“動(dòng)圖”在“數(shù)與代數(shù)”中的應(yīng)用

吳慧婷

[摘要]在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)、解決問題教學(xué)，教師以幾何直觀理念為指導(dǎo)，眼中動(dòng)圖、腦中動(dòng)圖、胸中動(dòng)圖，用形助數(shù)貫穿教學(xué)，復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而提高課堂教學(xué)的實(shí)效性。教師和學(xué)生共同成長，將識(shí)圖、析圖、畫圖、創(chuàng)作圖視為一種常態(tài)，通過豐富“形”數(shù)量，完善“形”品質(zhì)，提高師生學(xué)習(xí)力。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀 動(dòng)圖

數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念，數(shù)形結(jié)合就是把抽象難懂的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀形象的幾何圖形結(jié)合起來。通過“以形助數(shù)”，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)、解決問題等課堂教學(xué)中，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化?！皠?dòng)圖”指以“幾何直觀”理念為指導(dǎo)，在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中識(shí)圖、析圖、創(chuàng)作圖，在低年級(jí)開始啟蒙，中高年級(jí)逐步深化，教師不斷幫助學(xué)生理解知識(shí)，內(nèi)化知識(shí)。為探究“動(dòng)圖”在數(shù)與代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，筆者做了一些實(shí)踐。

一、現(xiàn)狀三啟示

（1）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出“幾何直觀”這一核心理念，指利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題，明確要求，第一、二學(xué)段的學(xué)生，要求掌握視圖和畫圖的技能?？梢?，創(chuàng)作圖是一種解決數(shù)學(xué)問題的有效策略，它有利于學(xué)生運(yùn)用直觀的圖來思考問題。

（2）在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中，很多教師對(duì)“動(dòng)圖”能力的培養(yǎng)不夠重視，甚至缺乏培養(yǎng)的意識(shí)。一方面教師認(rèn)為“動(dòng)圖”能力的培養(yǎng)是學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的內(nèi)容；另一方面教師作圖時(shí)隨意性強(qiáng)，缺乏精確度和示范性。

（3）在“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生讀圖能力弱，有學(xué)生看到圖示信息無從下手，有學(xué)生不擅于運(yùn)用“作圖”來表征信息或解決問題。學(xué)生作圖能力的缺失，對(duì)于“作圖”策略的選擇還存在困難。

基于上述原因，教師在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中，應(yīng)重視學(xué)生的識(shí)圖、析圖、創(chuàng)作圖的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的“動(dòng)圖”意識(shí)，養(yǎng)成“動(dòng)圖”的習(xí)慣，感悟“動(dòng)圖”的價(jià)值。

二、課堂三實(shí)踐

“圖”不僅能把問題的“意”表達(dá)出來，還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。培養(yǎng)學(xué)生作“動(dòng)圖”能力的過程應(yīng)遵循由淺入深、由易到難的原則，逐步提高學(xué)生識(shí)圖、析圖、想圖、畫圖、創(chuàng)造圖等能力。課堂實(shí)踐是最有意義的行為，通過眼中“動(dòng)圖”、腦中“動(dòng)圖”、胸中“動(dòng)圖”三種方式，將“動(dòng)圖”教學(xué)落到實(shí)處。

1.眼中“動(dòng)圖”

眼中“動(dòng)圖”，即識(shí)圖與析圖。提供感性材料，從觀察人手，抓住圖的特點(diǎn)，簡單描述圖的特征。從一年級(jí)起就讓學(xué)生知道觀察一幅圖要有順序，可以按從上往下、從左往右、從里往外、從遠(yuǎn)到近的觀察順序。觀察連貫的圖，也要按照順序觀察。觀察圖后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己看到、想到的內(nèi)容。通過舉例讓學(xué)生明白什么是數(shù)學(xué)語言。

在計(jì)算教學(xué)中，呈現(xiàn)主題圖后，教師往往先讓學(xué)生說說題中的信息列出算式，這是淺層次的識(shí)圖與析圖。借助圖，腦中有一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，這是深層次的識(shí)圖、析圖。學(xué)習(xí)20以內(nèi)退位減法、兩位數(shù)乘一位數(shù)或兩位數(shù)、兩位數(shù)除以一位數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減法等，利用深層次的識(shí)圖與析圖，用形理解算理掌握算法。

2.腦中“動(dòng)圖”

腦中“動(dòng)圖”，即在識(shí)圖與析圖的基礎(chǔ)上想圖與畫圖，主要是師生創(chuàng)作圖的意識(shí)的提高與創(chuàng)作圖習(xí)慣的養(yǎng)成?！把圻^千遍，不如手過一遍”，動(dòng)手操作是一個(gè)手、腦并用的過程，是解決數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性與小學(xué)生思維形象性之間矛盾的一種有效手段。

根據(jù)學(xué)生年齡特征和認(rèn)知水平，教師引領(lǐng)學(xué)生采用不同形式想圖、畫圖。首先，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題里的條件和問題，采用不同形式畫圖。其次，在圖上直觀顯示信息與問題，便于學(xué)生分析和思考。畫圖后，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖形進(jìn)行分析，找出解決問題的方法。學(xué)生用自己喜歡的方式完成學(xué)習(xí)任務(wù)，擺小棒、畫圖、畫線段圖、列算式，具體到抽象，體現(xiàn)了學(xué)生不同的思維水平。在比較中優(yōu)化，畫線段圖和列算式更抽象，思維層次更高。形象的圖表示出抽象的數(shù)量關(guān)系，有助于理解概念、分析問題、解決問題。

在小學(xué)階段，學(xué)生最難理解和掌握的是用分?jǐn)?shù)乘除法解決問題。教學(xué)中教師可以采用畫線段圖進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換訓(xùn)練學(xué)生思維。

例如，人教版六年級(jí)上冊用分?jǐn)?shù)解決問題的教學(xué)中：根據(jù)測定，成人體內(nèi)的水分約占體重的2/3，兒童體內(nèi)的水分約占體重的4/5。小明體內(nèi)有28kg的水分。小明重多少kg？學(xué)生列式：28x（4/5）、28÷（4/5）。哪個(gè)正確？分?jǐn)?shù)乘除法解決問題，題意抽象難理解，學(xué)生借助畫線段圖表示題意，容易找到數(shù)量關(guān)系，特別適用于逆向思維的問題。28×（4/5）為什么錯(cuò)了？4/5是小明體重的4/5，而不是水分的4/5。線段圖顯示的數(shù)量關(guān)系：小明體重的4/5=28kg，用28÷（4/5）=小明的體重。有了直觀圖，具體的量與對(duì)應(yīng)分率的理解落到實(shí)處，等量關(guān)系明確了，就能正確、靈活解決問題。

解決問題教學(xué)常常借助腦中“動(dòng)圖”，意、圖、式結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)換，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，變抽象思維為形象思維，突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

3.胸中“動(dòng)圖”

胸中“動(dòng)圖”，即創(chuàng)作圖。在人的大腦里有一些特殊的最積極的，最富有創(chuàng)造性的區(qū)域，依靠抽象思維與雙手精細(xì)的、靈巧的動(dòng)作結(jié)合起來，就能激活這些區(qū)域。只有當(dāng)學(xué)生動(dòng)手操作時(shí)，才能使大腦皮質(zhì)的很多區(qū)域得到訓(xùn)練，從而點(diǎn)燃學(xué)生的創(chuàng)新火花。教師應(yīng)在教學(xué)中有意識(shí)地安排學(xué)生創(chuàng)作圖的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生主動(dòng)嘗試、積極探索，根據(jù)材料自由創(chuàng)作圖，把創(chuàng)作圖視為一種創(chuàng)造性的活動(dòng)。如人教版教材五年級(jí)《分?jǐn)?shù)的意義》，筆者模仿浙江省特級(jí)教師朱國榮老師的教學(xué)——呈現(xiàn)9個(gè)圓形。布置兩個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)：學(xué)習(xí)任務(wù)一：任選幾個(gè)圓形，表示它的四分之一。學(xué)習(xí)任務(wù)二：表示出9個(gè)圓形的幾分之幾。

呈現(xiàn)兩次任務(wù)，達(dá)成不同目標(biāo)。第一次任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生把在二年級(jí)學(xué)過的一個(gè)物體或圖形平均分的基礎(chǔ)上，把多個(gè)物體平均分，即把單位“1”平均分。接著讓學(xué)生把2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)、1個(gè)圓形平均分成四份取一份，此時(shí)學(xué)生的水平有兩個(gè)層次。把2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)圓形平均分成四份，才是第二階段認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的目的所在。第二次任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生表示出9個(gè)圓的幾分之幾，從上面的四分之一到現(xiàn)在的幾分之幾，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)空間更大，為分?jǐn)?shù)意義理解提供了豐富的學(xué)習(xí)材料。兩次任務(wù)，兩次圖示，螺旋上升，整個(gè)學(xué)習(xí)過程體現(xiàn)了學(xué)生作圖的自主性和創(chuàng)造性，使抽象的分?jǐn)?shù)有形可依。

概念教學(xué)，借助“動(dòng)圖”，直觀地將比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的、清晰的事物，使學(xué)生容易理解和掌握，從而較好地幫助學(xué)生形成概念。

三、見證兩成長

筆者以“幾何直觀”理念為核心，從低年級(jí)開始在“數(shù)與代數(shù)”中采用“動(dòng)圖”教學(xué)，將“動(dòng)圖”貫穿始終，見證了學(xué)生、教師共同成長。

1.見證了學(xué)生的成長足跡

通過教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生觀察、思考、想象，空間觀念、解決問題、評(píng)價(jià)能力等提升明顯。學(xué)生“動(dòng)圖”的成長足跡體現(xiàn)兩個(gè)層次：一是體現(xiàn)共性化的學(xué)習(xí)。學(xué)生在課堂中完成學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)有用“動(dòng)圖”的意識(shí)。如教學(xué)一年級(jí)“加減法的意義”，學(xué)生先畫圖（3+2，左邊畫3個(gè)蘋果，右邊畫2個(gè)蘋果；4-1，先畫4朵花，再用虛線圈出1朵花）；再識(shí)圖、析圖（左邊3個(gè)蘋果，右邊2個(gè)蘋果，合起來是5個(gè)蘋果；原來有4朵花，拿走1朵，還剩3朵。）從中看出，一年級(jí)學(xué)生已會(huì)反向思考，用自己喜歡的方式表示算式的含義，對(duì)一年級(jí)的學(xué)生具有挑戰(zhàn)性。通過畫圖的方式，既可以讓學(xué)生清楚地理解加減法的含義，又可以培養(yǎng)學(xué)生用圖進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。二是顯示個(gè)性化的發(fā)展。學(xué)生在課外，主動(dòng)用“形”，趨于“自覺化”。例如，教師在教學(xué)六年級(jí)下冊《數(shù)形結(jié)合》前布置了一道課外作業(yè)，作為前測。結(jié)果統(tǒng)計(jì)出在班級(jí)50位學(xué)生中，既畫圖又寫想法的有40人，只畫圖的有7人，不會(huì)的有3人。經(jīng)歷了這個(gè)學(xué)習(xí)過程，學(xué)生已養(yǎng)成用“形”來解決問題并說清理由的習(xí)慣。

2.見證了教師教學(xué)行為的轉(zhuǎn)變

在實(shí)踐研究中，教師看到了數(shù)與代數(shù)中“動(dòng)圖”內(nèi)容很豐富，“動(dòng)圖”的形式多樣，尤其感悟到“動(dòng)圖”的價(jià)值，直觀、簡潔，利于理解知識(shí)和解決問題。

教師將“動(dòng)圖”用于“數(shù)與代數(shù)”中，用形凸顯概念本質(zhì)，用形解釋算理算法，用形明確數(shù)量關(guān)系?！皠?dòng)圖”是“數(shù)與代數(shù)”數(shù)學(xué)教學(xué)中一道亮麗的風(fēng)景線，也是一種智慧的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。endprint