ITRF中GNSS/SLR并址站歸心基線的“一步解”

馬下平

西安科技大學測繪科學與技術學院，陜西 西安 710054

ITRF(international terrestrial reference frame)的解算是綜合應用全球導航衛(wèi)星系統(tǒng)GNSS、甚長基線干涉測量VLBI(very long baseline interferometry)、衛(wèi)星激光測距SLR(satellite laser ranging)和多普勒定軌與無線電定位技術DORIS(doppler orbit determination and radio positioning integrated on satellite)4種空間大地測量技術的觀測數(shù)據(jù)和并址站歸心基線[1-4]。并址站歸心基線作為聯(lián)系ITRF中各觀測技術的主要約束條件，已成為限制ITRF解算精度的關鍵因素之一。即使各觀測技術的數(shù)據(jù)質量有了很大的提高，如果歸心基線的精度沒有相應地提高，ITRF解的精度也會受到一定程度的影響[5-6]。

并址站歸心測量的實質就是獲取ITRF中各觀測設備參考點RP(reference point)的坐標及其協(xié)方差陣[7-9]。SLR望遠鏡的RP為繞垂直軸p的旋轉中心與水平軸s和垂直軸p之間的最短距離的交點，如圖1所示。GNSS的RP為其接收機天線的幾何中心(如圖2所示)，可以直接測定。而SLR望遠鏡的RP為其望遠鏡的旋轉中心，并非一個可以直接觀測到的實體點，因此必須設法以間接的方式得到。

圖1 SLR望遠鏡的參考點RP[9]Fig.1 RP of SLR telescope

圖2 GNSS天線的參考點ARP[7]Fig.2 ARP of GNSS antenna

對于SLR望遠鏡參考點的測定，通常是先在SLR望遠鏡周圍布設控制點，采用常規(guī)三維控制測量精確測定各控制點坐標，通過極坐標法或前方交會測定固定在SLR望遠鏡上標志點的坐標[10-13]，也有在并址站設備上安裝GNSS天線，通過靜態(tài)或動態(tài)技術獲取標志點的坐標[14-15]，以標志點坐標為虛擬觀測量解算SLR望遠鏡參考點的坐標及其方差陣，目前解算方法主要有兩種：分步解算方式和構建坐標轉換模型的方式。分步解法主要有：①將標志點的三維空間直角坐標轉換為站心坐標，通過曲線擬合求出繞垂直軸和繞水平軸旋轉中心的站心坐標，再將旋轉中心的站心坐標逆變換得到三維空間直角坐標[10-12,16-18]；②以標志點三維空間直角坐標作為虛擬觀測量，建立兩類約束條件獲取參考的位置，具體可參考文獻[13]；③為了提高解算精度，可引入額外的約束條件，如距離相等條件、旋轉平面一致性條件、共線性條件、半徑相等條件、旋轉中心距離相等條件、旋轉軸正交性條件、軸偏差相等[7,19-20]；④利用參考點與繞垂直軸和水平軸旋轉中心之間的空間向量關系，獲取參考點的位置，間接得到兩軸之間的偏差[21]。

除分步解法外，目前最新的解算方法是通過構建包括參考點、軸偏差等未知參數(shù)的并址站設備的獨立坐標系統(tǒng)與地面坐標系統(tǒng)之間的轉換模型間接得到并址站參考點位置[15,20,22,24]，但這種方法同樣是在獨立坐標系中進行分步解算，而且解算時需要知道一些參數(shù)的值(繞垂直軸和水平軸的旋轉角)等。

總結以上文獻，仍存在著以下方面的特點與不足：①將觀測量和確定參考點和兩軸偏差分開計算，存在站心系和空間直角坐標系多次換算的問題，造成最終結果的不準確和最終精度的損失；②忽略或是未考慮觀測標志與參考點或幾何設備所應滿足的幾何約束條件，如忽略兩軸偏差的影響，將會造成結果0.5 mm的精度損失[19]；③雖然可以建立坐標轉換模型獲取參考點的位置，但同樣需要進行分步解算，而且事先需要提供一些參數(shù)的值。

不同的文獻有著不同的解算方法，不同的方法所得出結果各有不同，因此本文力圖在一個坐標框架(ITRF)中，將SLR望遠鏡的參考點、兩軸偏差等參數(shù)視為未知參數(shù)，聯(lián)合GNSS基線和地面網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)，引入滿足條件的各種幾何約束條件方程，提出并址站歸心基線的“一步解”?！耙徊浇狻苯?jīng)平差后可直接得到并址站歸心基線及其方差協(xié)方差陣。

1 “一步解”的數(shù)學模型

1.1 地面觀測量和GNSS基線網(wǎng)的觀測方程

1.1.1 地面觀測量的觀測方程

地面觀測量一般是指經(jīng)全站儀通過極坐標法、前方交會等方法測量的水平方向、垂直角和邊長。通過建立站心坐標可以實現(xiàn)與空間直角坐標之間的轉換，可以將地面觀測量歸算至空間直角坐標系中。

(1)

(2)

式中，(Bi,Li)為測站i的緯度和經(jīng)度。

由極坐標和站心坐標之間的關系可以得到測站i至測點j的水平方向αij、垂直角βij和邊長Sij在站心系中的觀測方程為

(3)

(4)

(5)

式中，(εαij,εβij,εSij)為αij、βij和Sij的觀測誤差；gi為測站i的定向角；Ka為測站的大氣折光；Ra為地球曲率。

(6)

(7)

式中，δKa為大氣折光參數(shù)的改正數(shù)。其中

(8)

1.1.2GNSS基線網(wǎng)向量的觀測方程

經(jīng)GNSS軟件解算后的基線網(wǎng)向量視為觀測量，則GNSS基線ij的觀測方程為

(9)

式(6)—式(9)以向量形式表示的觀測方程為

(10)

式中，x1為4類觀測方程中所包括的未知參數(shù)向量改正數(shù)；A為4類觀測方程系數(shù)陣組成的系數(shù)向量，l為4類觀測方程常數(shù)組成的向量。

1.2 約束條件

1.2.1 觀測標志所滿足的條件

觀測標志繞某一旋轉軸旋轉一周時，可構成一個球面和平面方程。當觀測標志k繞垂直軸p旋轉構成的平面法向量和球面半徑分別為np和rp，同樣繞水平軸s旋轉構成的平面法向量和球面半徑分別為ns和rs，則得到的兩組平面和球面方程分別為

(11)

(12)

式中，xk為觀測標志k的坐標向量；xp和xs為垂直軸p和水平軸s旋轉中心的坐標向量。

1.2.2 距離和半徑相等條件

在旋轉過程中，安裝在SLR望遠鏡上的兩個觀測標志之間的距離是保持不變的。如：當觀測標志1和2繞旋轉軸第k1和k2次旋轉時分別構成的距離相等

(13)

同樣，同一觀測標志繞同一旋轉軸多次旋轉時具有相同的中心和半徑，如：觀測標志1和2繞垂直軸p第k1次和k2次旋轉時，構成的球面半徑相等。則有

(14)

同樣，繞水平軸s進行旋轉時，得到

(15)

1.2.3 法向量一致性條件

不同的觀測標志繞同一旋轉軸旋轉時構成的平面法向量相等。如標志1和2繞垂直軸p構成的法向量np1、np2和水平軸s構成的法向量ns1、ns2分別相等，且為單位向量

(16)

(17)

同樣，同一標志繞同一旋轉軸多次旋轉構成的法向量也相等。如：繞p軸和s軸進行第k1次和k2次旋轉構成的法向量分別相等。

(18)

(19)

1.2.4 參考點、軸偏差和旋轉中心之間的約束條件

如圖3所示，x0為參考點RP的坐標向量，xv為RP至s軸的最短距離與s軸交點的坐標向量，d為兩軸的偏差。當繞垂直軸p旋轉時可構成線性條件為

xp=x0+λpnp

(20)

同樣，繞水平軸s旋轉時也可構成線性條件為

xv=xs+λsns

(21)

式中，λp和λs為垂直軸p和水平軸s的比例參數(shù)。

圖3 參考點與兩軸偏差之間的關系Fig.3 The relationship between the reference point and two axes offsets

垂直軸p和水平軸s之間的最短距離必正交于兩軸，因此，兩軸之間的法向量n同時垂直于p和s，得出

n=np×ns

(22)

由于x0和xv具有同一個法向量，得出線性關系

x0=xv+λn

(23)

同樣，兩軸的偏差向量d為參考點x0和投影點的xv的關系為

d=x0-xv

(24)

式(13)—(21)和式(23)—(24)經(jīng)過線性化后，這些約束條件可以表示為

(25)

在觀測方程式(10)中引入約束方程式(25)，經(jīng)過最小二乘平差后可得到參考點的坐標及其方差陣。聯(lián)立式(10)和式(25)，得

(26)

式(26)中涉及GNSS基線觀測量、水平方向和垂直角、邊長共3類觀測量，對于不同類觀測量采用經(jīng)驗公式定權是不夠準確的。為了提高這3類觀測量的方差協(xié)方差Σh估計的精度，本文采用赫爾默特方差分量驗后估計定權法。具體的計算公式和步驟可參考廣義測量平差的內容。

根據(jù)附有約束條件的間接平差可得法方程為

(27)

(28)

(29)

(30)

由于每一個SLR望遠鏡周圍附近都有一個IGS站，因此可利用IGS站的ITRF2014成果作為基準約束，可將式(27)的平差成果計算至ITRF2014中。

2 成果計算與分析

本文采用“一步解”處理了2011年筆者實際觀測的“陸態(tài)網(wǎng)絡”北京(BJFS-SLR)、昆明(KUNM-SLR)和西安(XIAA-SLR)3個并址站歸心測量數(shù)據(jù)，獲取了3個并址站的歸心基線及其協(xié)方差陣，SLR并址站外業(yè)觀測方案具體可參考文獻[12—13]。GNSS基線網(wǎng)和地面觀測量的定權采用方差分量估計法，具體可參考文獻[25]。計算步驟如下：

首先用GAMIT軟件解算出SLR望遠鏡周圍GNSS強制觀測墩構成控制網(wǎng)的基線向量；其次列出GNSS網(wǎng)基線向量、地面三維觀測量的觀測方程，再引入本文總結的多類約束條件方程，利用式(28)和式(29)解算出“陸態(tài)網(wǎng)絡”3個SLR并址站的歸心基線及其協(xié)方差矩陣。解算結果如下：

表1給出3個并址站的歸心基線及其中誤差；表2、表3和表4為3個并址站歸心基線的方差協(xié)方差陣；表5給出與文獻[12]的比較結果；表6 給出與ITRF2014的比較結果；表7和表8分別給出兩個并址站的兩軸偏差及其中誤差。

表1 3個并址站的歸心基線及其中誤差

注：BJFS和KUNM為SLR站并址的IGS站。XIAA為“陸態(tài)網(wǎng)絡”站點。

表2 BJFS站歸心基線的方差協(xié)方差陣

表3 KUNM站歸心基線的方差協(xié)方差陣

表4 XIAA站歸心基線的方差協(xié)方差陣

表5 “一步解”和文獻[12]結果的差值

Tab.5 Differences between one step solution and Gong (2013)

mm

表6 3個并址站歸心基線與ITRF2014的比較

表7 3個SLR并址站兩軸之間的偏差

表8 3個SLR并址站兩軸之間偏差的中誤差

由以上的結果可知：

(1) 3個并址站歸心基線中誤差基本位于2 mm左右，其中誤差最大為2.1 mm。

(2) 本文“一步解”得出的歸心基線與Gong的結果相比，基線向量的差值分量小于2 mm，差值最大為1.7 mm。出現(xiàn)差值的主要原因是Gong采用分步解法，而且未考慮兩軸偏差、觀測標志與參考點滿足的各種幾何條件，因此從理論上本文的算法更加嚴密，結果更加可靠。

(3) 與ITRF2014參考值相比，差值普遍較大，其中差值最大為32.3 mm。主要原因在于IFRF2014解算時未考慮GNSS、VLBI、SLR、DORIS這4種技術之間的系統(tǒng)偏差，導致本文測定的并址站歸心基線與ITRF2014采用值的差異較大。

(4) 3個SLR望遠鏡兩軸之間的偏差最大為3.5 mm，其中中誤差最大不超過2.0 mm。

3 結 論

針對已有的并址站歸心基線解算中需要分步解算、涉及多次坐標轉換和未充分考慮多種約束條件等問題，本文提出了并址站歸心基線的“一步解”。“一步解”是將SLR望遠鏡參考點和軸偏差引入至約束方程中，按照附有約束條件的間接平差直接獲取歸心基線及其協(xié)方差陣，理論嚴密、數(shù)學模型簡單、易于程序設計，經(jīng)與已有算法的結果相比，差值基本在2 mm左右；利用北京、昆明和西安SLR望遠鏡的實測數(shù)據(jù)，計算出兩軸的偏差，偏差分別為3.8、0.7、3.6 mm，本文的解算方法和結果對ITRF解算具有一定的參考價值。

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