送料工人數(shù)和負(fù)責(zé)工位(W,δw),其作為問題P2的已知參數(shù);相應(yīng)地,只有求出每個(gè)工人的周期性配送時(shí)間才可明確工人數(shù)是否滿足要求,工位分配問題是否合理、可行?；趦烧叩年P(guān)聯(lián)性,結(jié)合式(1)(5)建立總目標(biāo)函數(shù)(11)進(jìn)行求解,其代表最小化包括工人固定成本和物料配送成本的系統(tǒng)總成本,式中“?”表示相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。函數(shù)(11)應(yīng)滿足約束(2)(3)(4)、(6)～(10)。

2 算法構(gòu)建

2.1 引理和定理

引理1 若送料工人w負(fù)責(zé)工位m,…,n的物料配送,且周期性配送時(shí)間和次數(shù)分別為T w和R w,則當(dāng)時(shí),Z2(T w)取最小值。

證明 若工人w負(fù)責(zé)工位m,…,n,則D w為定值。取最小值時(shí),則Z(T)取得最小值。根據(jù)2w數(shù)學(xué)不等式性質(zhì)可得:

定理2 送料工人w負(fù)責(zé)工位m,…,n,若存在可行周期性配送時(shí)間,對應(yīng)配送次數(shù)X、Y,且a i、b j(i＝1,2,…,X;j＝1,2,…,Y)分別表示每次配送的量,則當(dāng),即X＜Y時(shí),。

證明 根據(jù)引理1可得:

2.2 嵌套啟發(fā)式動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法

根據(jù)模型P1,需決策每個(gè)工人w負(fù)責(zé)的最左邊工位,繼而可知其負(fù)責(zé)的所有工位。故將決策過程劃分為個(gè)階段,每階段表示一個(gè)工位,i＝1,2,…,為終止階段。每階段的狀態(tài)亦為i,表示工人負(fù)責(zé)的最左邊工位,從狀態(tài)i到狀態(tài)j,即表示w負(fù)責(zé)工位i,…,(j－1),從1到依次進(jìn)行前向遞歸,并計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值的變化:

式中:“?”為i,…,(j－1)工位周期性配送問題最優(yōu)解。

用H(i)表示從工位1到i的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值,則:

Step1 計(jì)算工位s(s＝i,…,j－1)最少配送次數(shù):,取。

Step2 計(jì)算該子區(qū)域i,…,(j－1)最少配送次數(shù):。

Step3 根據(jù)Step1和Step2確定w最少配送次數(shù)。

Step4 計(jì)算w配送次數(shù),相應(yīng)周期時(shí)間。

2.3 改進(jìn)型和聲搜索算法

為了有效求解中、大規(guī)模問題,引入和聲搜索算法(Harmony search,HS),該算法原理簡單、控制參數(shù)少、收斂速度快,且文獻(xiàn)[9]證明了其解決離散問題時(shí)的全局收斂性,已成功應(yīng)用于各類非線性優(yōu)化問題[10]。然而,HS算法仍存在搜索后期收斂較慢、局部探索能力差、易陷入局部最優(yōu)等缺陷。因此,提出了一種改進(jìn)型和聲搜索算法MHSA,基本流程如下。

Step1 參數(shù)初始化。給定和聲記憶庫大小HMS、精度ε、最大迭代次數(shù)SNI及參數(shù)HMCR,PAR。

Step2 初始化和聲記憶庫。結(jié)合約束(2)(3)(4),隨機(jī)產(chǎn)生H MS個(gè)和聲,存入記憶庫。

Step3 按照和聲長度(即所需工人數(shù))將和聲記憶庫分解成為若干個(gè)子和聲記憶庫。

Step4 對于每個(gè)子和聲記憶庫,基于HMCR、PAR進(jìn)行即興創(chuàng)作,產(chǎn)生新的和聲向量。

Step5 更新子和聲記憶庫,即判斷新和聲向量是否優(yōu)于當(dāng)前子和聲記憶庫中最差和聲。

Step6 判斷子和聲記憶庫終止準(zhǔn)則,若當(dāng)前迭代次數(shù)sk大于最大迭代次數(shù)SNI,則合并所有子和聲記憶庫構(gòu)成新的和聲記憶庫,否則重復(fù)Step4、Step5。

Step7 對記憶庫最差和聲向量X w1、X w2進(jìn)行交叉、變異形成新和聲X′、X″,并更新和聲記憶庫。

Step8 判斷終止準(zhǔn)則。若任兩個(gè)和聲對應(yīng)目標(biāo)值之差均小于精度ε,終止算法,否則重復(fù)Step3～Step7。

2.3.1和聲編碼方式

和聲向量X i采用變長雙層編碼方式[11],i＝1,2,…,HMS。由編碼長度可得所需送料工人數(shù),即。第一層為工位層,代表各工人負(fù)責(zé)的最左邊工位δw。根據(jù)約束(2)(3)(4)可知其以1開始,以結(jié)束,且升序排列。第二層為時(shí)間層,代表工人配送時(shí)間間隔T w。圖2所示為以上算例的兩個(gè)和聲編碼示意圖。其中,X1即為最優(yōu)解,可行解X2表示由5個(gè)工人分別負(fù)責(zé)1個(gè)工位,且其對應(yīng)配送時(shí)間間隔分別為5、5、2、2、5個(gè)周期。

圖2 和聲編碼示意圖Fig.2 Diagram of encoded mode for harmony vector

2.3.2 初始化和聲記憶庫

給定S,則和聲的最大長度;根據(jù)定理1計(jì)算最少送料工人數(shù),則。因此,和聲X i(i＝1,2,…,H MS)的長度范圍為[Lenmin,Lenmax]。分別用1,2表示和聲X i第一、二層編碼的第j列,。為生成初始可行解,結(jié)合約束(2)(3)(4)隨機(jī)生成HMS個(gè)和聲,?i＝1,2,…,H MS,和聲X i滿足:

根據(jù)和聲X i計(jì)算對應(yīng)函數(shù)值f(X i),一并存入和聲記憶庫HM,即實(shí)現(xiàn)和聲記憶庫的初始化。

2.3.3 子和聲記憶庫操作

Chen等[12]指出,對于中等規(guī)模的問題,通常采用較小的HM優(yōu)于較大的HM,即應(yīng)該設(shè)置較小的H MS。因此,本文將HM按照和聲長度Len i劃分成大小不同的若干子和聲記憶庫Sub-HM。對于每個(gè)Sub-HM,為防止算法過早收斂、陷入局部最優(yōu),結(jié)合參數(shù)H MCR、PAR等創(chuàng)作新和聲,并不斷更新Sub-HM。

對于每個(gè)Sub-HM,新和聲Xnew以HMCR概率繼承現(xiàn)有Sub-HM中和聲,并以PAR概率進(jìn)行微調(diào)。由于編碼的特殊性,結(jié)合定理3,對Xnew進(jìn)行鄰域搜索。新和聲Xnew以(1－HMCR)的概率進(jìn)行創(chuàng)作,不同于HS中按定義域隨機(jī)生成,本文采用輪盤賭算法從Sub-HM中選取兩個(gè)和聲X a、X b,并引入比例系數(shù)α生成新和聲元素1。為進(jìn)一步加快算法收斂速度,求得較優(yōu)解,沿用2.2中的啟發(fā)式算法求2。最后,計(jì)算新和聲Xnew和最差和聲Xworst對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值f(Xnew)和f(Xworst),并比較、更新Sub-HM。

2.3.4 更新和聲記憶庫

為進(jìn)一步增加和聲多樣性并改善解質(zhì)量,對于重組后HM中的和聲進(jìn)行交叉、變異操作,具體流程如下。

(1)交叉操作

給定交叉概率P c,根據(jù)

選取兩個(gè)和聲X w1,X w2,若rand(0,1)＜P c,則:

Step1 隨機(jī)選取X w1、X w2的交叉點(diǎn)C1、C2,記,則新和聲X′、X″長度分別為L′＝C1＋L2－C2,L″＝C2＋L1－C1。

Step2 若1,轉(zhuǎn)Step3,否則轉(zhuǎn)Step4。

Step3對X w1、X w2在C1、C2處交叉,結(jié)合2.2節(jié)中Step1～Step 5求相應(yīng)2X′j、2X″j,形成新和聲X′、X″,并求f(X′),f(X″)。

Step4 重新生成交叉點(diǎn)C2,并轉(zhuǎn)Step3。

Step5 和聲X w1、X w2交叉結(jié)束。

如圖3所示,分別選取X1、X2(L1＝3,L2＝6)的交叉點(diǎn)C1＝2,C2＝4,按照Step2和Step3進(jìn)行交叉,并重新計(jì)算周期性配送時(shí)間,得到兩個(gè)長度分別為L′1＝4,L′2＝5的新和聲X1′、X2′。

圖3 交叉操作示意圖Fig.3 Diagram of crossover operation

(2)變異操作

和聲X w1、X w2經(jīng)交叉后變?yōu)閄′、X″,若f(X′)＜f(X w1)f(X″)＜f(X w2),則X w1←X′,X w2←X″;否則記Xchng為待變異和聲,引入變異概率P m,若rand(0,1)＜P m,進(jìn)行如下操作:

Step2 結(jié)合約束(3)進(jìn)行隨機(jī)變異:1,并根據(jù)2.3.3節(jié)中Step1～Step5求相應(yīng)2,形成鄰域解Xchng。

Step3 計(jì)算f(Xchng),若f(Xchng)＜f(X w1),則X w1←Xchng,否則轉(zhuǎn)Step1。

Step4 和聲Xchng變異結(jié)束。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為評價(jià)該線邊集成超市物料配送系統(tǒng)及MHSA算法,結(jié)合文獻(xiàn)[5]生成如下實(shí)驗(yàn)參數(shù)。該混流裝配線生產(chǎn)多種車型,工位s(s∈S)在周期t＝1,2,…,T所需物料,即采用(0,3)的均勻分布,表示就近取整,同理。系統(tǒng)節(jié)拍時(shí)間ct＝100s,且st＝0.1ct,wt＝0.2ct,at w＝0.3ct。分別取不同的和T組合,每種組合運(yùn)行20次并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

3.1 有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證MHSA的有效性,將其與嵌套啟發(fā)式動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)行比較,其計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)限設(shè)置為1800 s,若求解超過時(shí)限,即視為中大規(guī)模問題,無法求得最優(yōu)解。表1為小規(guī)模問題參數(shù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其中,MHSA方法的相關(guān)參數(shù)如HMCR、PAR參見文獻(xiàn)[9]推薦值,初始和聲記憶庫大小為HMS＝2·|S|。動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求得最優(yōu)解,MHSA運(yùn)行20次后取平均值,由表1可知,其與最優(yōu)解的偏差Gap均小于5%,即可得到滿意解,驗(yàn)證了該算法的有效性。同時(shí),隨著問題規(guī)模擴(kuò)大,偏差減小,表明隨著問題規(guī)模擴(kuò)大,MHSA的記憶庫擴(kuò)大,和聲多樣性增加,避免局部最優(yōu),因此,MHSA適用于求解中大規(guī)模的問題。

表1 小規(guī)模問題的實(shí)驗(yàn)參數(shù)和結(jié)果Table 1 Parameters and results of small scale problems

3.2 算法比較

3.2.1 比較MHSA、ACO和SA

MHSA模擬音樂家創(chuàng)作優(yōu)美和聲的過程,將其與其他模擬自然現(xiàn)象的優(yōu)化算法進(jìn)行比較,包括蟻群算法(Ant colony optimization,ACO)和模擬退火算法(Simulated annealing,SA)。問題規(guī)模和結(jié)果如表2所示。

表2 MHSA、ACO和SA的結(jié)果比較Table 2 Experimental results of MHSA,ACO&SA

由表2可知,隨著問題規(guī)模T和的擴(kuò)大,MHSA算法的尋優(yōu)能力優(yōu)于ACO和SA等優(yōu)化算法。尤其在較大規(guī)模情況下(T≥100,),ACO和SA與MHSA的目標(biāo)函數(shù)值Gap均超過5%,MHSA算法深度的搜索能力更為突出,一定程度上驗(yàn)證了MHSA算法處理中大規(guī)模問題時(shí)的有效性。

圖4 算法收斂性能比較Fig.4 Convergence performance of algorithms

圖4(a)(b)分別為MHSA、ACO和SA算法在T＝20,時(shí)的收斂曲線。由圖4(a)可知,在問題規(guī)模較小時(shí),MHSA、ACO均能快速收斂;而隨著問題規(guī)模的擴(kuò)大,本文提出的子和聲記憶庫操作加快算法的收斂速度,結(jié)合交叉變異等操作擴(kuò)大鄰域搜索范圍,避免陷入局部最優(yōu),使MHSA明顯優(yōu)于ACO和SA算法,如圖4(b)所示。

3.2.2 比較MHSA、IHS、GHS和NGHS

為進(jìn)一步說明MHSA算法可有效避免或減少HS算法早熟收斂、易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn),如圖5所示,將其與目前引用較廣泛的IHS[13]、GHS[14]和NGHS[15]進(jìn)行對比。

圖5 MHSA、IHS、GHS和NGHS結(jié)果比較Fig.5 Experimental results of MHSA,IHS,GHSand NGHS

3.2.3 參數(shù)分析

為最小化線邊超市供料系統(tǒng)的運(yùn)行成本,必須找到一個(gè)平衡點(diǎn),使送料工人的雇傭成本與物料配送成本之和最小,根據(jù)式(11)可知,其受參數(shù)F w和u影響。令問題規(guī)模T＝20,,參數(shù)u＝1保持不變,F w分別取0,100,200,…,1000,則F w/u對目標(biāo)函數(shù)值的影響如圖6所示。由圖可知,隨著F w/u線性遞增,對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值也基本呈線性遞增,斜率約為7.54,即所需的平均送料工人數(shù);截距約為6028.54,即物料配送成本。

圖6 F w/u對目標(biāo)函數(shù)值的影響Fig.6 Effect of F w/u on objectives

根據(jù)以上分析可知,F w/u的變化主要影響送料工人數(shù)量。取F w/u∈[0,3000],令T＝20,分別取為20,40,…,120,則相應(yīng)的工人數(shù)隨F w/u變化的情況如圖7所示,其中,圖7(b)為圖7(a)在YOZ平面投影。由圖7可知,當(dāng)生產(chǎn)周期數(shù)T一定時(shí),隨著增加,所需工人數(shù)增加。對任意給定隨F w/u的增加而減少,且減少到一定程度(約|S|/2,即平均1個(gè)工人負(fù)責(zé)2個(gè)工位)后保持不變,即得到該T、|S|情形下滿足所有約束條件的最小工人數(shù),此時(shí)增加F w/u僅對目標(biāo)函數(shù)有影響,對無影響。

圖7 F w/u對送料工人數(shù)量的影響Fig.7 Effect of F w/u on number of logistics operators

4 結(jié)束語

本文將新型線邊集成超市物料配送分解為工位分配和周期性配送調(diào)度問題進(jìn)行研究,并以最小化送料工人固定成本和物料的配送成本為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。針對該關(guān)聯(lián)問題,提出相應(yīng)的引理、定理,并建立嵌套啟發(fā)式動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法以獲取小規(guī)模問題的精確解;對于中大規(guī)模問題,構(gòu)建了改進(jìn)型和聲搜索算法(MHSA)獲取滿意解。最后,通過仿真實(shí)驗(yàn)與其他模擬算法或改進(jìn)算法進(jìn)行對比,驗(yàn)證了MHSA的可行性和有效性。后續(xù)為提升工人的利用率,將對一組送料工人共同負(fù)責(zé)一個(gè)裝配區(qū)域的情況進(jìn)行研究。

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