淺談如何提高初中學(xué)生的運(yùn)算能力
——以“有理數(shù)的運(yùn)算”為例

劉興娟

（山東省濟(jì)南市商河實(shí)驗(yàn)中學(xué)，山東 濟(jì)南）

運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，是根據(jù)法則、公式等正確進(jìn)行運(yùn)算，并理解算理，能夠根據(jù)問(wèn)題條件尋求合理簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑?？梢?jiàn)，運(yùn)算能力的構(gòu)成并不只是簡(jiǎn)單應(yīng)用機(jī)械重復(fù)已學(xué)的法則和公式，還包括學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)、選擇與主動(dòng)建構(gòu)。

運(yùn)算是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功。初中階段是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的黃金時(shí)期，初中代數(shù)的主要內(nèi)容都和運(yùn)算有關(guān)，如有理數(shù)的運(yùn)算、整式的運(yùn)算、因式分解、分式的運(yùn)算、根式的運(yùn)算、函數(shù)計(jì)算和解方程。初一是初中三年打基礎(chǔ)的一年，掌握好各種運(yùn)算本領(lǐng)和計(jì)算能力對(duì)學(xué)生至關(guān)重要，中考也越來(lái)越重視學(xué)生要具有“堅(jiān)韌的計(jì)算毅力”。下面就結(jié)合初一“有理數(shù)的運(yùn)算”，談一談初中數(shù)學(xué)計(jì)算能力的提升方法。

一、透徹分析概念

對(duì)概念的分析要透徹，不能停留在文字表面。省掉知識(shí)產(chǎn)生的實(shí)際背景，直接進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)，學(xué)生會(huì)對(duì)所學(xué)知識(shí)缺乏真正的感悟和體驗(yàn)，短期看似節(jié)省了時(shí)間，但容易出現(xiàn)知識(shí)漏洞，造成很多學(xué)生“看似會(huì)做，動(dòng)筆就錯(cuò)”的現(xiàn)象；缺乏對(duì)運(yùn)算內(nèi)涵的深度分析，從而采取重復(fù)的訓(xùn)練加以補(bǔ)救，“治標(biāo)不治本”，從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，并不利于學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高。

學(xué)生在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)與學(xué)習(xí)“0”、分?jǐn)?shù)、小數(shù)相比較而言，學(xué)生難以理解負(fù)數(shù)的實(shí)際意義。曾經(jīng)是運(yùn)算符號(hào)的“+”（加）和“-”（減），放在數(shù)字的前面成為性質(zhì)符號(hào)，在進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)因多次出現(xiàn)負(fù)號(hào)而犯錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤甚至到了初二、初三仍舊會(huì)發(fā)生。

教學(xué)中，要把概念、公式與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)。例如，對(duì)絕對(duì)值的理解。正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。知道5的絕對(duì)值是5，-5的絕對(duì)值還是5。卻不知道當(dāng)a＜0時(shí)，a的絕對(duì)值是什么。應(yīng)該是a的相反數(shù)-a。

例如，“相反數(shù)”的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)。應(yīng)該詳細(xì)地給學(xué)生強(qiáng)調(diào)“數(shù)字相同，就只有數(shù)字前面的符號(hào)相反”，同時(shí)，舉例，-3和3是一對(duì)相反數(shù)，而-2和3不是一對(duì)相反數(shù)。

二、重視探究活動(dòng)

在教學(xué)中，以學(xué)生為主體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)、獲取知識(shí)和技能的全過(guò)程，相信學(xué)生的能力，讓學(xué)生歸納總結(jié)法則，一名學(xué)生表述不全面，就多名學(xué)生不斷進(jìn)行補(bǔ)充調(diào)整，教師從旁引導(dǎo)，最終得出有理數(shù)法則。新課標(biāo)也指出：“要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和應(yīng)用過(guò)程?！比绻苯訉⒂欣頂?shù)的乘法法則告訴學(xué)生，經(jīng)過(guò)大量的練習(xí)，學(xué)生也能熟練地掌握運(yùn)算技巧。但由于沒(méi)有經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，出現(xiàn)知識(shí)漏洞，導(dǎo)致知其然而不知其所以然。因此，法則的探究過(guò)程成為重要的一環(huán)。例如：

（1）下列一組算式的結(jié)果應(yīng)該如何計(jì)算？請(qǐng)同學(xué)們思考：

（－3）×3＝_____；

（－3）×2＝_____；

（－3）×1＝_____；

（－3）×0＝_____.

（2）當(dāng)學(xué)生寫(xiě)出結(jié)果并說(shuō)明道理時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)觀察這組算式等號(hào)兩邊的特點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律，然后再出示一組算式猜想其積的結(jié)果：

（－3）×（－1）＝______；

（－3）×（－2）＝______；

（－3）×（－3）＝______.

通過(guò)對(duì)兩組算式的對(duì)比觀察，歸納有理數(shù)的乘法法則。培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、猜想能力和表達(dá)能力。結(jié)論：正×正=正，負(fù)×負(fù)=正；負(fù)×正=負(fù)，正×負(fù)=負(fù)，簡(jiǎn)稱“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”。乘積的絕對(duì)值等于各乘數(shù)絕對(duì)值的乘積。

三、合理詮釋法則

學(xué)生計(jì)算自然數(shù)的乘法已經(jīng)非常熟練，并且能聯(lián)系生活實(shí)際給出相關(guān)背景解釋。引入負(fù)數(shù)后就不同了,“負(fù)數(shù)與正數(shù)相乘”尚且能用有理數(shù)的加法來(lái)解釋，如連續(xù)降溫。但“負(fù)負(fù)得正”就不容易解釋了。

例如，有理數(shù)的乘法，如果水庫(kù)的水位每天下降2 cm，現(xiàn)在水位在水文標(biāo)尺刻度的0處，3天前水位在水文標(biāo)尺刻度的何處（規(guī)定水位上升為正，下降為負(fù)）？顯然3天前水位在水文標(biāo)尺刻度的 6 cm 處，這就可以表示為（－2）×（－3）=6。因此，“負(fù)負(fù)得正”也是可以通過(guò)客觀實(shí)踐證明的。

四、總結(jié)規(guī)律，應(yīng)用技巧

（－1）×2×3×4＝_________；

（－1）×（－2）×3×4＝_________；

（－1）×（－2）×（－3）×4＝_________；

（－1）×（－2）×（－3）×（－4）＝__________；

（－1）×（－2）×（－3）×（－4）×0＝____________.

通過(guò)對(duì)以上算式的計(jì)算和觀察，學(xué)生不難得出規(guī)律：多個(gè)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積的符號(hào)為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積的符號(hào)為正。只要有一個(gè)數(shù)為零，積就為零。下面我們就在實(shí)際做題時(shí)應(yīng)用這一規(guī)律：

因此，簡(jiǎn)單地記為口訣“先確定符號(hào)，再計(jì)算數(shù)值”。

五、強(qiáng)化練習(xí)

學(xué)生運(yùn)算能力的鞏固與養(yǎng)成需要經(jīng)過(guò)模仿階段、逐步熟練階段以及自動(dòng)化階段。而學(xué)生要達(dá)到運(yùn)算的自動(dòng)化階段，除了需要概念與法則的正確了解外，還需要適當(dāng)?shù)闹貜?fù)訓(xùn)練。

1.堅(jiān)持每天練習(xí)

選幾道計(jì)算題寫(xiě)在紙上，在限定的時(shí)間內(nèi)做完，然后小組打分，自行訂正，教師收上來(lái)統(tǒng)計(jì)出差題目，集中講解。

2.上好習(xí)題課

習(xí)題課是提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果及解決問(wèn)題能力的有效方法。教師可以通過(guò)習(xí)題課了解學(xué)生的掌握情況。

在教學(xué)中主要配置三組練習(xí)題：一是鞏固性基礎(chǔ)題，即直接應(yīng)用公式或法則的題目；二是變式性中檔題，即對(duì)基本題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危蝗蔷C合靈活性難題，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，適度滲透整體思想等數(shù)學(xué)思想。

例如，有理數(shù)的運(yùn)算：基礎(chǔ)題直接使用法則，以符號(hào)的判斷為重點(diǎn)，主要是單一的運(yùn)算，題目中的絕對(duì)值不大，目的在于熟練掌握法則和準(zhǔn)確定符號(hào)；中檔題，適當(dāng)加大絕對(duì)值或形式適當(dāng)復(fù)雜，可將小數(shù)，分?jǐn)?shù)進(jìn)行混合運(yùn)算，重點(diǎn)提高學(xué)生計(jì)算能力；難題則是較復(fù)雜的混合運(yùn)算，重點(diǎn)是處理運(yùn)算順序，適當(dāng)設(shè)置運(yùn)算技巧和方法，如互為相反數(shù)的和為0，湊整，整體代入的思想方法，然后逐步向合理、靈活的高層次方向發(fā)展。

六、組織形式多樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)

實(shí)行點(diǎn)卡晉級(jí)制。每張“學(xué)士”卡3個(gè)點(diǎn)為滿，5張“學(xué)士”卡兌換“碩士”點(diǎn)卡，3張“碩士”卡兌換“博士”點(diǎn)卡，分別給予不同的獎(jiǎng)勵(lì)。

1.開(kāi)展作業(yè)評(píng)比活動(dòng)

要求先改錯(cuò)，再完成當(dāng)天作業(yè)。優(yōu)的個(gè)數(shù)達(dá)到3個(gè)，發(fā)放“學(xué)士”點(diǎn)卡一個(gè)點(diǎn)。通過(guò)評(píng)比，使學(xué)生認(rèn)真對(duì)待自己的每次作業(yè)，養(yǎng)成書(shū)寫(xiě)認(rèn)真和勤于思考的良好習(xí)慣。

2.組織小組間競(jìng)賽活動(dòng)

（1）課上回答問(wèn)題加分；（2）小組成員上白板答題做對(duì)加分；（3）當(dāng)堂小測(cè)加分。題量根據(jù)題目的難易程度，可以設(shè)置4到6個(gè)。一半基礎(chǔ)題，一半能力提升題（包含技巧題），做完小組交換打分，時(shí)間大約10多分鐘，小組長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)得分情況反饋給課代表加分。

每?jī)芍芙y(tǒng)計(jì)小組得分情況，前三名小組成員發(fā)放點(diǎn)卡，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和自信心。

七、及時(shí)復(fù)習(xí)，“溫故而知新”

記憶是理解的基礎(chǔ),學(xué)生如果不能將概念、公式爛熟于心，就會(huì)混淆法則，不能夠正確運(yùn)算出結(jié)果。例如：

（1）有理數(shù)的加法法則與減法法則混淆，（-5）+（-3）與（-5）-（-3）；

（2）有理數(shù)的乘法與乘方法則相混淆3×3與33；

（3）乘法對(duì)加法的分配率a（b+c）=ab+ac，而除法沒(méi)有分配率，將 36÷（6－9）=36÷（-3）=-12 錯(cuò)誤計(jì)算為 36÷（6－9）=36÷6－36÷9=6－4=2。

題不在多，而在于精，把一些“經(jīng)典”的題多做幾遍，把做錯(cuò)的題當(dāng)新題，隔幾天拿出來(lái)再做一遍，也是一種高效率的、針對(duì)性較強(qiáng)的學(xué)習(xí)方法。

八、培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣

良好的運(yùn)算習(xí)慣對(duì)于提高基本運(yùn)算能力極為重要。學(xué)生做題出錯(cuò)，基礎(chǔ)不牢固，考試成績(jī)起伏大，大多是由平時(shí)的不良習(xí)慣所致。

1.仔細(xì)審題，這樣運(yùn)算起來(lái)方法會(huì)更正確、更合理，數(shù)學(xué)運(yùn)算速度會(huì)不斷提高。減少出現(xiàn)差錯(cuò)，錯(cuò)寫(xiě)、漏寫(xiě)數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)的情況。

2.認(rèn)真書(shū)寫(xiě)，嚴(yán)格地按照解題格式答題。

3.使用草稿紙，做完題之后及時(shí)檢查，易錯(cuò)點(diǎn)可以多算一遍。

4.不懂就問(wèn)，獨(dú)立完成作業(yè)。

5.歸納總結(jié)，整理錯(cuò)題。

有這樣的學(xué)生，每天都很認(rèn)真地學(xué)習(xí)、做題，可一直在做很多相似的、會(huì)做的重復(fù)題目，而不會(huì)做的題目要么是沒(méi)遇上，要么就放在一邊不聞不問(wèn)，導(dǎo)致成績(jī)不理想。這就要求學(xué)生要自己總結(jié),對(duì)所做的題目進(jìn)行分類,哪些是會(huì)做的，哪些是不熟的，哪些是不會(huì)做需要求助的，這樣才能事半功倍。每個(gè)學(xué)生的錯(cuò)題都具有個(gè)性特征，整理錯(cuò)題本，不只要求得出正確的答案，還要求學(xué)生寫(xiě)出錯(cuò)誤原因，加深印象?？梢詮拈_(kāi)學(xué)就建立錯(cuò)題本，堅(jiān)持這一做法，既避免了犯同類的錯(cuò)誤，減少了不必要的失誤，同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和正確的學(xué)習(xí)方法。

培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，不能靠一朝一夕，也不能時(shí)緊時(shí)松，只有堅(jiān)持不懈，一抓到底方能有成效。老師也應(yīng)以身作則，板書(shū)時(shí)、批改作業(yè)時(shí)，都要作出表率，促使學(xué)生養(yǎng)成正確、合理、快速進(jìn)行運(yùn)算的習(xí)慣，提高運(yùn)算能力。

在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算過(guò)程中，由于引入了負(fù)數(shù)，出現(xiàn)了新知識(shí)與原有小學(xué)非負(fù)數(shù)的舊知識(shí)不同的情況，新知識(shí)的圖式結(jié)構(gòu)與原有圖式相沖突，必須通過(guò)順應(yīng)來(lái)完成。教師的教學(xué)必須尊重學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與實(shí)際學(xué)習(xí)，切不可急于求成。要給予學(xué)生充足的時(shí)間來(lái)接受新知識(shí)，要允許學(xué)生出錯(cuò)，讓學(xué)生在新舊知識(shí)的矛盾斗爭(zhēng)中逐步建立起新的平衡。

數(shù)學(xué)教學(xué)既要重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式化、抽象化的一面，也要重視數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過(guò)程中具體化、經(jīng)驗(yàn)化的一面，從而全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)基本素質(zhì)。提高學(xué)生有理數(shù)運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要而艱巨的任務(wù)。