轉(zhuǎn)化思想在三角形問題中的應(yīng)用

鄒雪芳

（浙江省寧波市慈溪市新世紀(jì)實(shí)驗(yàn)中學(xué)，浙江 寧波）

“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙，特別是對(duì)一些復(fù)雜數(shù)學(xué)題目，可通過轉(zhuǎn)化思想化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而達(dá)到解決問題的目的。若學(xué)生在學(xué)習(xí)中能將簡(jiǎn)單問題與相關(guān)的復(fù)雜問題結(jié)合起來(lái)，把特殊問題與一般問題結(jié)合起來(lái)，把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)解決數(shù)學(xué)問題有很重要的作用。下面，筆者將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的方法來(lái)闡述如何解決一些復(fù)雜的三角形問題。

一、陌生問題熟悉化

陌生問題熟悉化是一種數(shù)學(xué)解題中常用的方法，所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利解出原題。

1．充分聯(lián)想，回憶基本知識(shí)和題型

例：如圖（1），已知CD是RT△ABC斜邊上的高，∠A的平分線AE交CD于H，交∠BCD的平分線CF于G，求證：HF∥BC。

解析：此題可以讓八年級(jí)學(xué)生回顧直角三角形的基本圖形，從直角三角形的基本圖形出發(fā)，尋找相等的角，由∠ACB=90°，CD⊥AB，可得出∠BCD=∠CAD，再由AE，CF是這兩個(gè)角的角平分線得出∠CGA=∠ADC=90°，再結(jié)合AE平分∠CAD且AG⊥CF得出△ACF是等腰三角形，轉(zhuǎn)化為等腰三角形的基本性質(zhì)問題，找出相等角得出兩線平行。

當(dāng)然在學(xué)完平行四邊形的前提下，我們也可以將證明平行線的問題轉(zhuǎn)化為證明四邊形CHFE為菱形問題，所用到的方式和方法與上面相同。

2．運(yùn)用已有的基本題型，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素

數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常常有不同的表現(xiàn)形式：條件與結(jié)論（或問題）之間也存在著多種聯(lián)系，此時(shí)需要用恰當(dāng)?shù)妮o助元素將問題轉(zhuǎn)化為熟悉題型。

例如：我們比較熟悉的一類題目是：如圖（2），△ABC與△CDE都是正三角形，求證：△DBC≌△EAC

對(duì)于此題應(yīng)該很容易得出結(jié)果，但是若題目改為：如圖（3），在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則 CD 的長(zhǎng)為多少？

分析：如果學(xué)生僅僅從條件看根本得不出結(jié)果，這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想圖（2）這道題目，發(fā)現(xiàn)如果以CD為邊向右下方作正三角形CDE，連接AE必然可將已知條件AD，BD與所求線段CD轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，同時(shí)又由已知條件∠ADC=30°得出∠ADE=90°，從而利用勾股定理可得出DE的值，既而可得出DC的值。

二、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化

所謂復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜的題目時(shí)，要想方設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易于解答的新題型，以便通過對(duì)新題的考查，啟迪解題思路，以簡(jiǎn)馭繁，解出原題。我們可以從以下兩方面考慮

1．簡(jiǎn)單化已知條件

有些數(shù)學(xué)題的條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手，這時(shí)，不妨簡(jiǎn)化題中的某些已知條件，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化問題，這樣簡(jiǎn)單化了的問題對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用

例如：如圖（4），點(diǎn)E在線段AC上，CA⊥AB，DC⊥AC，F(xiàn)E⊥AC，且 DC=AE，AB=EC，F(xiàn)E=AC，∠AFC=53°，求∠DFB 度數(shù)。

分析：我們可以從已知條件將它簡(jiǎn)單化，設(shè)定EA=EC=AB=DC，可知這是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，連接BC，可得△ABC≌△ECF≌△EAF，可知 BC=CF，∠BCF=90°，可知∠BFC=45°∠DFC=∠AFB=8°，最終得出∠DFB。由此想到若在原題條件下，通過連接AD，BC也可分別得出△ABC≌△ECF，△ECF≌△EAF.，從而很容易用簡(jiǎn)單條件下得出的方式得出最后的結(jié)論。

2．恰當(dāng)分解結(jié)論，利用已求特殊結(jié)論進(jìn)行猜想，從結(jié)論出發(fā)將結(jié)論當(dāng)作條件轉(zhuǎn)化為已知

數(shù)學(xué)問題中的條件有的比較復(fù)雜，很難直接得出結(jié)論，需要通過挖掘其隱含的因素，把未知條件變?yōu)橐阎獥l件，從而使問題得到解決。例如：如圖（5），點(diǎn)B是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是線段OB垂直平分線上的點(diǎn)，P為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，且∠OPB=∠OAB=α（α 為銳角）。（1）如圖（5），若∠AOB=60°，PO=2，求：①PB的長(zhǎng)；②PA的長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是3，問：當(dāng)點(diǎn)B在x軸正半軸上移動(dòng)時(shí)，PO+PB的長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出PO+PB的值；若會(huì)改變，請(qǐng)說明理由。

分析：第一小題利用特殊三角形三邊之間的關(guān)系以及中垂線的性質(zhì)很容易求出，第二小題從已知條件中很難直接得出結(jié)論，但是我們可以結(jié)合第一小題的結(jié)論P(yáng)B=4，PO=2，通過猜想得出PB+PO=6，再結(jié)合兩線段之和在每條線段長(zhǎng)度不確定的情況下一般轉(zhuǎn)化到同一直線的方式，大膽猜測(cè)通過延長(zhǎng)BA必與y軸相交與點(diǎn)C通過證明PB=PC實(shí)現(xiàn)兩條線段轉(zhuǎn)化至一條線段，發(fā)現(xiàn)通過已知條件中點(diǎn)A的縱坐標(biāo)3正好可求出OC的長(zhǎng)度，從而使問題得到解決。

三、抽象問題直觀化

所謂直觀化，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為直觀一點(diǎn)的具體問題。

例如：設(shè) a，b，c，d 為實(shí)數(shù)，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，求此三角形的面積。

分析：對(duì)于此類問題從常規(guī)角度考慮無(wú)從下手，但是如果我們通過三邊長(zhǎng)的給出形式正好與勾股定理的求邊形式上一致，故考慮通過構(gòu)造直角三角形的方式，可以非常直觀地把問題解決。如圖（6）可知，AB=b，BC=d，AD=b-a，BD=a，BF=c，CF=d-c，很容易求出△AEC的面積：

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想是一種數(shù)學(xué)解題的非常重要的思想方法。在三角形的復(fù)雜問題中同樣起到了非常重要的作用，它能讓我們對(duì)復(fù)雜的問題進(jìn)行變換，使之化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化生疏為熟悉，對(duì)于此種方法的訓(xùn)練，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的解題能力和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，所以作為數(shù)學(xué)教學(xué)工作者我們更應(yīng)在教學(xué)中時(shí)常進(jìn)行滲透。