中心型時(shí)間地圖的構(gòu)建方法與實(shí)現(xiàn)

王麗娜，李 響，江 南，楊振凱，楊 飛

信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052

在地理學(xué)領(lǐng)域，時(shí)間距離常作為衡量可達(dá)性或經(jīng)濟(jì)聯(lián)系強(qiáng)度的一個(gè)重要指標(biāo)，用于區(qū)域的交通可達(dá)性、城市空間分布格局、社會(huì)經(jīng)濟(jì)過(guò)程等的分析研究中[1-5]。因此時(shí)間距離的有效可視化表達(dá)對(duì)于地理空間的數(shù)據(jù)分析和規(guī)律探索具有重要意義。

時(shí)間地圖(time-space map)是時(shí)間距離可視化的一種有效手段，它的研究最早可以追溯到20世紀(jì)60年代[6-7]。時(shí)間地圖是將地理空間中的兩個(gè)地理實(shí)體之間的時(shí)間距離替代傳統(tǒng)地圖中的空間距離[8-10]。根據(jù)點(diǎn)空間分布結(jié)構(gòu)的不同可分為網(wǎng)絡(luò)型[11-13]和中心型兩種方法體系。中心型時(shí)間地圖描述的是各個(gè)點(diǎn)到特定中心點(diǎn)的時(shí)間距離，它一般有兩種類型：一種是采用了不規(guī)則等時(shí)線法(irregular isochrones)，類似于等高線，即在地圖上使用不規(guī)則的曲線將距離中心點(diǎn)相等時(shí)間的點(diǎn)連接起來(lái)[14-15]；另一種則是同心圓式等時(shí)線法(concentric isochrones)[16-18]，該方法是將原圖作變形處理，使得中心點(diǎn)與周圍點(diǎn)之間的距離表示時(shí)間距離，這樣從中心點(diǎn)起算的等時(shí)線是同心圓式的。

作為一種典型的線性Cartogram[8]，同心圓式等時(shí)線法更為專注地表達(dá)時(shí)間距離，更符合人類的心象認(rèn)知，能夠讓人從全新的視角快速且有效地認(rèn)知和解讀中心點(diǎn)與周圍點(diǎn)之間的時(shí)間距離關(guān)系。由于該方法需要對(duì)原地理空間扭曲變形，且自動(dòng)生成過(guò)程復(fù)雜，目前對(duì)該方法的自動(dòng)生成研究并不多。文獻(xiàn)[16]利用薄板樣條函數(shù)變形技術(shù)實(shí)時(shí)生成同心圓式的等時(shí)線圖。文獻(xiàn)[17]利用三角剖分技術(shù)來(lái)構(gòu)建中心型時(shí)間地圖，其基本思想是以控制點(diǎn)集為頂點(diǎn)對(duì)原地圖進(jìn)行三角剖分，然后對(duì)每個(gè)三角形內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行仿射變換。文獻(xiàn)[18]基于移動(dòng)最小二乘法對(duì)地圖進(jìn)行仿射變換，其核心思想是基于控制點(diǎn)位置的變化，利用移動(dòng)最小二乘算法獲得描述整幅圖像的變形函數(shù)，該變形函數(shù)能夠?qū)⒃貓D上的任一點(diǎn)一一映射到時(shí)間地圖中。雖然上述研究對(duì)中心型時(shí)間地圖的構(gòu)建進(jìn)行了初探，但仍存在以下3個(gè)問(wèn)題：

(1) 以往研究更多地關(guān)注時(shí)間地圖的變形轉(zhuǎn)換過(guò)程，忽略了時(shí)間地圖與原地圖的尺度一致性問(wèn)題，因此難以直接對(duì)時(shí)間地圖和原地圖進(jìn)行對(duì)比分析。

(2) 以往研究都較好地完成原地圖(以邊界為例)整體變形轉(zhuǎn)換，但在局部區(qū)域會(huì)出現(xiàn)“線交叉”這樣錯(cuò)誤的拓?fù)潢P(guān)系表達(dá)，影響整體可視化效果和易讀性，會(huì)給用戶帶來(lái)讀圖認(rèn)知上的困惑。

(3) 以往研究較少顧及對(duì)時(shí)間地圖空間變形的可視化表達(dá)。空間變形的表達(dá)能夠揭示地理空間和時(shí)間空間兩個(gè)空間模型分布特征的相似性，探索時(shí)間地圖的空間變形規(guī)律和趨勢(shì)。

為解決上述問(wèn)題，本文提出了一種帶有約束條件的移動(dòng)最小二乘變形算法，并以真實(shí)的鐵路時(shí)間數(shù)據(jù)為例構(gòu)建以北京市為中心的時(shí)間地圖，驗(yàn)證該方法的可行性和有效性。

1 整體思路

首先在時(shí)間距離的空間轉(zhuǎn)換中，設(shè)計(jì)了距離恒定性等原則，保證時(shí)間地圖與原地圖保持尺度一致性，便于兩者進(jìn)行比較分析；然后提出了一種帶有約束條件的移動(dòng)最小二乘算法對(duì)原地圖進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換，保證了拓?fù)潢P(guān)系的正確性，并對(duì)時(shí)間地圖所產(chǎn)生的空間變形進(jìn)行可視化。圖1是基于移動(dòng)最小二乘法的中心型時(shí)間地圖的構(gòu)建方法的整體思路。

圖1 基于移動(dòng)最小二乘法的中心型時(shí)間地圖構(gòu)建方法整體思路Fig.1 The general idea of construction method of a central time-space map based on moving least squares method

該方法需要兩種不同類型的數(shù)據(jù)，第一類數(shù)據(jù)是控制點(diǎn)數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)包含控制點(diǎn)集的空間坐標(biāo)和該點(diǎn)到中心點(diǎn)的時(shí)間，然后通過(guò)時(shí)間距離的空間轉(zhuǎn)換，獲得所有控制點(diǎn)轉(zhuǎn)換后的空間坐標(biāo)，在這個(gè)過(guò)程中通過(guò)設(shè)定距離恒定性等原則來(lái)解決尺度一致性問(wèn)題。第二類數(shù)據(jù)是需要轉(zhuǎn)換的地形圖數(shù)據(jù)(以政區(qū)邊界為例)，由于國(guó)家或者地區(qū)的邊界通常非常復(fù)雜，一方面為了降低地形圖數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換難度，另一方面本研究空間尺度為國(guó)家(nation)尺度，對(duì)精度的要求并不很高，因此可以對(duì)政區(qū)邊界進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。另外通過(guò)該地形圖的空間范圍可以生成相應(yīng)的正方形格網(wǎng)數(shù)據(jù)，格網(wǎng)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換變形可作為對(duì)時(shí)間地圖空間變形的可視化。

根據(jù)控制點(diǎn)集的空間位置變化，利用移動(dòng)最小二乘算法獲得描述整幅地圖的變形函數(shù)，對(duì)地形圖數(shù)據(jù)進(jìn)行空間轉(zhuǎn)換。在這個(gè)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一定的拓?fù)溴e(cuò)誤。一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)方面原因：一是地理空間向時(shí)間空間的轉(zhuǎn)換中，任何一種空間轉(zhuǎn)換方法都不可避免地會(huì)使原地理空間產(chǎn)生一定程度的扭曲和變形；二是由于空間距離和時(shí)間距離難以保持正相關(guān)性(即A、B兩點(diǎn)與中心點(diǎn)O的空間距離SOA>SOB，時(shí)間距離也保持同樣的關(guān)系TOA>TOB)，造成轉(zhuǎn)換后會(huì)出現(xiàn)“線交叉”這樣的“錯(cuò)誤”表達(dá)。從空間認(rèn)知的角度出發(fā)，空間拓?fù)潢P(guān)系是人們最易認(rèn)知的空間關(guān)系[19]，如若出現(xiàn)錯(cuò)誤，會(huì)讓人產(chǎn)生讀圖的困惑。因此需要盡可能地保留正確的空間拓?fù)潢P(guān)系，也即是不產(chǎn)生明顯的拓?fù)溴e(cuò)誤。如圖2所示，當(dāng)原圖2(a)中多邊形經(jīng)過(guò)變換后，但是變換后的圖2(b)的拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生了錯(cuò)誤，因此還需要增加約束條件對(duì)錯(cuò)誤的拓?fù)潢P(guān)系進(jìn)行修正(圖2(c))。

圖2 基于約束條件的多邊形拓?fù)溴e(cuò)誤修正Fig.2 Correction of polygon topology error based on constraints

正方形格網(wǎng)的變形可以度量時(shí)間地圖的空間變形，但在轉(zhuǎn)換中同樣會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的拓?fù)潢P(guān)系，如圖3所示。與多邊形相比，格網(wǎng)有更為明確的方位關(guān)系，因此兩者的約束條件也不同。另外，轉(zhuǎn)換后格網(wǎng)拓?fù)溴e(cuò)誤的出現(xiàn)與其疏密程度也有很大的關(guān)系。

圖3 基于約束條件的格網(wǎng)拓?fù)潢P(guān)系修正 Fig.3 Correction of gird topology error based on constraints

最后，為加強(qiáng)可視化效果，在轉(zhuǎn)換后的地圖上疊加同心圓式等時(shí)線，完成中心型時(shí)間地圖的構(gòu)建。

2 時(shí)間距離的空間轉(zhuǎn)換

時(shí)間距離的空間轉(zhuǎn)換是將時(shí)間距離數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成可以在地圖上表達(dá)的空間距離數(shù)據(jù)，并求得轉(zhuǎn)換后各點(diǎn)的新坐標(biāo)。文獻(xiàn)[3]基于超制圖學(xué)思想將時(shí)間距離轉(zhuǎn)換成空間距離，但由于選擇的標(biāo)準(zhǔn)化參數(shù)不合適，使得最后轉(zhuǎn)換得到的距離數(shù)據(jù)“整體偏小”，地圖上呈現(xiàn)出所有點(diǎn)向中心點(diǎn)收縮的趨勢(shì)。這顯然不符合一般規(guī)律(周圍點(diǎn)向中心點(diǎn)收縮或者向外擴(kuò)張)，容易讓人產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)知。結(jié)合已有研究，本文在時(shí)間距離向空間距離轉(zhuǎn)換的過(guò)程中主要基于以下3個(gè)原則：

(1) 方向不變性[20]，以保證正確的方位關(guān)系。

(2) 使用歐氏距離計(jì)算空間距離。

(3) 距離恒定性，也即是中心點(diǎn)到各個(gè)點(diǎn)的空間距離總和在轉(zhuǎn)換前后始終保持恒定。這樣，原地圖與轉(zhuǎn)換后的時(shí)間地圖保持尺度一致性，便于比較和分析。

定義：設(shè)二維平面上點(diǎn)集P={p1,p2,…,pn}，pi(xi,yi)∈P，中心點(diǎn)O的空間坐標(biāo)(xo,yo)。中心點(diǎn)O到點(diǎn)pi空間距離為si，時(shí)間為ti。中心點(diǎn)O到點(diǎn)集P中所有點(diǎn)的空間距離總和為S，時(shí)間總和為T，則

(1)

接下來(lái)，根據(jù)方向不變性求出點(diǎn)pi在時(shí)空轉(zhuǎn)換后的新空間坐標(biāo)

(2)

(3)

這樣，利用上述公式便可獲得點(diǎn)集P中所有點(diǎn)時(shí)空轉(zhuǎn)換后的空間坐標(biāo)，也就獲得了所有點(diǎn)的空間位置變化。

3 帶有約束條件的移動(dòng)最小二乘變形算法

3.1 移動(dòng)最小二乘法的基本原理

移動(dòng)最小二乘法是基于控制點(diǎn)的圖像變形方法最常用的方法之一，最早由Schaefer等引入到圖像變形方法中，此后諸多學(xué)者也都對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)和持續(xù)研究[21-23]。其基本思想是：根據(jù)控制點(diǎn)集位置前后的變化，利用移動(dòng)最小二乘原理求得一個(gè)變形函數(shù)f，使得對(duì)于原始圖上任一點(diǎn)v，f(v)是點(diǎn)v變形后圖像上的位置，f一般需要具備平滑性、插值性和確定性3個(gè)性質(zhì)。

定義：二維地圖上控制點(diǎn)集為P={p1,p2,…,pn}，pi∈P，變換后的控制點(diǎn)集為Q={q1,q2,…,qn}，qi∈Q。對(duì)于地圖上任一點(diǎn)v，根據(jù)移動(dòng)最小二乘法的理論模型，存在變形函數(shù)f使下式取得最小值

(4)

(5)

式中，pi和qi為控制點(diǎn)集中點(diǎn)的坐標(biāo)，用行向量表示。wi是權(quán)值函數(shù)，α為調(diào)節(jié)變形效果的參數(shù)，一般取1或2，α越大意味著權(quán)重值與距離的關(guān)系越密切。由于wi的取值隨著v的位置不同而變化，每個(gè)點(diǎn)都有著與其他點(diǎn)不一樣的權(quán)值函數(shù)，隨之也有著與其他點(diǎn)不同的變形函數(shù)，所以稱之為移動(dòng)最小二乘法。

一般的,變形函數(shù)f分解為線性轉(zhuǎn)換矩陣M和平移變換項(xiàng)Y，對(duì)于二維圖形，可以用2×2的矩陣和的1×2行向量來(lái)表示M和Y。變形函數(shù)f可以用下式表示

f(v)=vM+Y

(6)

將公式(6)代入式(4)，求最小值，即對(duì)f的變量求導(dǎo)數(shù)且等于0

(7)

這樣可得變形函數(shù)的一般形式

f(v)=(v-p*)M+q*

(8)

式中，p*和q*為加權(quán)質(zhì)心

(9)

(10)

在此基礎(chǔ)上，公式(4)可以改寫為

(11)

移動(dòng)最小二乘法對(duì)線性變換矩陣M并沒有作限制。實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于不同的變形要求，可以對(duì)M作不同的限制，從而形成不同的變形效果。常見的變換形式有仿射變換，相似變換以及剛性變換，本文對(duì)M設(shè)置為一般的仿射變換，包含了縮放、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等變換成分。

對(duì)公式(11)求導(dǎo)使其等于零，可得出

(12)

則可得出仿射變換變形函數(shù)f，

(13)

f(v)的結(jié)果是一個(gè)1×2的矩陣，即是地圖中任一點(diǎn)v所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換后的新坐標(biāo)。

3.2 多邊形和格網(wǎng)約束條件

3.2.1 多邊形約束條件

多邊形在轉(zhuǎn)換時(shí)出現(xiàn)的主要拓?fù)溴e(cuò)誤是多邊形的邊界產(chǎn)生了自相交錯(cuò)誤。關(guān)于多條線段相交檢測(cè)最常用的算法是基于掃描線的Bentley-Ottmann算法[24]。但該算法應(yīng)用到多邊形邊界自相交檢測(cè)時(shí)，僅檢測(cè)非鄰近邊相交的交點(diǎn)，對(duì)于鄰近邊端點(diǎn)相交則不予考慮。如圖4(a)所示，僅黑色點(diǎn)被檢測(cè)，而白色端點(diǎn)是不予檢測(cè)的。當(dāng)檢測(cè)出多邊形邊界自相交后，對(duì)相交的鄰近區(qū)域的邊界線進(jìn)行調(diào)整，通過(guò)去除邊界上急劇變化的點(diǎn)(圖中虛線框所標(biāo)示的點(diǎn))，使得邊界線趨于平滑直至不出現(xiàn)自相交情況，如圖4(a)到4(b)，直至4(c)。

假定多邊形由n個(gè)線段L組成，Ω={Li}，i=1,…,n。經(jīng)過(guò)Bentley-Ottmann算法檢測(cè)出k個(gè)交點(diǎn)集合Λ={Ij}，j=1,…,k，其中第a個(gè)交點(diǎn)Ia，a∈{1,…,k}。由線段Le,Lf(e,f∈{1,…,n})相交而成，那么交點(diǎn)Ia對(duì)應(yīng)的鄰近線段集合Δa={Li},i=e-Θ,e-Θ+1，…,f+Θ-1，f+Θ，Θ為一個(gè)固定閾值。依次對(duì)k個(gè)交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的鄰近線段集合Δ的頂點(diǎn)夾角逐次進(jìn)行檢查，如果夾角小于一個(gè)給定閾值σ(σ取值過(guò)小，迭代次數(shù)過(guò)多，難以消除交叉點(diǎn)；取值過(guò)大，會(huì)使得邊界變形太大，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，本文取值為80°。)，就去除該頂點(diǎn)，直至該區(qū)域線段集合不再產(chǎn)生自相交問(wèn)題。整個(gè)算法如圖5所示。

圖4 多邊形邊界拓?fù)溴e(cuò)誤的檢測(cè)和修改Fig.4 Detection and modification of polygon boundary topological errors

圖5 多邊形約束條件算法流程圖Fig.5 The flow chart of polygon constraints algorithm

3.2.2 格網(wǎng)約束條件

格網(wǎng)的方位關(guān)系明確，因此最簡(jiǎn)單的約束方法是四方向(東、西、南、北)約束，即某一格網(wǎng)點(diǎn)P變換后的位置，無(wú)論在X和Y方向上，也都必須介于它在原始格網(wǎng)的相鄰兩點(diǎn)轉(zhuǎn)換后的位置之間。如果違背了該約束條件，則要調(diào)整該點(diǎn)P坐標(biāo)直至符合四方向約束原則。但是四方向約束并不能完全保證格網(wǎng)的相對(duì)位置關(guān)系正確，如下圖所示，圖6(a)是原始的3×3格網(wǎng)，共9個(gè)點(diǎn)，圖上標(biāo)示出每個(gè)點(diǎn)的行號(hào)和列號(hào)。圖6(b)，6(c)均是變換后的9個(gè)點(diǎn)，虛線圓圈表示的點(diǎn)都符合四方向約束原則，但格網(wǎng)線出現(xiàn)了線交叉。因此有必要將四方向約束原則擴(kuò)展至八方向約束(東、西、南、北、東南、東北、西南、西北)，從而避免線交叉。

圖6 四方向約束條件下的線交叉現(xiàn)象Fig.6 Line crossing in four-direction constraints

當(dāng)檢測(cè)出格網(wǎng)點(diǎn)拓?fù)錄_突時(shí)，緊接著需要解決的問(wèn)題是如何進(jìn)行有效的調(diào)整。如圖7(a)所示，出現(xiàn)拓?fù)溴e(cuò)誤的原因是點(diǎn)(1，1)應(yīng)該在點(diǎn)(1，2)的左邊，因此有兩種調(diào)整策略，一種如圖7(b)所示，保持點(diǎn)(1，2)位置不變，將點(diǎn)(1，1)強(qiáng)行移動(dòng)到點(diǎn)(1，2)的左邊；另一種如圖7(c)所示，保持點(diǎn)(1，1)位置不變，將點(diǎn)(1，2)強(qiáng)行移動(dòng)到點(diǎn)(1，1)的右邊。

圖7 兩種不同移動(dòng)沖突點(diǎn)的方案Fig.7 Two strategies for moving conflict points

如何對(duì)兩種方案進(jìn)行取舍呢?本文取舍的基本依據(jù)是在保持拓?fù)潢P(guān)系相對(duì)正確的前提下，能夠使調(diào)整后的格網(wǎng)保持原來(lái)格網(wǎng)的整體變形趨勢(shì)的方案最優(yōu)。將格網(wǎng)按照稀疏程度分成若干級(jí)別，如2×2格網(wǎng)為第1級(jí)別，4×4格網(wǎng)為第2級(jí)別，依此類推。假定當(dāng)?shù)趉級(jí)格網(wǎng)產(chǎn)生了錯(cuò)誤的拓?fù)潢P(guān)系時(shí)，將不同方案調(diào)整后的格網(wǎng)和第k-1級(jí)格網(wǎng)插值所產(chǎn)生的第k級(jí)格網(wǎng)進(jìn)行比較，從而確定何種方案最優(yōu)。圖8(a)上是第k-1級(jí)格網(wǎng)，其中虛框是第k級(jí)格網(wǎng)產(chǎn)生錯(cuò)誤拓?fù)潢P(guān)系的區(qū)域。圖8(a)下是由第k-1級(jí)格網(wǎng)根據(jù)插值預(yù)估出來(lái)的第k級(jí)格網(wǎng)。而圖8(b)下和圖8(c)下則是根據(jù)不同方案調(diào)整后的簡(jiǎn)化圖，不難發(fā)現(xiàn)圖8(c)和圖8(a)在整體形態(tài)上更為接近。因此認(rèn)為圖8(c)調(diào)整方案更優(yōu)。

圖8 兩種方案的比較Fig.8 The comparison of two solutions

從計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)的角度而言，比較兩個(gè)沖突點(diǎn)與上一級(jí)格網(wǎng)參考點(diǎn)(該點(diǎn)可能是上一級(jí)格網(wǎng)點(diǎn)，也可能是插值點(diǎn))之間的距離，距離越近，表示該沖突點(diǎn)更好地保持了原格網(wǎng)的整體形態(tài)，因此保留距離近的點(diǎn)，移動(dòng)距離遠(yuǎn)的點(diǎn)。如圖9所示，黑色格網(wǎng)點(diǎn)表示上一級(jí)格網(wǎng)點(diǎn)，灰色點(diǎn)是插值點(diǎn)。圖中點(diǎn)(1，2)和點(diǎn)(1，1)為沖突點(diǎn)，顯然d1,2>d1,1，因此移動(dòng)點(diǎn)(1，2)。

4 實(shí)例——以北京市為中心的中國(guó)鐵路時(shí)間地圖的構(gòu)建

4.1 時(shí)間數(shù)據(jù)來(lái)源和時(shí)間距離的空間轉(zhuǎn)換

近些年中國(guó)鐵路的快速發(fā)展大大加強(qiáng)了區(qū)域間的聯(lián)系，縮短了中心城市與其他城市間的時(shí)空距離[25]。為了探索北京市與全國(guó)城市間的時(shí)間距離關(guān)系，本文根據(jù)12306網(wǎng)站提供的鐵路時(shí)刻表，統(tǒng)計(jì)了2016年北京市到全國(guó)307個(gè)市縣的最短鐵路旅行時(shí)間，這里有兩點(diǎn)數(shù)據(jù)說(shuō)明：

(1) 307個(gè)市縣中包含具有鐵路信息的地級(jí)城市，并對(duì)如新疆的稀疏區(qū)域增加了部分縣作為控制點(diǎn)。另外，香港、澳門和臺(tái)北市的時(shí)間數(shù)據(jù)分別以廣州，珠海和福州的時(shí)間數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)并考慮兩者間的空間距離。

(2) 考慮到本研究涉及的空間尺度為國(guó)家尺度，對(duì)所有市縣統(tǒng)一“以點(diǎn)代面”，時(shí)間統(tǒng)計(jì)不考慮換乘時(shí)間，也不考慮同一城市不同車站間的距離(如鄭州東站和鄭州站均視為“鄭州”)。

圖9 最優(yōu)方案的計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)Fig.9 The algorithm of determining the optimal solution

在獲得北京市到307個(gè)市縣的鐵路時(shí)間后，根據(jù)公式(2)、(3)，計(jì)算獲得所有市縣變換后的空間坐標(biāo)和時(shí)空轉(zhuǎn)換參數(shù)，篇幅所限，下表1僅列出部分城市的數(shù)據(jù)。圖10是根據(jù)鐵路時(shí)間獲得的307個(gè)市縣控制點(diǎn)的位置變化。

表1 部分城市的轉(zhuǎn)換前后的空間坐標(biāo)和時(shí)空變化參數(shù)

Tab.1 Transformed coordinates，its original coordinates and space-time conversion parameters of some cities

城市名稱原始坐標(biāo)變換后坐標(biāo)經(jīng)度緯度經(jīng)度緯度時(shí)空變化參數(shù)r北京116.38139.924116.38139.924鄭州113.65034.757115.03137.3690.494石家莊114.49038.045115.42738.9760.504南京118.77332.048117.65835.7190.534武漢114.29230.568115.25734.8910.538長(zhǎng)沙112.98128.201114.49233.4100.556濟(jì)南117.00636.667116.72938.1110.557廣州113.26123.119114.61230.3950.567西安108.94934.262112.15136.7010.569上海121.46931.238119.30234.9370.574天津117.20339.131116.85839.4640.580杭州120.15930.266118.58134.2990.582合肥117.27631.863116.91035.1570.591香港114.15422.281114.98728.8750.626貴陽(yáng)106.71126.577110.21231.4090.638

圖10 根據(jù)鐵路時(shí)間獲得307個(gè)市縣點(diǎn)的位置變化，紅色箭頭表示向外擴(kuò)張，藍(lán)色表示向內(nèi)收縮Fig.10 Position changes of 307 cities according to the railway time，red vectors devote expansion，while blue indicates shrink

根據(jù)時(shí)空變化參數(shù)r對(duì)307個(gè)市縣點(diǎn)的收縮或擴(kuò)張程度進(jìn)行可視化，如圖11示。紅色表示該點(diǎn)向外擴(kuò)張，藍(lán)色表示向內(nèi)收縮，顏色的深淺表示收縮或擴(kuò)張程度，顏色越深，程度越大。從圖上可以看到，向內(nèi)收縮的城市主要分布在中國(guó)的中部和東南部以及東北部分地區(qū)。向外擴(kuò)張的城市主要分布于中國(guó)的北部和西部地區(qū)。并且，北京—上海方向和北京—廣州方向沿線城市的收縮程度較大，很明顯這是因?yàn)楦哞F沿線城市通行時(shí)間短，時(shí)間收斂較大[1]。

圖11 中國(guó)307個(gè)市縣點(diǎn)的時(shí)間距離收縮或擴(kuò)張程度圖Fig.11 The map of China’s cities time-space conversion degree

4.2 大陸邊界數(shù)據(jù)和格網(wǎng)數(shù)據(jù)的變形轉(zhuǎn)換

由于中國(guó)不同區(qū)域的鐵路交通發(fā)展?fàn)顩r很不均衡，空間距離和時(shí)間距離難以完全保持正相關(guān)性，比如，從北京到廣州的空間距離大于北京到廈門的，但是鐵路時(shí)間距離上卻是相反的關(guān)系。因此，需要使用約束條件修正邊界和格網(wǎng)轉(zhuǎn)換時(shí)出現(xiàn)的拓?fù)溴e(cuò)誤。

4.2.1 大陸邊界數(shù)據(jù)的變形轉(zhuǎn)換

首先需要對(duì)1∶400萬(wàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合和簡(jiǎn)化。根據(jù)4.1節(jié)中獲得的307個(gè)市縣控制點(diǎn)位置的變化對(duì)邊界進(jìn)行移動(dòng)最小二乘變形轉(zhuǎn)換，結(jié)果如圖12所示，臺(tái)灣島和海南島沒有產(chǎn)生拓?fù)溴e(cuò)誤，但是大陸的邊界上有5處拓?fù)溴e(cuò)誤。

本圖僅為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不作為版圖展示。圖12 轉(zhuǎn)換后邊界出現(xiàn)的拓?fù)溴e(cuò)誤Fig.12 Topological errors in transformed boundary

根據(jù)多邊形約束條件，對(duì)大陸邊界數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，圖13(a)到圖13(c)依次是三次迭代的結(jié)果，修正了出現(xiàn)的拓?fù)溴e(cuò)誤，并對(duì)大陸的邊界進(jìn)行了光滑處理。

本圖僅為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不作為版圖展示。圖13 依據(jù)約束條件修正邊界拓?fù)溴e(cuò)誤Fig.13 Correct boundary errors based on constrains

4.2.2 格網(wǎng)數(shù)據(jù)的變形轉(zhuǎn)換

當(dāng)格網(wǎng)較稀疏時(shí)一般不會(huì)產(chǎn)生拓?fù)溴e(cuò)誤，如圖14是間隔為8度的格網(wǎng)。

但是當(dāng)格網(wǎng)進(jìn)一步加密的時(shí)候，則產(chǎn)生了拓?fù)溴e(cuò)誤。圖15(a)是間隔為4度的出現(xiàn)拓?fù)溴e(cuò)誤的格網(wǎng)，圖15(b)是通過(guò)約束條件調(diào)整后的格網(wǎng)。

格網(wǎng)再進(jìn)一步加密，產(chǎn)生的拓?fù)溴e(cuò)誤更多。圖16是2度間隔的格網(wǎng)應(yīng)用約束條件的前后對(duì)比圖，不難發(fā)現(xiàn)格網(wǎng)的拓?fù)溴e(cuò)誤得到了有效的修正，且保持了總體的變形特征和趨勢(shì)。

本圖僅為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不作為版圖展示。圖14 間隔為8度的格網(wǎng)的變形轉(zhuǎn)換結(jié)果Fig.14 The result of the transformation of the grids at 8 degree intervals

本圖僅為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不作為版圖展示。圖15 間隔為4度的格網(wǎng)變形轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的拓?fù)溴e(cuò)誤修正Fig.15 The correction of topology errors resulting from grids deformation conversion at 4 degree intervals

本圖僅為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不作為版圖展示。圖16 間隔為2度的格網(wǎng)變形轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的拓?fù)溴e(cuò)誤修正Fig.16 The correction of topology errors resulting from grids deformation conversion at 2 degree intervals

4.3 以北京市為中心的時(shí)間地圖

地圖數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)變形轉(zhuǎn)換后，地圖上中心點(diǎn)與任意一點(diǎn)的距離表示的是兩點(diǎn)之間的時(shí)間距離。為了加強(qiáng)可視化效果，讓人更容易感知時(shí)間距離的大小，以北京為中心，繪制同心圓式等時(shí)線，如圖17所示(圖幅所限，僅標(biāo)注部分城市)。從圖上可以快速了解北京市與各個(gè)城市之間的時(shí)間距離關(guān)系，比如可快速獲知北京市3小時(shí)可達(dá)城市。

本圖僅為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不作為版圖展示。圖17 以北京為中心的同心圓式等時(shí)線圖Fig.17 The Beijing-centered concentric circular isochronal map

4.4 時(shí)間地圖空間變形的可視化

時(shí)間地圖的空間變形反映的是地理空間和時(shí)間空間相互關(guān)聯(lián)程度。從最后變形后的時(shí)間地圖可以看出，整體上西部和東北部區(qū)域向外擴(kuò)張、東南部向內(nèi)收縮。并且在東南區(qū)域和部分東北區(qū)域，變形較為劇烈，且呈現(xiàn)向中心點(diǎn)收縮趨勢(shì)，而大部分西部區(qū)域變形較為均勻，這與該區(qū)域具有鐵路時(shí)間信息的市縣點(diǎn)數(shù)量較少有關(guān)系，如圖18所示。

本圖僅為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不作為版圖展示。圖18 間隔為2度的格網(wǎng)變形表現(xiàn)時(shí)間地圖的變形Fig.18 The deformations of grids at 2 degree intervals the deformations of time-space map

5 總結(jié)與展望

本文以真實(shí)的鐵路時(shí)間數(shù)據(jù)為例，基于帶有約束條件的移動(dòng)最小二乘方法有效地完成了地理空間到時(shí)間空間的尺度一致性轉(zhuǎn)換，規(guī)避了拓?fù)溴e(cuò)誤，并以一種新穎而有效的可視化方法——中心型時(shí)間地圖表達(dá)時(shí)間距離。由于該方法從人的心象認(rèn)知出發(fā)，專注于時(shí)間距離的表達(dá)，能夠讓人快速認(rèn)知中心點(diǎn)與周圍點(diǎn)之間的時(shí)間距離關(guān)系。除此以外，通過(guò)對(duì)地理空間和時(shí)間空間模型分布相異性的對(duì)比分析，直觀地揭示出時(shí)間地圖的空間變形規(guī)律和趨勢(shì)，并可為進(jìn)一步的基于時(shí)間距離的交通可達(dá)性、空間結(jié)構(gòu)變化等研究提供基礎(chǔ)。

在該方法的研究基礎(chǔ)上，今后的研究重點(diǎn)是進(jìn)一步挖掘時(shí)間距離數(shù)據(jù)背后隱含的地理規(guī)律和趨勢(shì)，與其他相近數(shù)據(jù)(如費(fèi)用)進(jìn)行對(duì)比與分析，深入挖掘不同數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系；對(duì)比分析不同時(shí)間的時(shí)間地圖以探索時(shí)間距離變化過(guò)程中的規(guī)律和特征。為應(yīng)對(duì)進(jìn)一步的研究，還需要進(jìn)一步擴(kuò)展相關(guān)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，比如在時(shí)間數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)還需將車次數(shù)量作為權(quán)重考慮。

[1] 蔣海兵，徐建剛，祁毅.京滬高鐵對(duì)區(qū)域中心城市陸路可達(dá)性影響[J].地理學(xué)報(bào)，2010，65(10)：1287-1298. JIANG Haibin，XU Jiangang，QI Yi.The Influence of Beijing-Shanghai High-Speed Railways on Land Accessibility of Regional Center Cities[J].Acta Geographica Sinica，2010，65(10)：1287-1298.

[2] 靳海攀，鄭林，張敬偉.基于時(shí)間距離的鄱陽(yáng)湖生態(tài)經(jīng)濟(jì)區(qū)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系變化網(wǎng)絡(luò)分析研究[J].經(jīng)濟(jì)地理，2013，33(6)：148-154. JIN Haipan，ZHENG Lin，ZHANG Jingwei.Network Analysis of Economic Contacts Variability in Poyang Lake Ecological Economic Zone based on Travel Time Cost[J].Economic Geography，2013，33(6)：148-154.

[3] 余金艷，劉衛(wèi)東，王亮.基于時(shí)間距離的C2C電子商務(wù)虛擬商圈分析——以位于北京的淘寶網(wǎng)化妝品零售為例[J].地理學(xué)報(bào)，2013，68(10)：1380-1388. YU Jinyan，LIU Weidong，WANG Liang.Analysis of Virtual Trading Area of C2C E-commerce based on Temporal Distance：A Case Study of 50 Cosmetics Retail Stores on TAOBAO in Beijing[J].Acta Geographica Sinica，2013，68(10)：1380-1388.

[4] 陸軍，宋吉濤，梁宇生，等.基于二維時(shí)空地圖的中國(guó)高鐵經(jīng)濟(jì)區(qū)格局模擬[J].地理學(xué)報(bào)，2013，68(2)：147-158. LU Jun，SONG Jitao，LIANG Yusheng，et al.The Simulation of Spatial Distribution Patterns of China’s HSR-economic Zones based on the 2D Time-space Map[J].Acta Geographica Sinica，2013，68(2)：147-158.

[5] 王永超，吳曉舜，劉洋，等.基于可達(dá)性的沈陽(yáng)經(jīng)濟(jì)區(qū)中心地空間結(jié)構(gòu)演變[J].地域研究與開發(fā)，2013，32(1)：56-60. WANG Yongchao，WU Xiaoshun，LIU Yang，et al，The Evolution of the Structure of Central Places in Shenyang Economic Zone Based on Accessibility[J].Areal Research and Development，2013，32(1)：56-60.

[6] BUNGE W.Theoretical Geography[D].Washington：University of Washington，1960.

[7] TOBLER W R.Map Transformations of Geographic Space[D].Washington：University of Washington，1961.

[8] 王麗娜，江南，李響，等.Cartogram表示方法研究綜述[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2017，29(3)：393-405. WANG Lina，JIANG Nan，LI Xiang，et al.A Survey of Cartogram[J].Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics，2017，29(3)：393-405.

[9] BUCHIN K，VAN GOETHEM A，HOFFMANN M，et al.Travel-Time Maps：Linear Cartograms with Fixed Vertex Locations[C]∥Proceedings of the 8th International Conference on Geographic Information Science.Vienna，Austria：Springer International Publishing，2014：18-33.

[10] KAISER C，WALSH F，F(xiàn)ARMER C J Q，et al.User-centric time-distance representation of road networks[C]∥Proceedings of the 6th International Conference on Geographic Information Science.Berlin Heidelberg：Springer，2010：85-99.

[11] AXHAUSEN K W，DOLCI C，F(xiàn)R?HLICH P，et al.Constructing Time-Scaled Maps：Switzerland from 1950 to 2000[J].Transport Reviews，2008，28(3)：391-413.

[12] SHIMIZU E，INOUE R.A New Algorithm for Distance Cartogram Construction[J].International Journal of Geographical Information Science，2009，23(11)：1453-1470.

[13] AHMED N，MILLER H J.Time-Space Transformations of Geographic Space for Exploring，Analyzing and Visualizing Transportation Systems[J].Journal of Transport Geography，2007，15(1)：2-17.

[14] 何亞坤，艾廷華，禹文豪.等時(shí)線模型支持下的路網(wǎng)可達(dá)性分析[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2014，43(11)：1190-1196.DOI：10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0183. HE Yakun，AI Tinghua，YU Wenhao.Accessibility Analysis of Road Network Supported by Isochrone Model[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2014，43(11)：1190-1196.DOI：10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0183.

[15] 李文翎，李尚智，黎雅雯，等.基于GIS的廣州城市時(shí)間地圖研究[J].熱帶地理，2008，28(3)：218-222，227. LI Wenling，LI Shangzhi，LI Yawen，et al.A Study on Urban Temporal Map of Guangzhou Based on GIS Based on GIS[J].Tropical Geography，2008，8(3)：218-222，227.

[16] HONG S，KIM Y S，YOON J C，et al.Traffigram：Distortion for Clarification via Isochronal Cartography[C]∥Proceedings of the SIGCHI Conference on Human Factors in Computing Systems.Toronto，Ontario，Canada：ACM Press，2014：907-916.

[17] BIES S，VAN KREVELD M.Time-Space Maps from Triangulations[C]∥Proceedings of the 20th International Conference on Graph Drawing.Redmond，WA：Springer，2012：511-516.

[18] ULLAH R，KRAAK M J.An Alternative Method to Constructing Time Cartograms for the Visual Representation of Scheduled Movement Data[J].Journal of Maps，2015，11(4)：674-687.

[19] 劉瑜，龔詠喜，張晶，等.地理空間中的空間關(guān)系表達(dá)和推理[J].地理與地理信息科學(xué)，2007，23(5)：1-7. LIU Yu，GONG Yongxi，ZHANG Jing，et al.Representation and Reasoning of Spatial Relations in Geographical Space[J].Geography and Geo-information Science，2007，23(5)：1-7.

[20] 沈陳華，王旭姣，司亞莉，等.基于旅行者運(yùn)動(dòng)軌跡的時(shí)間地圖變換[J].地理研究，2015，34(6)：1160-1172. SHEN Chenhua，WANG Xujiao，SI Yali，et al.Time-space Map Transformation Based on Travelers’ Motion Trajectory[J].Geographical Research，2015，34(6)：1160-1172.

[21] SCHAEFER S，MCPHAIL T，WARREN J.Image deformation using moving least squares[J].ACM Transactions on Graphics (TOG)，2006，25(3)：533-540.

[22] 劉婷.移動(dòng)最小二乘圖像變形方法研究[D].大連：大連理工大學(xué)，2008. LIU Ting.Study on Image Deformation Based on Moving Least Squares[D].Dalian：Dalian University of Technology，2008.

[23] 杜曉榮，平淑文，張永.基于移動(dòng)最小二乘法的圖形圖像局部變形技術(shù)[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2015，27(4)：816-823. DU Xiaorong，PING Shuwen，ZHANG Yong.Graphics and Image Local Deformation Based on Moving Least Squares Method[J].Journal of System Simulation，2015，27(4)：816-823.

[24] BENTLEY J L，OTTMANN T A.Algorithms for Reporting and Counting Geometric Intersections[J].IEEE Transactions on Computers，1979，28(9)：643-647.

[25] 王士君，馮章獻(xiàn)，劉大平，等.中心地理論創(chuàng)新與發(fā)展的基本視角和框架[J].地理科學(xué)進(jìn)展，2012，31(10)：1256-1263. WANG Shijun，F(xiàn)ENG Zhangxian，LIU Daping，et al.Basic Perspective and Preliminary Framework for the Theoretical Innovation and Development of Central Place Theory in New Times[J].Progress in Geography，2012，31(10)：1256-1263.