基于主成分分析的壓縮感知重構算法

李 梁，田文飚

(1.中國人民解放軍91872部隊，北京 102442；2.海軍航空大學 信號與信息處理山東省重點實驗室，山東 煙臺 264001)

0 引 言

目前，采集信號通常需要先用常規(guī)方式、固定分辨率高速采樣再壓縮[1]，但是，現(xiàn)有壓縮體制需要對所有采集到的數(shù)據(jù)進行處理，計算后舍棄絕大多數(shù)小系數(shù)，這樣做既浪費傳感器資源，還增加了對編碼端計算能力的要求，因此不得不考慮如何充分挖掘這些有限采集資源的應用潛力。

實際上，人們感興趣的信號往往具有稀疏性，壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論“少采樣、巧重構”的思想[2-6]，為從相對稀少的觀測數(shù)據(jù)中重構稀疏信號提供了可能，即以少量的觀測值對待重構信號進行觀測，然后利用最優(yōu)化算法思想對其進行重構。

壓縮感知框架的實現(xiàn)高度依賴信號的稀疏性，而實際信號的稀疏性很可能未知甚至時變，且稀疏度很可能無法滿足CS重構的要求。本文利用主成分分析[7-8](Principal Component Analysis,PCA)充分挖掘信號的稀疏性，提出主成分追蹤算法，在少量觀測數(shù)據(jù)的基礎上重構原信號。

1 主成分分析壓縮感知

1.1 主成分分析

在自然環(huán)境中，許多信號具有直觀的稀疏性，如一段時間的氣溫、飛機巡航的速度等等。然而，目前并沒有相關研究論證這些信號究竟在哪些變換域上稀疏。本文從分析其主成分著手討論信號的稀疏性。實際上，可以證明任意信號在其理想PCA基下都是絕對稀疏的。

定理：對于信號x=[x1,x2,…,xN]T∈N，則x在PCA基上絕對稀疏，且稀疏度為1。

證明：設信號x的自相關矩陣Rx為：

Rx=xxT，

(1)

因為Rx為實對稱陣，故必存在正交陣U可將其特征值分解，使得：

UTRxU=Λ，

(2)

式中，Λ為非零特征值構成的對角陣，U為對應特征向量組成的正交陣，且UT=U-1。由于U是通過對信號x的自相關矩陣進行特征值分解得到的，故稱其為信號x的PCA基。同時，信號x在其PCA基上的投影矢量α滿足:

α=UTx,

(3)

可以證明α是絕對稀疏的，且稀疏度為1。

由式(1)～式(3)得：

ααT=(UTx)(UTx)T=UTxxTU=UTRxU=Λ,

(4)

由Λ的對角陣特性可知：

(5)

式中，Λij代表Λ的第i行、第j列元素，αi為α的第i個元素。因此，由式(5)知，存在一個固定的j使得

(6)

換句話說，α∈N當中僅有一個元素非零，即α為一個稀疏度為1的絕對稀疏信號，證畢。

信號經(jīng)過PCA后體現(xiàn)的絕對稀疏性為后續(xù)的壓縮感知重構奠定了理論基礎。

1.2 壓縮感知觀測模型

壓縮感知理論首先由Candès、Romberg、Tao和Donoho等人在2004年提出，文獻直到2006年才發(fā)表[9-10]。Candès證明了只要信號在某一個正交空間具有稀疏性，就能以較低的頻率采樣信號，而且可以以高概率重構該信號[11-13]。

(7)

1.3 主成分追蹤算法

這里需要注意的是，理論上對不同時刻的信號進行PCA，每次都需要重新進行酉變換得到變換矩陣U，但是可令一段時間之內(nèi)的觀測共用一個變換矩陣U，通過合理設置學習時間，能夠在復雜度和性能當中尋求一個平衡。

算法1為主成分子空間追蹤(PCSP)算法，具體數(shù)據(jù)如下：

輸入:觀測值矢量YM×1，觀測矩陣ΦM×N，時間t，學習間隔T；

步驟2 (PCA分解)判斷t是否被T整除，如果是則重新學習得到PCA基U，否則跳過此步驟；

步驟3 (計算相關系數(shù))v=UTΦTrl,l=l+1；

2 數(shù)值實驗及結果分析

利用全球海洋大氣(Tropical Atmosphere Ocean,TAO)項目(網(wǎng)址：https:∥www.pmel.noaa.gov/tao /drupal/disdel)中2017年8月20日0時(UTC)起1 000 min實測水溫數(shù)據(jù)，進行主成分分析的壓縮感知重構仿真實驗。

利用壓縮感知觀測模型對實測數(shù)據(jù)進行觀測，依據(jù)1.3節(jié)中提出的PCSP算法對蒸發(fā)波導高度進行重構，由于PCA需要定期依據(jù)信號計算變換矩陣U，因此分別選擇學習時間間隔為：20 min、100 min、500 min和1 000 min。

定量考察重構信噪比(Reconstruction-SNR,RSNR)隨壓縮比變化的規(guī)律，RSNR定義為：

(10)

壓縮比取為0.1～0.5按步長0.05遞增，即對應采集數(shù)據(jù)規(guī)模比原來的依據(jù)Shannon定律采樣的數(shù)據(jù)規(guī)模減少了九成至五成，相應的傳輸、存儲及處理成本也節(jié)省了一大半。以實際的大范圍浮標系統(tǒng)為例，這將降低每個浮標的能耗、延長整個系統(tǒng)的使用壽命。另外由CS觀測模型可知，每個浮標都可有“休眠”的時間，從另一個角度來看，系統(tǒng)還具有一定抗浮標損壞或數(shù)據(jù)丟失的能力。

對于水溫這類可壓縮信號，離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)在性能上最接近最佳變換PCA[16]，因此本實驗選取DCT作為對照組變換。實驗結果如圖1所示，PCSP算法基于PCA的感知結果由實線描繪，對照組的DCT由虛線描繪，不同學習時間間隔對應不同的標記符號。

圖1 不同方法感知結果重構信噪比隨壓縮比變化情況

從圖1中可以看出，基于主成分分析的蒸發(fā)波導壓縮感知總體性能優(yōu)于基于DCT的對照組性能，而且學習時間越短，RSNR越大，即重構準確性越好。隨著壓縮比增大RSNR有平緩上升的趨勢，即使在壓縮比低至0.1，學習間隔100 min時，RSNR也在20 dB以上，換而言之，在節(jié)省九成采樣資源的前提下，主成分追蹤算法最終的重構結果仍然能夠達到重構信噪比20 dB的水平。當然，付出的代價是每100 min需要重新學習，以如今的計算能力是能夠接受的，而且還可以通過調(diào)整學習時間間隔，在重構性能和復雜度之間尋求一個平衡。

3 結束語

文中所述基于主成分分析的壓縮感知為從相對稀少的觀測數(shù)據(jù)中重構信號提供了可能，也為提高壓縮感知壓縮率提供了理論支持。

從結果來看，本文PCSP算法基于PCA的感知結果總體性能優(yōu)于基于DCT的對照組性能，且學習時間越短，RSNR越大，即重構準確性越好?？梢酝ㄟ^調(diào)整學習時間間隔，在重構性能和復雜度之間尋求一個平衡。

盡管DCT在降低相關性方面不如PCA有效，但是其好處是它的基函數(shù)是固定的、可分離的，且具有快速算法，所以對于蒸發(fā)波導態(tài)勢強相關的情況來說，DCT可以近似PCA。如何兼顧兩者優(yōu)點，則是下一步需要解決的難題。

[1] Serra J,Testa M,Molina R,et al.Bayesian K-SVD Using Fast Variational Inference[J].IEEE Transactions on Image Processing,2017,27(7): 3344-3359.

[2] Candès E J.The Restricted Isometry Property and its Implications for Compressed Sensing[J].Compte Rendus de l'Academie des Sciences,2008,Series I(346):589-592.

[3] Baraniuk R,Davenport M,DeVore R,et al.A Simple Proof of the Restricted Isometry Property for Random Matrices [J].Constructive Approximation,2008,28(3):253-263.

[4] 汪浩然,夏克文,牛文佳.分段正交匹配追蹤(StOMP)算法改進研究[J].計算機工程與應用,2017,53(16):55-61.

[5] 楊亞旗,姚彥鑫.基于壓縮感知和最小二乘的分布式協(xié)作頻譜感知[J].電訊技術,2017,57(7):745-749.

[6] 張亞東,姚彥鑫.基于壓縮感知的分布式協(xié)同估計算法[J].電訊技術,2017,57(4):377-381.

[7] Han Y,Shin W,Lee J.Projection-Based Differential Feedback for FDD Massive MIMO Systems[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology,2017,66(1):202-212.

[8] Li J,Wang J.Robust Object Tracking Algorithm Based on Sparse Eigenbasis[J].IET Computer Vision,2014,8(6):601-610.

[9] Candès E,Romberg J,Tao T.Robust Uncertainty Principles:Exact Signal Reconstruction from highly Incomplete Frequency Information[J].IEEE Trans.on Information Theory,2006,52(2): 489-509.

[10] Candès E,Romberg J,Tao T.Stable Signal Recovery from Incomplete and Inaccurate Measurements[J].Commun.Pure Appl.Math,2006,59(8): 1207-1223.

[11] 劉朋露,楊潔.基于壓縮感知DOA估計的稀疏陣列設計[J].電訊技術,2017,57(4):382-386.

[12] 童新,卿朝進,張岷濤,等.基于模式化壓縮感知的幀定時同步研究[J].計算機工程與應用,2017,53(13):119-124.

[13] 李鑫濱,陳劍美.基于改進SL0壓縮感知的WSN多目標定位[J].計算機工程與應用,2017,53(4):128-134.

[14] Wei D,Milenkovic O.Subspace Pursuit for Compressive Sensing Signal Reconstruction[J].IEEE Transactions on Information Theory,2009,55(5):2230-2249.

[15] Zhang Z,Xu Y,Yang J,et al.A Survey of Sparse Representation: Algorithms and Applications[J].IEEE Access,2015,3:490-530.

[16] Chen H,Zeng B.New Transforms Tightly Bounded by Dct and Klt[J].IEEE Signal Processing Letters,2012,19(6):344-347.