最近鄰移動模式下的Lanchester作戰(zhàn)動力學(xué)研究

崔怡望，田寶國，王 棟

(海軍航空工程學(xué)院 a.研究生管理大隊； b.基礎(chǔ)部， 山東 煙臺 264001)

Lanchester方程于1914年被提出[1]，是描述空戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型，國內(nèi)外研究者在該模型基礎(chǔ)上進行了大量研究[2-4]，研究者普遍認為Lanchester作戰(zhàn)法則——線性律和平方律已經(jīng)過時，不能用來解釋說明現(xiàn)代戰(zhàn)爭，原因在于現(xiàn)代戰(zhàn)爭的進程和結(jié)果很大程度上依賴于復(fù)雜的環(huán)境、士兵能力以及戰(zhàn)術(shù)策略等綜合因素，于是有些學(xué)者在原有常微分方程的基礎(chǔ)上進一步深入研究，引入了空間因素。Lauren等使用元胞自動機模型對Lanchester作戰(zhàn)的時空動力學(xué)[5-13]進行了研究，他們通過建立有分形特征的作戰(zhàn)方程解釋特定環(huán)境下作戰(zhàn)兵力采用分散式、游擊戰(zhàn)式或群集式策略的有效性。Ilachinski對早期的智能體作戰(zhàn)模型進行了研究[14-16]，隨著21世紀的到來，無人機、機器人以及網(wǎng)絡(luò)通訊技術(shù)、傳感器的迅速推廣和使用，智能體模型在經(jīng)濟、社會、軍事等領(lǐng)域的研究呈爆發(fā)式發(fā)展[17-22]，并具有巨大的應(yīng)用價值與發(fā)展前景。Protopopescu等人解決了軍隊通過戰(zhàn)斗空間的運動模擬問題[23-24]，將Lanchester常微分方程形式擴展到了偏微分方程形式，對部隊行進過程中的擴散效應(yīng)和作戰(zhàn)雙方之間不同的相互作用等造成的影響進行了研究。后來Gonzalez、Spradlin、Keane等人用偏微分方程分別研究了作戰(zhàn)雙方在整個戰(zhàn)斗區(qū)域里的運動或者擴散效應(yīng)以及更為復(fù)雜的時空演化動力學(xué)[25-32]，已成為Lanchester作戰(zhàn)模型研究的新發(fā)展方向。

已有研究中的Lanchester作戰(zhàn)模型都沒有考慮作戰(zhàn)個體的移動模式，為了能更好地解釋上述問題，本文運用隨機點陣模擬方法，研究了最近鄰移動模式下的Lanchester作戰(zhàn)時空動力學(xué)。

1 模型

首先建立模型，模擬環(huán)境為規(guī)模100×100的平面網(wǎng)格，采用周期邊界條件。二維平面網(wǎng)格上中的每一個位置由紅、藍雙方個體A、B占有，規(guī)定每一位置最多有一個個體，若某位置上沒有紅、藍個體，則用空位置φ表示。作戰(zhàn)雙方個體A、B以及空位置φ之間的關(guān)系如下：

(1)

(2)

式(1)、式(2)中：e為交換速率，表示雙方個體的宏觀流動性；μ為消滅增援速率，體現(xiàn)的是雙方個體的戰(zhàn)斗力與增援能力。為簡明起見，規(guī)定所有作戰(zhàn)個體的移動模式均為最近鄰移動模式，此模式指的是作戰(zhàn)個體每次僅能移動到與其最近鄰的空間位置，如在本文工作中，每個個體每次僅能移動到與其最近鄰的上、下、左、右4個空位置處；進一步假定所有作戰(zhàn)個體使用武器的平均有效殺傷范圍也是最近鄰模式，例如使用某種輕武器的步兵大致具有這兩個特點。

上述模型所描述的是平面網(wǎng)格上大量個體按照式(1)、式(2)發(fā)生相互作用的隨機過程，根據(jù)Durrett[33]、Reichenbach[34]等學(xué)者運用隨機模擬方法對平面網(wǎng)格上隨機的循環(huán)博弈過程等所進行的卓有成效研究，本文采用相同的隨機模擬方法進行Monte Carlo模擬，具體步驟為：首先隨機選擇某一個位置的個體，再從其上、下、左、右最近鄰4個位置處的個體中隨機選擇一個，隨之發(fā)生式(1)、式(2)所表示的相互作用。紅、藍個體間的相互作用行為如圖1 (a)～圖1(e)所示。

圖1 紅、藍方相互作用行為示意圖

2 隨機模擬

2.1 消滅增援率——交換率臨界曲線

在隨機點陣模擬過程中，紅方A、藍方B與空位置φ的初始分布比例大致為3∶3∶4，且為均勻隨機分布。消滅增援率μ和交換率e為可調(diào)參量。調(diào)整交換率和消滅增援率等參量，觀察紅、藍雙方的動態(tài)戰(zhàn)斗與斑圖演化過程。在隨機點陣模擬過程中，當(dāng)模擬代數(shù)等于10 000時，若紅、藍雙方均存在，定義為穩(wěn)定共存狀態(tài)；若紅、藍雙方中的其中一方被消滅，定義為非穩(wěn)定共存狀態(tài)。

調(diào)整消滅增援速率μ、交換速率e的值，分別進行隨機模擬，通過模擬得到穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存的臨界曲線，如圖2所示，兩臨界曲線及其中間所夾區(qū)域為紅、藍雙方非穩(wěn)定共存的參量區(qū)域，其他參量區(qū)域?qū)?yīng)于紅、藍雙方穩(wěn)定共存狀態(tài)。

圖2 最近鄰移動模式下的消滅增援率——交換率臨界曲線

2.2 消滅增援速率自左向右呈梯度變化

圖3(a)～圖3(d)分別為消滅增援速率呈梯度變化時，隨機點陣模擬到5 000代、7 000代、9 000代、11 000代時的斑圖。

圖3 消滅增援速率呈梯度變化時的斑圖

然后，改變消滅增援速率為無梯度變化，其他條件保持不變，選取隨機模擬到相同代數(shù)下的斑圖與之進行對比。相同條件下，消滅增援速率無梯度變化時斑圖演化如下：

觀察圖3和圖4，對比消滅增援速率有無梯度變化時的斑圖演化過程，發(fā)現(xiàn)：交換速率等參數(shù)均相同的條件下，當(dāng)消滅增援速率呈梯度變化情況時，二維網(wǎng)格中右邊位置的個體更容易消滅其左邊位置的個體，特別是在形成穩(wěn)定的斑圖之后，觀察效果更加明顯，斑圖中呈現(xiàn)右邊斑塊逐漸吞蝕左邊斑塊的趨勢，即右邊斑塊呈逐漸向左擴散趨勢；而當(dāng)消滅增援速率無梯度變化時，斑塊有擴散現(xiàn)象，但其擴散方向無明顯趨勢，沒有發(fā)現(xiàn)上述規(guī)律。

分析造成上述現(xiàn)象的原因：消滅增援速率呈梯度變化時，二維網(wǎng)格自左向右消滅增援速率逐漸增大，而消滅增援速率代表個體間戰(zhàn)斗力的強弱，當(dāng)左、右兩個體相遇時，右邊個體戰(zhàn)斗力更強，更易消滅左邊個體，所以當(dāng)形成穩(wěn)定斑塊之后，右邊斑塊更易消滅左邊斑塊，相反，左邊斑塊更易被吞蝕，斑塊整體上呈向左擴散趨勢；而當(dāng)消滅增援速率無梯度變化時，二維網(wǎng)格中每個位置上的消滅增援速率是相等的，即每個個體戰(zhàn)斗力相同，消滅對方的概率也相同，所以，當(dāng)斑圖形成穩(wěn)定斑塊之后，每個斑塊向上、下、左、右4個方向擴散的概率是均等的，擴散方向無明顯趨勢。

對應(yīng)上述斑圖中參數(shù)，隨機點陣模擬每隔100代計算一次雙方密度，統(tǒng)計前50 000代內(nèi)雙方密度，得到消滅增援速率有無梯度變化情況下的雙方密度時間序列曲線如圖5、圖6所示。

圖4 消滅增援速率無梯度變化時的斑圖

圖5 消滅增援速率呈梯度變化時密度時間曲線

圖6 消滅增援速率無梯度變化時密度時間曲線

觀察圖5和圖6，兩種情況下雙方均能保持穩(wěn)定共存狀態(tài)，但穩(wěn)定共存代數(shù)有差別，發(fā)現(xiàn)消滅增援速率呈梯度變化時，雙方穩(wěn)定共存時間較短。為了排除實驗的隨機性，兩種情況對應(yīng)參數(shù)下，各隨機模擬100次，記錄雙方穩(wěn)定共存代數(shù)，并取平均值，得到結(jié)果：消滅增援速率無梯度變化情況下，當(dāng)其值取最小基礎(chǔ)值μ=1，交換速率取e=0.000 1時，穩(wěn)定共存代數(shù)為60 698代；當(dāng)其值取其梯度變化過程中的最大值μ=2時，穩(wěn)定共存代數(shù)為54 341代。而當(dāng)消滅增援速率呈梯度變化時，穩(wěn)定共存代數(shù)為73 766代。對結(jié)果進行分析，消滅增援速率呈梯度變化時反而影響了雙方個體間的相互作用，延長了雙方共存時間，呈梯度變化造成雙方穩(wěn)定共存時間更長。

2.3 交換速率自左向右呈梯度變化

圖7(a)～圖7(d)分別是交換速率呈梯度變化時，隨機點陣模擬到24 010代、24 020代、24 030代、24 040代的斑圖。

圖7 交換速率呈梯度變化時的斑圖

然后，改變交換速率為無梯度變化，其他條件保持不變(μ=1、e=0.01)，選取隨機模擬到相同代數(shù)下的斑圖與之進行對比。相同條件下，交換速率無梯度變化時斑圖演化如下：

隨機模擬過程中，選取模擬代數(shù)間隔為10代，主要是考慮到交換速率對雙方個體的流動性影響較大，不同交換速率情況下，斑圖變化較快，如果模擬代數(shù)間隔較大，不易觀察到斑圖的細微變化，遂將隨機模擬代數(shù)間隔取為10代。觀察圖7和圖8，對比消滅增援速率有無梯度變化時的斑圖演化過程，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)交換速率呈梯度變化時，紅、藍作戰(zhàn)雙方發(fā)生相互作用并形成穩(wěn)定斑塊之后，紅、藍交界處發(fā)生相互擴散現(xiàn)象，造成紅、藍斑塊交界處零散混亂，小斑點較多，斑塊邊緣模糊；而當(dāng)交換速率無梯度變化時，穩(wěn)定斑塊形成后，紅、藍邊界清晰、整齊，無斑點散亂現(xiàn)象出現(xiàn)。

圖8 交換速率無梯度變化時密度時間曲線

分析造成上述現(xiàn)象的原因：當(dāng)交換速率呈梯度變化時，二維平面網(wǎng)格中，按照位置自左向右交換速率依次增大，造成的結(jié)果是右邊個體流動性較強，雖然斑塊內(nèi)部個體發(fā)生移動對斑塊影響不明顯，斑塊內(nèi)部觀察不到明顯變化，但是斑塊邊界處即紅藍斑塊交界處右邊紅方或者是藍方個體更易與左邊的空格發(fā)生交換，同理，右邊的空格也會與左邊紅方或藍方個體發(fā)生交換，從而導(dǎo)致雙方個體擴散到敵方斑塊當(dāng)中，由于雙方個體消滅增援速率相同，各個位置上的消滅增援速率也相同，當(dāng)斑點擴散到斑塊當(dāng)中后，被周圍敵方消滅或者擴散侵蝕敵方個體形成較大斑塊，最終導(dǎo)致的結(jié)果就是紅藍斑塊邊界模糊，交界處斑點混亂；當(dāng)交換速率無梯度變化時，二維網(wǎng)格中各個位置交換速率相同，邊界處界線明顯，無散亂斑點出現(xiàn)。

在隨機點陣模擬過程中，還發(fā)現(xiàn)：交換速率呈梯度變化時，基本上不能形成較大的穩(wěn)定斑塊，即使形成，也會很快被敵方個體的擴散破壞，從而變?yōu)檩^為松散零碎的小斑塊，紅、藍雙方個體分布較為混亂。分析其原因：各個位置交換速率的不同造成對斑圖的整體流動性影響較大，從而造成斑圖不穩(wěn)定，極易改變。

對應(yīng)上面斑圖中的參量，隨機點陣模擬每隔100代計算一次雙方密度，統(tǒng)計前50 000代雙方密度，得到交換速率有無梯度變化情況下，雙方密度時間序列曲線如圖9、圖10所示。

圖9 交換速率呈梯度變化時密度時間曲線

圖10 交換速率無梯度變化時密度時間曲線

3 戰(zhàn)術(shù)組合

考慮到人為因素的影響，對最近鄰移動模式下，紅、藍雙方有戰(zhàn)術(shù)組合“二對一”，均無戰(zhàn)術(shù)組合以及僅一方有戰(zhàn)術(shù)組合“二對一”3種情況進行了研究。

3.1 紅、藍雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合

紅、藍雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合的情況：紅、藍雙方個體A、B和空格φ之間的關(guān)系如下：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式(3)、式(4)是“一對一”的情況，紅、藍個體的消滅增援速率均為k1，交換速率為e；式(5)、式(6)、式(7)是兩個紅方個體對一個藍方個體的情況，藍方個體被消滅，且在原藍方個體位置增援一個紅方個體的速率為k2，兩個紅方個體中有一個個體被消滅，且在被消滅紅方個體位置增援一個藍方個體的速率為k3，兩個紅方個體均被消滅，且在被消滅位置上增援兩個藍方個體的速率為k4，同理，式(8)、式(9)、式(10)是兩個藍方個體對一個紅方個體的情況。

隨機點陣模擬過程中，對應(yīng)各個參量值為：k1=e=1，k2=k5=2.2，k3=k6=0.4，k4=k7=0.2，模擬過程中選取如下斑圖進行觀察和分析。

圖11(a)和圖11(b)分別為雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，隨機點陣模擬到10 500代、17 500代時所得斑圖，觀察整個斑圖演化過程，發(fā)現(xiàn)：斑圖中斑塊形成速度較快，當(dāng)模擬到500代時已經(jīng)形成了較為穩(wěn)定的大斑塊，且紅、藍斑塊中間分界線清晰，無混亂小斑點，隨機點陣模擬到4 000代時，整個斑圖分為紅、藍兩個大斑塊，紅、藍雙方個體完全分離，整個模擬過程中，斑圖在形成穩(wěn)定斑塊后，隨時間整體上變化較慢，藍方個體通過紅、藍斑塊的分界線緩慢向紅方斑塊擴散，造成藍方數(shù)量逐漸增加，紅方數(shù)量逐漸減小，藍方斑塊吞蝕紅方斑塊的過程中，紅、藍斑塊邊界明顯，無混亂小斑點出現(xiàn)。

圖11 雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合時的斑圖

相同參數(shù)下，重復(fù)模擬多次，發(fā)現(xiàn)紅、藍勝負各半，斑圖演化過程規(guī)律相同，結(jié)論一致。模擬過程中統(tǒng)計前100 000代內(nèi)雙方的密度，得到雙方密度時間序列曲線如圖12。

然后，保持k1、e、k3、k4、k6、k7的取值不變，增大k2、k5的值，依然保持k2=k5，調(diào)整k2=k5=3，單獨研究參數(shù)k2、k5對斑圖演化的影響，模擬過程中選取如下斑圖進行分析。

圖12中，(1)和(2)分別是當(dāng)k2=k5=3時，隨機點陣模擬到4 000代、11 000代時所得的斑圖，斑圖中斑塊規(guī)模對應(yīng)的是雙方數(shù)量，(3)和(4)代數(shù)間隔為7 000代，紅、藍斑塊大小變化大，而圖11中，(1)和(2)代數(shù)間隔同樣為7 000代，紅、藍斑塊大小變化并不明顯，雙方數(shù)量變化小，說明當(dāng)穩(wěn)定斑圖形成后，k2、k5的值越大，相同時間內(nèi)斑圖中的斑塊變化越大，即雙方數(shù)量隨時間變化越快，從而造成雙方穩(wěn)定共存時間越來越短。圖14對應(yīng)上面斑圖參數(shù)下的雙方密度時間序列曲線，與圖12相比，明顯觀察到雙方穩(wěn)定共存時間縮短。改變對應(yīng)參數(shù)的取值，對多組不同參數(shù)情況進行相同操作，隨機模擬結(jié)果均與上述結(jié)論一致。

圖12 雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合時的密度時間序列曲線

圖13 雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合時的斑圖(k2=k5=3)

圖14 雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合時的密度時間序列曲線(k2=k5=3)

調(diào)整參數(shù)，對不同參數(shù)下的各種情況進行隨機模擬，分別單獨研究了參數(shù)k3、k6和k4、k7對斑圖演化的影響，總結(jié)如下：保持k1、e、k2、k5的取值不變，分別單獨增大k3、k6和k4、k7的值，但依然保持k3=k6，k4=k7，發(fā)現(xiàn)k3、k6和k4、k7值的增大會改變斑圖中斑塊的形狀和規(guī)模大小，影響雙方穩(wěn)定共存時間；其值越大，穩(wěn)定共存時間越長。

3.2 紅、藍雙方均無戰(zhàn)術(shù)組合

為了與有戰(zhàn)術(shù)組合情況形成對比，令消滅增援速率為μ=1，交換速率為e=1，選取相同參數(shù)下無戰(zhàn)術(shù)組合時的斑圖如下：

圖15(a)和圖15(b)分別為雙方均無戰(zhàn)術(shù)組合情況下，隨機點陣模擬到500代、1 000代時所得斑圖，通過觀察斑圖演化過程，與有戰(zhàn)術(shù)組合情況相比：當(dāng)模擬到500代時，雖然斑圖中斑塊已經(jīng)形成，但極不穩(wěn)定，隨時間變化大，間隔500代，當(dāng)模擬到1 000代時，斑圖又變?yōu)榱硗庖环N情況，且紅、藍斑塊分界處小斑點較多，斑圖整體上較為混亂，且紅、藍雙方個體擴散方向不固定，向各個方向均有擴散，大斑塊中夾雜著敵方小斑點，與相同參數(shù)下的有戰(zhàn)術(shù)組合情況下的斑圖相比，整個斑圖中斑塊不集中；而有戰(zhàn)術(shù)組合時，整個斑圖分為紅、藍兩個大斑塊，紅、藍雙方個體完全分離，整個模擬過程中，斑圖在形成穩(wěn)定斑塊后，隨時間整體上變化較慢，藍方個體通過紅、藍斑塊的分界線緩慢向紅方斑塊擴散，造成藍方數(shù)量逐漸增加，紅方數(shù)量逐漸減小。相同參數(shù)下，重復(fù)模擬多次，發(fā)現(xiàn)紅、藍勝負各半，斑圖演化過程規(guī)律相同，結(jié)論一致，雙方密度時間序列曲線如圖15、圖16。

圖15 雙方無戰(zhàn)術(shù)組合時的斑圖

觀察圖15和圖16，雙方個體有無戰(zhàn)術(shù)組合這兩種情況下，雙方均能保持穩(wěn)定共存狀態(tài)，但穩(wěn)定共存代數(shù)有所差異，對有無戰(zhàn)術(shù)組合兩種情況進行隨機模擬100次，得到結(jié)果：有戰(zhàn)術(shù)組合時，雙方穩(wěn)定共存代數(shù)為46388代；無戰(zhàn)術(shù)組合時，穩(wěn)定共存代數(shù)為41 387代。由此可見，相同條件下，戰(zhàn)術(shù)組合影響雙方相互作用時間，戰(zhàn)場上可以通過添加控制條件，改變戰(zhàn)術(shù)，從而得到對自己有利的結(jié)果。

圖16 雙方無戰(zhàn)術(shù)組合時的密度時間序列曲線

3.3 僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合

僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，紅、藍雙方個體A、B和空格φ之間的關(guān)系僅滿足式(3)、式(4)、式(5)、式(6)、式(7)，令參數(shù)k5=k6=k7=0，對應(yīng)有戰(zhàn)術(shù)組合情況下的參數(shù)，其他參數(shù)保持不變，通過觀察模擬過程中的斑圖演化，發(fā)現(xiàn)雙方共存時間大約為100代左右，紅方很快就將藍方完全消滅了。具體選取如下斑圖進行分析。

圖17(a)和圖17(b)分別是僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，隨機點陣模擬到10代、20代時所得斑圖，觀察斑圖發(fā)現(xiàn)，紅、藍雙方數(shù)量變化速度快，僅僅間隔10代，紅方數(shù)量劇增，藍方數(shù)量劇減，直到藍方被完全消滅。對應(yīng)上面斑圖中的參量，雙方密度時間序列曲線如圖18，圖18中清楚地觀察隨機點陣模擬到100代左右，藍方被全部消滅。隨機模擬100次，得到僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，k5=k6=k7=0，k2=2.2，k3=0.4，k4=0.2時，雙方共存代數(shù)為109代。

圖17 僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合時的斑圖

圖18 僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合時的密度時間序列曲線

選取多組不同的參數(shù)，對各種不同情況進行隨機點陣模擬，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)參數(shù)k5=k6=k7=0且保持不變的情況下，控制參數(shù)k2的值適當(dāng)減小，k3和k4的值適當(dāng)增大時，造成紅方消滅藍方的時間越長，相反，參數(shù)k2的值越大，控制k3和k4的值適當(dāng)減小時，造成紅方消滅藍方的時間越短，但當(dāng)參數(shù)k2的值小到一定的程度且k3和k4的值增大到一定程度后，原本“占絕對優(yōu)勢”的紅方反而被無戰(zhàn)術(shù)組合的藍方消滅。

4 結(jié)論

本研究運用隨機點陣模擬方法，對最近鄰移動模式下的Lanchester作戰(zhàn)模型進行了研究，得到了穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存的參量條件與臨界曲線，并研究了兩個重要參量有無梯度變化情況下的斑圖演化與雙方密度時間序列曲線。研究發(fā)現(xiàn)，消滅增援速率呈梯度變化時影響雙方個體間的相互作用，使得雙方穩(wěn)定共存時間延長，而交換速率呈梯度變化時，使總體流動性增強，整體作戰(zhàn)效率提高，縮短了雙方共存時間，促進了戰(zhàn)斗進程。本文還研究了戰(zhàn)術(shù)組合對雙方作戰(zhàn)的動力學(xué)影響，斑圖演化過程中，雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，雙方自組織性強，易形成穩(wěn)定的大斑塊，相反，雙方?jīng)]有戰(zhàn)術(shù)組合時，雙方自組織性弱，斑圖中零碎小斑塊多，大斑塊少，僅一方有戰(zhàn)術(shù)組合時，有戰(zhàn)術(shù)組合的一方數(shù)量逐漸增多，最終獲勝。

由上述結(jié)果，可以看出本文所做的研究具有新意，為解釋實際作戰(zhàn)過程提供了新的理論基礎(chǔ)。

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