從一道習(xí)題來看動點(diǎn)問題

廖玉勝

（湖北省枝江市安福寺鎮(zhèn)初級中學(xué)，湖北 枝江）

動態(tài)問題不僅是近幾年中考的熱點(diǎn)問題，而且是對學(xué)生綜合運(yùn)用知識能力的檢驗(yàn)手段之一。動態(tài)問題是以幾何知識和圖形為背景，滲入運(yùn)動變化觀點(diǎn)的一類試題。幾何圖形中的點(diǎn)與線的運(yùn)動，就形成了數(shù)學(xué)中的動態(tài)問題。動態(tài)問題基本上可以分三種：動點(diǎn)問題、動線問題和動形問題。實(shí)際上初中階段出現(xiàn)最多的只是動點(diǎn)問題。怎么讓學(xué)生很好地解決動點(diǎn)問題，還需要我們教師加強(qiáng)探索研究，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生分析，發(fā)現(xiàn)一些適合自己解決問題的辦法。一般地：不被“動”所迷惑，善于在“動”中尋找相對的“靜”，即：抓住運(yùn)動中的某一“極端點(diǎn)”（瞬間點(diǎn)），發(fā)揮空間想象能力，分析“動”與“靜”的內(nèi)在聯(lián)系，尋求解決問題的途徑。對于多數(shù)學(xué)生來說完成這類試題是比較困難的，但是，只要教師能從生活實(shí)例出發(fā)，將動點(diǎn)問題實(shí)際背景化，讓學(xué)生看得見摸得著，是完全可以達(dá)到預(yù)期效果的。下面就從類似課本上的一道習(xí)題來探究解決動點(diǎn)問題的基本辦法。

習(xí)題：動車路線MN和高速公路PQ在點(diǎn)O處交匯，兩條道路成30°的夾角，高速公路上A處有一所福利院，距離交叉處O有200 m。動車行駛時，周圍200 m以內(nèi)會受到噪音的影響，當(dāng)動車在路線MN上沿ON方向行駛時，福利院是否會受到噪音的影響？如果動車行駛的速度為280 km/h，試求出福利院受到影響的時間?。ńY(jié)果保留整數(shù)）

先思考臺風(fēng)運(yùn)動問題：2018年“HK”臺風(fēng)（強(qiáng)熱帶風(fēng)暴）的中心在距離SY市東偏北約370多公里海面上，附近最大風(fēng)力為10級（風(fēng)速25米/秒），臺風(fēng)運(yùn)動的半徑大約為110—130公里。估計(jì)“HK”臺風(fēng)將以每小時15公里左右的速度向西偏北方向移動，強(qiáng)度會繼續(xù)加強(qiáng)，最強(qiáng)可達(dá)風(fēng)級12級（風(fēng)速30米/秒左右）。然后臺風(fēng)將適當(dāng)改變方向繼續(xù)向前移動。

一、引導(dǎo)分析：臺風(fēng)本身就是一個圓形，它在運(yùn)動過程中就會留下寬度為近300公里的一個影響帶，如果某地在它經(jīng)過留下的影響帶中，就會受到臺風(fēng)的影響。實(shí)際上我們就將臺風(fēng)運(yùn)動痕跡轉(zhuǎn)化成了相對靜止的一個“帶狀”圖形。

二、學(xué)生發(fā)現(xiàn)：臺風(fēng)是以臺風(fēng)中心為圓心，以某一長度為危害半徑的運(yùn)動圓，這就是動態(tài)圓。那么，習(xí)題中的問題也可以理解為：動車沿鐵路行走過程中，就相當(dāng)于臺風(fēng)運(yùn)動；影響范圍為200m，也就是一個寬度為200m的帶狀圖形，點(diǎn)A（福利院）就在這個運(yùn)動圓留下的痕跡內(nèi)（圖1）。動車是以一個圓形在向前“動”，我們是不好求出點(diǎn)A受影響的時間的。那么逆向思考：我們將福利院和動車都看成一個點(diǎn)，比較點(diǎn)A與動車的距離，如果兩點(diǎn)的距離大于200m，那么福利院就不會受到影響。

圖2

三、問題解決：因?yàn)楦＠菏遣弧皠印钡?。因此我們可以以A點(diǎn)為圓心，200m為半徑作圓（圖2），觀察動車是否進(jìn)入圓中。我們把動車轉(zhuǎn)化為一個動點(diǎn)，福利院就是相對靜止的點(diǎn)。如果動車進(jìn)入以A點(diǎn)為圓心，200米為半徑的圓（即：當(dāng)動車在OG上時，也就是動車與A的距離小于200m時），福利院就受影響，因此只要求出OG的長度即可！從而將一個貌似復(fù)雜的動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生十分熟悉的純幾何問題，這種“轉(zhuǎn)化”也正是初中學(xué)生必須具備的一種能力。

我們所采取的這種分析方法：從實(shí)例出發(fā)，由易到難，盡量避免多數(shù)同學(xué)對于動點(diǎn)問題的畏懼心理。“以靜制動”，即把動態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解決。一般情況下是要抓住變化中的“不變量”，以“靜”制“動”。比如近幾年中考中的壓軸題都是動點(diǎn)問題與函數(shù)問題、幾何問題相結(jié)合，那么首先你就必須要清楚地了解函數(shù)圖像或幾何圖形的性質(zhì)、特點(diǎn)。動點(diǎn)題無非就是要你將所有的點(diǎn)找出來，也就是將動點(diǎn)轉(zhuǎn)換為靜止的點(diǎn)，根據(jù)題意寫出函數(shù)關(guān)系式或找出與幾何圖形相聯(lián)系的等量關(guān)系，通常這就是變化過程中的一個基本量；然后就可以把相關(guān)的量都用關(guān)系式表達(dá)出來。這就要求我們必須充分地了解學(xué)過的幾何圖形的概念和性質(zhì)。有時候也可以試一試某些極端點(diǎn)，很多中考題都是通過極端點(diǎn)，尋求到相對靜止的狀態(tài)。

綜上所述，動點(diǎn)問題一般要求學(xué)生必須要熟練掌握基礎(chǔ)知識，擁有較強(qiáng)的綜合分析問題的能力，數(shù)形結(jié)合，才能更好地去解決問題。目前，老師運(yùn)用幾何畫板軟件，就可以很好地幫助我們實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。