基于FFT-MA模擬與VFQA算法的縱波模量彈性阻抗隨機反演方法

趙 晨,張廣智,2,蔡 華,趙 軍,張佳佳,2,宋佳杰

(1.中國石油大學(xué)(華東),山東青島266580;2.海洋國家實驗室海洋礦產(chǎn)資源評價與探測技術(shù)功能實驗室,山東青島266071;3.中海石油(中國)有限公司上海分公司,上海200030)

目前,石油勘探已從簡單的構(gòu)造識別轉(zhuǎn)向復(fù)雜構(gòu)造、薄儲層的識別。對于儲層識別來說,選取合適的方法估算儲層敏感彈性參數(shù)具有重要意義。隨機地震反演方法以地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)為基礎(chǔ),其技術(shù)關(guān)鍵在于分析并擬合儲層地球物理特性的分布規(guī)律,并對不同地球物理參數(shù)進行研究,以獲得這些參數(shù)與地層巖性的關(guān)系[1]。地球物理參數(shù)可通過經(jīng)驗關(guān)系與儲層的巖性和流體成分相關(guān)聯(lián),因此,對于儲層描述而言,反演這些參數(shù)極有價值[2]。隨機模擬地震反演方法有機結(jié)合了地震隨機反演和地質(zhì)統(tǒng)計方法,考慮了地下介質(zhì)的隨機特性,因而其反演結(jié)果更符合實際地質(zhì)情況,且分辨率較高[3]。隨機反演主要包括隨機模擬技術(shù)和優(yōu)化理論。

HASS等[4]最早將序貫高斯模擬技術(shù)應(yīng)用到地震反演中。序貫高斯模擬是經(jīng)典的條件隨機模擬方法,主要用于連續(xù)變化的隨機模型[5],但該方法存在計算耗時、耗內(nèi)存等缺點[6-7]。而基于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)的譜模擬算法,其計算速度快于常規(guī)模擬方法[8],LE RAVALEC等[9]在此理論基礎(chǔ)上將快速傅里葉變換與滑動平均模擬相結(jié)合,提出了快速傅里葉變換滑動平均(Fast Fourier Transform-Moving Average,FFT-MA)模擬算法,提高了模擬的效率。近幾年,王保麗等[10]、孫瑞瑩等[11]與YIN等[12]將FFT-MA模擬與優(yōu)化算法相結(jié)合,進行了研究。

METROPOLIS等[13]率先提出了模擬退火(Simulated Annealing,SA)的概念;KIRKPATRICK等[14]利用SA尋找組合問題的最優(yōu)解;BASU等[15]對SA算法進行了改進,利用依賴于溫度的Cauchy或類Cauchy模型產(chǎn)生新解;楊輝等[16]將地球電磁資料與地震資料聯(lián)合起來,利用非常快速的模擬退火方法(Very Fast Simulated Annealing,VFSA)進行反演,模型試驗表明,可提高效率5～10倍。陳華根[17]針對VFSA在修改模型、概率接受、退火策略上做了進一步改進,并對重力和電磁資料進行了聯(lián)合計算。魏超等[18]參照SA算法提出了量子退火反演的原理和實現(xiàn)流程。量子退火(Quantum Annealing,QA)最優(yōu)化思想是從模擬退火發(fā)展而來的,只是它們的反演機制不同,量子退火是利用量子躍遷隧道效應(yīng)的機制,而模擬退火是基于熱力學(xué)的退火原理[19]。2015年,ALULAIW等[20]將基于QA算法的疊前反演方法應(yīng)用于實際地震資料。

CONNOLLY[21]于1999年提出了彈性阻抗的概念,并給出了彈性阻抗方程。WHITCOMBE[22]對Connolly彈性阻抗方程進行了標(biāo)準(zhǔn)化處理。彈性阻抗反演采用疊前角度部分疊加道集,具有較強的抗噪能力。之后,彈性阻抗反演得到了飛速發(fā)展。2016年,張世鑫等[23]提出了兩角度彈性阻抗反演技術(shù)用以解決大角度部分疊加數(shù)據(jù)缺失的問題。

反演算法的效率以及反演結(jié)果的可靠性是縱波模量估算的關(guān)鍵。本文將FFT-MA模擬與改進后的非?？焖俚牧孔油嘶?Very Fast Quantum Annealing,VFQA)算法相結(jié)合,提出了基于FFT-MA模擬與VFQA算法的彈性阻抗隨機反演方法,提高了反演的計算效率。VFQA算法借鑒了非?？焖俚哪M退火算法,通過修改擾動方式及增加記憶功能等措施提高了量子退火算法的收斂速度。在反演過程中,本文由FFT-MA模擬獲得多個角度彈性阻抗的先驗信息,利用角度疊加數(shù)據(jù)及正演關(guān)系獲得似然函數(shù),并添加低頻平滑約束信息,提高了反演結(jié)果的可靠性。最后給出了理論模型數(shù)據(jù)和實際地震數(shù)據(jù)的應(yīng)用實例。

1 理論和方法

本文提出的基于彈性阻抗隨機地震反演的縱波模量估算方法在貝葉斯理論框架下進行,主要分為隨機反演理論和彈性阻抗反演理論。

1.1 隨機反演理論

本文將FFT-MA模擬和VFQA優(yōu)化算法相結(jié)合,充分利用FFT-MA模擬和VFQA優(yōu)化算法在計算效率上所具有的優(yōu)勢,提高隨機反演的計算效率。關(guān)于反演精度問題,利用貝葉斯理論,并引入低頻平滑約束信息,來確保反演結(jié)果的精度及可靠性。

1.1.1 FFT-MA模擬

FFT-MA與經(jīng)典隨機模擬算法不同之處在于其為一種頻率域的譜模擬方法,模擬效率要高于傳統(tǒng)的模擬方法。該方法能夠分離模擬過程中的隨機項和空間結(jié)構(gòu)項,保證空間結(jié)構(gòu)不變且對隨機項進行擾動更新,易于結(jié)合優(yōu)化算法對反演問題進行求解[24]。

FFT-MA平均模擬的基本公式為:

(1)

FFT-MA模擬方法是一種非條件模擬方法,在實際應(yīng)用時應(yīng)采用克里金方法對模擬結(jié)果進行條件化處理,得到條件化FFT-MA算法。為驗證FFT-MA的模擬效果,丁龍翔[26]等將條件化的FFT-MA算法和經(jīng)典的序貫高斯模擬算法進行了對比,發(fā)現(xiàn)條件化FFT-MA算法相比序貫高斯模擬方法計算速度提高了十幾倍。

1.1.2QA優(yōu)化算法

優(yōu)化算法的評價主要通過比較優(yōu)化算法的精度及效率來確定。對于FFT-MA模擬結(jié)果的優(yōu)化,量子退火算法既保證了優(yōu)化結(jié)果的精度,又能提高優(yōu)化計算的效率。

量子退火主要利用量子漲落的機制,來完成最優(yōu)化過程,這是因為量子的隧道效應(yīng)使得粒子能夠穿過比其自身能量高的勢壘直接達到較低能量狀態(tài)[19]。與模擬退火方法相比,量子退火在退火收斂速度和避免陷入局部極小方面有一定優(yōu)勢。

當(dāng)有外力作用于體系后,系統(tǒng)的Hamilton量H為:

(2)

(3)

式中:P為粒子個數(shù);T為退火溫度。

相比于傳統(tǒng)的模擬退火算法,量子退火算法相當(dāng)于使用了一種新的接受策略,具體形式如(3)式所示。

1.1.3VFQA算法的改進思路

借鑒VFSA,我們對QA算法進行改進,得到非?？焖俚牧孔油嘶鹚惴?VFQA)。

1.1.3.1 擾動方式

VFSA算法采用了依賴于溫度的似Cauchy分布產(chǎn)生新的模型,使擾動步長隨溫度逐步衰減,加快了算法的收斂速度。同理,我們同樣可采用該方法去改進原有的量子退火算法,提高算法的收斂速度,具體形式為:

(4)

式中:mi為未修改模型中的某一參量;mj為修改后模型中的某一參量;[Ai,Bi]為mi的取值范圍;T為當(dāng)前的溫度;u為取值[0,1]的隨機數(shù)。

1.1.3.2 接受準(zhǔn)則

接受概率是當(dāng)前溫度下產(chǎn)生的新解可能被接受的概率。參考Metropolis接受準(zhǔn)則,改進的接受準(zhǔn)則為:

(5)

式中:K為一常數(shù);φ為隨溫度減小的量。當(dāng)ΔE≤0且exp{[-(ΔE+Kφ)]/T}>rand(rand為范圍為[0,1]的隨機數(shù))時,新解可以被接受,否則新解不能被接受。Kφ的引入,使迭代的反演結(jié)果在接近模型參數(shù)的時候,依舊存在一定的接受概率,使其快速接近最優(yōu)結(jié)果。

1.1.3.3 其它改進措施

在算法中加入記憶功能。設(shè)置一個儲存空間,并且將每個溫度下的最優(yōu)解保存在該儲存空間之中。最后通過比較各個溫度下的最優(yōu)解及最后所得解,找出其中的最小值,作為最終解,這樣,可以保證解最優(yōu)。

1.1.4 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建

要利用QA算法對模擬結(jié)果進行優(yōu)化,需構(gòu)建合適的目標(biāo)函數(shù)。貝葉斯理論框架下的隨機反演方法可以更好地融合地震數(shù)據(jù)和測井信息[27]。利用貝葉斯理論,并引入平滑彈性阻抗約束信息可有效地提高算法的精度及可靠性。

貝葉斯公式具體形式為:

(6)

式中:d表示實際地震記錄;p(m)為模型參數(shù)m的先驗概率密度;p(d|m)為似然函數(shù);p(m|d)為模型參數(shù)m的后驗概率密度。

(7)

式中:g表示正演算子;N表示實際地震數(shù)據(jù)的采樣點數(shù)量。

假設(shè)反演的模型參數(shù)滿足柯西約束的形式,故模型參數(shù)的先驗概率可表示為:

(8)

將(7)式、(8)式代入(6)式中,取對數(shù),并加入平滑約束項,即可獲得目標(biāo)函數(shù)形式:

(9)

1.2 基于縱波模量的彈性阻抗公式

基于Connolly彈性阻抗公式,宗兆云等[28]改用縱波模量M,剪切模量μ,密度ρ來表示Connolly彈性阻抗方程:

(10)

式中:M0,μ0,ρ0分別表示縱波模量、剪切模量和密度的平均值;參數(shù)a,b,c的取值分別為a=sec2θ/2,b=-4ksin2θ,c=1-sec2θ/2。

針對不同角度的地震數(shù)據(jù),反演可以得到至少3個不同角度的彈性阻抗體,即:I(θ1),I(θ2),I(θ3)。在角度相同時,各數(shù)據(jù)點的同種巖性參數(shù)[ln(M/M0),ln(μ/μ0)和ln(ρ/ρ0)]所對應(yīng)的系數(shù)值一致,不隨時間的變化而改變[29-30]。因此,3個不同角度的彈性阻抗可得到3個不同的公式:

我們利用井旁道彈性阻抗反演結(jié)果及測井?dāng)?shù)據(jù),可以估算出9個系數(shù)的值,將其代入公式(11)中,即可得到縱波模量等彈性參數(shù)的信息。

利用該彈性阻抗反演方法直接提取縱波模量參數(shù)可減小間接反演所帶來的累計誤差,提高反演的精度。

2 模型測試

利用二維Marmousi2模型中的一部分進行反演測試。圖1為彈性阻抗模型、合成地震記錄及提取的偽井?dāng)?shù)據(jù)(中角度彈性阻抗)。利用圖1c所示的偽井?dāng)?shù)據(jù)通過FFT-MA模擬獲得3個角度的彈性阻抗先驗信息,之后進行VFQA算法反演,獲得3個角度的彈性阻抗反演結(jié)果。圖2對比了無噪聲情況下反演的彈性阻抗與信噪比為3情況下反演的彈性阻抗結(jié)果。圖3為由圖2所示的彈性阻抗體中所提取的縱波模量剖面。

圖1 部分Marmous2模型a 彈性阻抗模型數(shù)據(jù); b 合成地震記錄; c 提取的偽井彈性阻抗數(shù)據(jù)

從圖2和圖3中可以看出,彈性阻抗反演結(jié)果與

圖2 反演得到的彈性阻抗數(shù)據(jù)a 無噪聲時小角度彈性阻抗反演結(jié)果; b 信噪比為3時小角度彈性阻抗反演結(jié)果; c 無噪聲時中角度彈性阻抗反演結(jié)果; d 信噪比為3時中角度彈性阻抗反演結(jié)果; e 無噪聲時大角度彈性阻抗反演結(jié)果; f 信噪比為3時大角度彈性阻抗反演結(jié)果

圖3 反演得到的縱波模量剖面a 未加噪聲; b 信噪比為3

模型數(shù)據(jù)比較吻合,并且提取的彈性參數(shù)比較可信,且存在噪聲的情況下,反演的彈性阻抗體和提取的彈性參數(shù)依舊比較可靠,均能較好地反映出1.35s附近的薄層,說明基于FFT-MA模擬與VFQA算法的反演方法可行,且具有一定的抗噪性和較高的分辨率。

為了更好地分析反演結(jié)果,我們從該二維模型中提取某一道進行分析。對該道數(shù)據(jù)分別利用非?？焖俚哪M退火算法(VFSA)、量子退火算法(QA)以及非?？焖俚牧孔油嘶鹚惴?VFQA)進行反演測試。

圖4為分別利用3種優(yōu)化算法(VFSA,QA,VFQA)得到的彈性阻抗與該道模型數(shù)據(jù)的對比結(jié)果(信噪比為3)。圖5為從這3種算法反演結(jié)果中提取的縱波模量的對比結(jié)果。從圖4和圖5中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)存在一定噪聲時,采用這3種優(yōu)化算法均能獲得與模型數(shù)據(jù)較為吻合的反演結(jié)果,但是QA算法及VFQA算法的精度要略高于VFSA算法。

表1給出了分別利用VFSA,QA以及VFQA進行反演時的計算速度以及精度的對比結(jié)果。圖6為分別利用VFSA,QA以及VFQA進行反演時接受概率隨迭代次數(shù)的變化。從表1及圖6可以看出,改進后的VFQA算法在迭代150次左右即可收斂,此時相對誤差約0.57%,耗時約25.56s,QA算法需迭代600次左右方可收斂,此時誤差約2.36%,耗時約60.33s,而VFSA算法須迭代900次左右才能收斂,耗時171.12s。因此,改進后的VFQA相比VFSA以及QA更有優(yōu)勢。

圖4 不同反演方法得到的彈性阻抗(紅線表示模型數(shù)據(jù),藍(lán)線表示反演結(jié)果)a VFSA; b QA; c VFQA

圖5 不同反演方法得到的縱波模量(紅線表示模型數(shù)據(jù),藍(lán)線表示反演結(jié)果)a VFSA; b QA; c VFQA

表1 3種算法的計算效率以及精度

圖6 不同反演方法接受概率隨迭代次數(shù)的變化a VFSA; b QA; c VFQA

3 實際數(shù)據(jù)分析

實際地震數(shù)據(jù)來自于國內(nèi)東部油田某工區(qū)。為了進行彈性阻抗反演,將疊前地震數(shù)據(jù)分成3個角度部分疊加數(shù)據(jù)(小角度:4°～20°,中角度:16°～32°,大角度:28°～44°),地震資料的垂向采樣率為0.002s,時間深度為2.344～2.650s。從該工區(qū)3個角度疊加數(shù)據(jù)中提取3個子波,利用井?dāng)?shù)據(jù)及確定性反演的結(jié)果通過FFT-MA模擬獲得先驗信息,之后利用改進后的VFQA算法進行反演。

圖7分別是小角度、中角度、大角度彈性阻抗的反演結(jié)果。圖8為提取的縱波模量剖面。從圖7和圖8可以看出,彈性阻抗反演結(jié)果和所提取的縱波模量剖面與井?dāng)?shù)據(jù)吻合較好,且時間深度在2.55s與2.58s附近的2個較薄的油層在反演剖面上有較好的顯示。

圖7 實際地震數(shù)據(jù)彈性阻抗的反演結(jié)果a 小角度; b 中角度; c 大角度

圖8 提取的縱波模量剖面

圖9為井旁道中角度彈性阻抗和縱波模量的反演結(jié)果與實際井?dāng)?shù)據(jù)的對比結(jié)果以及中角度彈性阻抗所合成的地震記錄與實際地震記錄的對比結(jié)果。從圖9可以看出,井旁道處反演結(jié)果所合成的地震記錄與實際地震記錄吻合較好,而井旁道反演結(jié)果雖然與實際井?dāng)?shù)據(jù)并未完全吻合(這是由于地震中存在噪聲的影響),但趨勢及值域范圍基本一致。

為了驗證反演的效果,以中角度彈性阻抗反演為例來說明。圖10a為中角度部分角度疊加剖面,圖10b 為中角度彈性阻抗反演合成地震記錄剖面?？梢钥闯?反演結(jié)果所合成的地震剖面(圖10b)與實際地震記錄(圖10a)較為接近,驗證了該反演方法在實際數(shù)據(jù)中的可行性。

圖9 井旁道中角度彈性阻抗(a)、縱波模量(b)的反演結(jié)果與實際井?dāng)?shù)據(jù)的對比結(jié)果以及中角度彈性阻抗所合成的地震記錄與實際地震記錄的對比結(jié)果(c)(紅線表示模型數(shù)據(jù),藍(lán)線表示反演結(jié)果)

圖10 實際地震記錄與反演結(jié)果所合成的地震記錄的對比a 中角度部分角度疊加剖面; b 中角度彈性阻抗反演合成地震剖面

4 結(jié)論

縱波模量是儲層識別中較為重要的彈性參數(shù)。本文提出了基于FFT-MA模擬與VFQA彈性阻抗隨機反演方法。利用FFT-MA模擬獲得先驗信息,正演關(guān)系和地震數(shù)據(jù)構(gòu)建似然函數(shù),并引入彈性阻抗平滑約束信息,提高了算法的分辨率和可靠性,利用VFSA思路改進QA,提高了計算效率。模型測試結(jié)果與實際數(shù)據(jù)的反演結(jié)果表明,該反演方法能夠有效獲得縱波模量參數(shù),且有較高的分辨率。

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