轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的初步研究

吳雨桐

(北京市第十三中學(xué),北京 100009)

1 問題介紹和分析

1.1 背景

在高中物理的課程中,我學(xué)習(xí)到了動(dòng)能這個(gè)概念,但主要是質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)問題,而我們的生活中有很多物體是在轉(zhuǎn)動(dòng)的,他們應(yīng)該也有自己的轉(zhuǎn)動(dòng)能量,我很好奇他們的能量該如何求解。對于這樣一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)問題,簡化一下問題模型,考慮一個(gè)不計(jì)粗細(xì)的質(zhì)量均勻分布的桿子,質(zhì)量為m,長度為R,繞著桿子的一端(固定點(diǎn))在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)速度為ω恒定,我們研究一下這個(gè)桿子的能量,如圖1。

1.2 微元法推導(dǎo)

對于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m,當(dāng)它以勻速度v運(yùn)動(dòng)時(shí),我們知道它的動(dòng)能T如下：

而對于1.1中的桿子問題,難點(diǎn)在于桿子上的每一個(gè)點(diǎn)的速度并不一致,我們就需要用微元法的物理思想來分析這個(gè)問題。如圖2,首先,把這個(gè)桿子沿長度均勻分成N份,N非常大,以至于每一份的長度非常短,為Δx,則：

NΔx=R N→∞ Δx→0

因此對于每一小段長度為Δx的部分,我們可以把它當(dāng)做質(zhì)點(diǎn),它的質(zhì)量為：

建立一個(gè)在細(xì)桿上的一維x軸坐標(biāo)軸,細(xì)桿固定端為坐標(biāo)原點(diǎn),細(xì)桿在x軸正方向。

整個(gè)細(xì)桿的總動(dòng)能T應(yīng)該是每一段長度為Δx的部分的動(dòng)能的總和,即：

了解過定積分的相關(guān)知識后,我知道了在N→∞,Δx→0的極限情況下,上式中的

通過以上分析,求出了這個(gè)桿子在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的能量,它與桿子質(zhì)量的一次方,桿長的平方,轉(zhuǎn)速的平方成正比。

1.3 細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

在預(yù)先學(xué)習(xí)一些大學(xué)知識后,我們了解到1.2中的推導(dǎo)其實(shí)和大學(xué)的一個(gè)新的物理量很有關(guān)系,它就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,通過轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,可以更好的理解1.2中的推導(dǎo)。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性(回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性)的量度,它用字母J表示。就像是之前學(xué)習(xí)的質(zhì)量是對物體慣性的度量。對于質(zhì)量為m的物體,沿原點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為：

其中r是每個(gè)質(zhì)量元dm到原點(diǎn)O的距離,積分范圍是整個(gè)物體。

對于1.1問題中的桿子,我們再用微元法去計(jì)算一下上式,同1.2中假設(shè),

由于

所以

1.4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的力學(xué)意義

在1.2中我們得到結(jié)論：

代入1.3中求解出細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,得：

此時(shí),細(xì)桿動(dòng)能在形式上就與課本中寫的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能公式一致了,分別于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性質(zhì)量的一次方,線速度和角速度的二次方成正比,比例系數(shù)為0.5,我想這也應(yīng)該是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量引入的意義,把平動(dòng)問題過渡到轉(zhuǎn)動(dòng)問題。同時(shí),根據(jù)1.2和1.3中的微元法和微積分推導(dǎo),我們也可以看出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)學(xué)定義的意義。

查閱資料我們可以看出質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)問題中的不同形式,如表1。

這樣,利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,平動(dòng)問題中的常用物理量都可以過渡到轉(zhuǎn)動(dòng)問題中并保持形式不變。以后在求解其他幾何體的轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí),我們就可以先求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,不用再用1.2中的微元法從質(zhì)點(diǎn)出發(fā)推導(dǎo)了。

表1 平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)問題公式比較表

2 結(jié)語

本文通過對高中動(dòng)能概念、微元法、圓周運(yùn)動(dòng)公式、定積分及部分大學(xué)知識的應(yīng)用,求解出了細(xì)桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能;同時(shí),引出了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量這一物理量,做出比較和分析;最后對比平動(dòng)問題和轉(zhuǎn)動(dòng)問題中的力學(xué)量。

[1] 盧德馨.大學(xué)物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社,1998.

[2] 孔玥.阻尼條件下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量技術(shù)的研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2013.

[3] 樊琦,任亞杰.均勻細(xì)桿對任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,(05)：525-528.