基于數(shù)軸折疊問(wèn)題談學(xué)生數(shù)學(xué)思維提升

摘 要：在日常教學(xué)中，師生往往重“做題”結(jié)果，輕“認(rèn)知”過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生同錯(cuò)累犯，思維單一。文章以一道七年級(jí)數(shù)軸折疊問(wèn)題為例，通過(guò)“鋪設(shè)問(wèn)題引例”、“改變問(wèn)題背景”、“變換折疊中點(diǎn)”、“互換條件結(jié)論”及“由特殊到一般”層層遞進(jìn)的變式訓(xùn)練，改變思維密度、廣度、深度、高度和效度，培養(yǎng)概括、發(fā)散、逆向及求同存異等思維能力，讓學(xué)生從中落實(shí)了基礎(chǔ)知識(shí)，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維之美。

關(guān)鍵詞：數(shù)軸折疊；數(shù)學(xué)思維；變式教學(xué)

作者簡(jiǎn)介：王莉莉，浙江省紹興市新昌縣西郊中學(xué)教師。（浙江 紹興 312500）

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）34-0105-02

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成的具有綜合性、整體性和持久性的學(xué)科素養(yǎng)，反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能以常態(tài)數(shù)學(xué)習(xí)題，加以變式、挖掘、拓展和延伸，學(xué)生就能更加快速、深刻地理解、內(nèi)化和建構(gòu)知識(shí)，提升思考、解決問(wèn)題的能力。本文以一道七年級(jí)數(shù)軸折疊問(wèn)題為例，在“變”中求“實(shí)”，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

一、一道常態(tài)習(xí)題引發(fā)的思考

題目：操作探究已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖1）

操作一：

（1）折疊紙面，使數(shù)字1表示的點(diǎn)與-1表示的點(diǎn)重合，此時(shí)中心點(diǎn)為0，則-3表示的點(diǎn)與_____表示的點(diǎn)重合；

操作二：

（2）折疊紙面，使-1表示的點(diǎn)與5表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：

① 此時(shí)的中心點(diǎn)是 ，則10表示的點(diǎn)與數(shù)_____ 表示的點(diǎn)重合；

②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為15，（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？

這是七年級(jí)第一學(xué)期期中測(cè)試中的一道解答題，看似不難，但學(xué)生的得分率并不理想。具體得分率統(tǒng)計(jì)如表1。

對(duì)于操作一，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)學(xué)生的解題依據(jù)是：①題目已經(jīng)給出圖形，學(xué)生可根據(jù)中心點(diǎn)0直觀地找到-3的重合點(diǎn)；②部分學(xué)生想當(dāng)然認(rèn)為因已知-1和1重合，所以-3就和3重合。雖然得分情況尚可，但是學(xué)生分析問(wèn)題的思考層面很低，沒(méi)有為進(jìn)一步解題做好思維鋪墊。

對(duì)于操作二中的問(wèn)題①，因沒(méi)有理清操作一的解題思路，多數(shù)學(xué)生找不出中心點(diǎn)的改變，故得分率驟減；對(duì)于問(wèn)題②中反向思考問(wèn)題求解，學(xué)生的困難就更多了，得分人數(shù)寥寥。

面對(duì)七年級(jí)學(xué)生數(shù)軸問(wèn)題探究瓶頸，如何滲透數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，有效運(yùn)用核心知識(shí)與方法解題，引發(fā)了作者反思：能否用“變式”設(shè)計(jì)，打通解題困惑。

二、以變式尋求多維張力

1. 鋪設(shè)問(wèn)題引例，拓展思維廣度，培養(yǎng)問(wèn)題概括能力。

引例：

（1）根據(jù)圖2中A、B、C三點(diǎn)的位置，請(qǐng)分別算出A到B，C的距離。并觀察你所計(jì)算的距離你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）再觀察數(shù)軸，求到點(diǎn)A的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是：

設(shè)計(jì)意圖：由淺入深，探究前引例梯度性鋪設(shè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。在學(xué)習(xí)并掌握了數(shù)軸知識(shí)后，學(xué)生能利用數(shù)軸這個(gè)工具，直觀地計(jì)算數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離。但本引例的出發(fā)點(diǎn)不止如此，它需要學(xué)生進(jìn)一步概括出數(shù)軸上計(jì)算任意兩數(shù)之間距離的簡(jiǎn)化公式：“大數(shù)減去小數(shù)的方法”。引例2中已知一點(diǎn)和相距的距離，求出滿足條件的點(diǎn)表示的數(shù)。這是一個(gè)逆向思維過(guò)程，需要學(xué)生結(jié)合數(shù)軸中相反數(shù)和絕對(duì)值的意義解題。若脫離數(shù)軸這個(gè)直觀工具解題，則往往會(huì)出現(xiàn)漏解。因此本題的設(shè)計(jì)意圖在于通過(guò)基礎(chǔ)題的練習(xí)，讓學(xué)生初步感受問(wèn)題解決時(shí)所滲透的一些數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想。

2. 改變問(wèn)題背景，挖掘思維深度，培養(yǎng)求同存異能力。

操作探究：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖3），

折疊紙面一，使數(shù)1表示的點(diǎn)與數(shù)-1表示的點(diǎn)重合，則此時(shí)數(shù)-2表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；思考：a表示的點(diǎn)與_____表示的點(diǎn)重合？

設(shè)計(jì)意圖：以“折疊數(shù)軸”這一動(dòng)態(tài)操作，引導(dǎo)學(xué)生探究已知一對(duì)數(shù)重合怎樣尋找中心點(diǎn)。為了讓學(xué)生對(duì)解題思維有一個(gè)規(guī)律性的總結(jié)，追加設(shè)計(jì)思考：a表示的點(diǎn)與_____表示的點(diǎn)重合。用字母表示數(shù)，從直觀到抽象啟發(fā)學(xué)生歸納出當(dāng)中心點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn)時(shí)折疊重合的兩數(shù)關(guān)系。此設(shè)計(jì)意為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考：當(dāng)中心點(diǎn)發(fā)生改變時(shí)，重合的兩數(shù)關(guān)系是否會(huì)改變，從而提高學(xué)生思維的深度。

3. 改變折疊中點(diǎn)，提升思維高度，培養(yǎng)探索發(fā)散能力。

折疊紙面二：使數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)-1表示的點(diǎn)重合，回答下列問(wèn)題：

（1）數(shù)5表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；

（2）思考：b表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；

設(shè)計(jì)意圖：更換中心點(diǎn)再折疊數(shù)軸，此變式解題的思維高度明顯提升。解答時(shí)，學(xué)生需要?dú)w納出：①找中心點(diǎn)的一般方法；②如何計(jì)算點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離；③用字母表示數(shù)后，啟發(fā)學(xué)生歸納出當(dāng)中心點(diǎn)為任一點(diǎn)時(shí)折疊重合兩數(shù)的一般表達(dá)式。

4.互換條件結(jié)論，改變思維效度，培養(yǎng)逆向思維能力

折疊紙面三：使數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)-1表示的點(diǎn)重合時(shí)，若數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)也重合，且A、B兩點(diǎn)之間的距離為10（A在B的左側(cè)），則A點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____，B點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____.

設(shè)計(jì)意圖：改變已知條件，由已知中心點(diǎn)和重合兩數(shù)的距離反向求解重合的兩數(shù)。訓(xùn)練學(xué)生逆向思維能力，應(yīng)用已知解題方法解答問(wèn)題，從而提升學(xué)生思維效度。

5. 由特殊到一般，改變思維密度，培養(yǎng)靈活概括能力。

折疊紙面四，使數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)-1表示的點(diǎn)重合時(shí)，若數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)也重合，此時(shí)A、B兩點(diǎn)之間的距離為n（A在B的左側(cè)），則A點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____，B點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____.

設(shè)計(jì)意圖：變式四是變式三的進(jìn)一步提升。改變已知條件中重合兩數(shù)的距離為任意值，反向求解重合的兩數(shù)。此題要求學(xué)生在對(duì)解法的總結(jié)反思中，將結(jié)論一般化，培養(yǎng)靈活概括能力。

數(shù)軸上的折疊問(wèn)題涉及初步數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想。通過(guò)層層遞進(jìn)的變式教學(xué)，學(xué)生從中整合了知識(shí)，落實(shí)了基礎(chǔ)，熟練了方法，學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了思維，提升了能力，完成舉一反三，大大提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)習(xí)是一個(gè)漸進(jìn)過(guò)程，教學(xué)也是一種復(fù)雜藝術(shù)。教師需要不斷尋找知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)與方法的生長(zhǎng)點(diǎn)，通過(guò)多樣化的習(xí)題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深層次地思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受多變的數(shù)學(xué)思維之美。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 郭建華.高三一輪復(fù)習(xí)促進(jìn)學(xué)生“深度學(xué)習(xí)”的時(shí)間與思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2018，12.

責(zé)任編輯 陳 晨