基于課例研究尋找數學課堂靈魂

李織蘭 韋仕強

【摘要】本文以證明數學命題“圓內所有的線段，直徑最長”的教學片段為例，論述在數學教學中培養(yǎng)學生的理性思維的途徑，提出數學教學應突顯思維過程，讓學生感悟數學思想，從而培養(yǎng)學生的理性精神。

【關鍵詞】數學課堂靈魂 思維過程 數學思想?理性精神

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）11A-0038-04

日本數學家、教育家米山國藏說過：“學生們在初高中所學到的數學知識，幾乎沒有什么機會應用，很快就會忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務工作，唯有深深地銘刻于腦際的數學精神和數學思想方法，長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用?！睌祵W文化的價值主要在于數學對人們的觀念、精神以及思維方式的養(yǎng)成所具有的重要的影響。數學對人類文明最大的貢獻是理性精神。理性精神是一種推演的精神、邏輯的精神，是一種求真的精神。發(fā)揮數學的文化教育功能，就應積極地培育理性精神、演繹理性的力量。數學課堂的靈魂是什么？我們通過研究證明“圓內所有的線段，直徑最長”這一數學命題的教學片段得到了答案：突顯思維過程，感悟數學思想，培養(yǎng)理性精神。

片段一：彰顯自主，讓學生有真探索

（教師采用“自主嘗試—小組交流—全班反饋”的教學策略，讓學生在小組內討論、向全班交流自己探究得到的“圓的性質”）

生1：我們小組得出了“圓內所有的線段，直徑最長”的結論。

師：你們是怎么知道的？

生1：我們量出圓內5條線段的長度，直徑AB=7.8cm，半徑OA=3.9cm，線段CD=4.6cm，線段EF=2.3cm，線段CG=6.3cm。所以，我們發(fā)現了“圓內所有的線段，直徑最長”。

師：你們真聰明，你們發(fā)現了老師沒告訴過你們并且書上沒寫的性質！大家齊聲拍手表揚她。

【評析】

教師應著眼于落實“四基”、培養(yǎng)“四能”、關注學生全面發(fā)展的核心素養(yǎng)設計教學活動。合情推理用于探索思路、發(fā)現結論，從三年級開始，每冊教材有計劃地編排一個“探索規(guī)律”的專題活動，有利于學生形成“實驗—歸納—猜想”的思維習慣，從而培養(yǎng)學生的合情推理能力。安排這一教學環(huán)節(jié)，注重探索規(guī)律的經驗積累和數學思想方法的感悟，凸顯了探索規(guī)律的教學價值。

片段二：巧妙設疑，讓學生有真思考

師：剛才那位同學發(fā)現的這個結論（圓內所有的線段，直徑最長），還需要驗證嗎？

生1：道理明擺著，沒有必要了。（多數學生認同）

師：前些天的一個早上，老師帶著一臺測量身高的設備在學校門口測量了57名進校學生的身高，所測量的學生的身高都沒達到170cm，所以我們得出了一個結論，“我們學校的學生身高都不超過170cm”。剛說完就來了一名6（2）班的同學，他的身高是173cm，老師“被打臉”。為什么老師會“被打臉”呢？

生2：你還沒量完我們學校所有的學生的身高，你就下結論了。

師：我明白了，我們只能對我們測量過的對象下結論。那剛才你們量完了圓內所有的線段了嗎？你們能保證圓內每一條線段的長度都不超過圓的直徑嗎？

生1：不能！

師：下面我通過多媒體課件來驗證一下。（在幾何畫板上分別拖動點C，D，E在圓上運動，拖動點F，G，H在圓內變動，指導學生觀察線段CD，EF，GH的長度，如圖1）我們通過實驗驗證了“圓內所有的線段，直徑最長”，這樣可以了嗎？

生（齊聲回答）：可以！

生3：也不可以，變換線段和點，只是測量更多圓內的線段長度，但圓內有無窮多條線段，圓內有無窮多點，所以，這些線段的長度不可能量完的。

師：同學們比我想得更周全，剛才演示的幾何畫板課件只是讓我們更加相信“圓內所有的線段，直徑最長”這個結論是正確的，但確實不可以用實驗的方法對無窮多的對象下結論，因為我們“量不完”?？磥硪_定“圓內所有的線段的長度都不超過圓的直徑”必須用數學“理性”的方法了。

【評析】

在學生提出猜想后，教師利用多媒體課件驗證了這一猜想，不僅激發(fā)了學生驗證猜想的興趣，而且讓學生認識到通過實驗驗證猜想的局限性，逐步滲透給學生知道：合情推理的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，還需要依靠演繹推理去證明。

數學的嚴謹性和抽象性決定了它是以理性見長的學科，數學教學的目的在于發(fā)展學生的數學思維，思考是思維的重要表現。學生遇到了疑問，也就是遇到了數學問題，就會去思考。教師應根據教學內容巧妙設疑，讓學生自覺地思考、樂意去思考。

片段三：分類討論，領悟數學思想方法

師：圓內線段有無窮多，既然不能一條一條地去量，我們能不能把它們分成若干類，一類一類比較后再下結論呢？

生1：這種分類討論的方法肯定比一條一條地去討論要好些。

師：那我們就做一做！

（回顧已學的知識：什么是直徑？什么是半徑？它們有什么關系？直徑是兩個端點在圓周，并且過圓心的線段;半徑是圓周上的點與圓心的連線;一條直徑的長度等于兩條半徑的長度）

師：我們討論的線段要與直徑比長短，線段是由兩個端點確定的，直徑的兩個端點在圓周。想一想，將圓內所有的線段依據什么標準來分類更適合我們進行討論？

生2：依據線段的兩個端點是否在圓周上來分。

師：這樣我們可以“不重不漏”地把圓內的線段分成……

生2：分為三類。兩個端點都在圓周、一個端點在圓周（另一個端點不在圓周）、兩個端點都不在圓周。

【評析】

分類討論是一種重要的數學思想方法。運用分類討論，往往能使繁雜的問題清晰化、簡單化。本例中，在無法窮盡的情況下，選擇各種類型的樣本（典型代表）進行研究，用樣本（典型代表）反映整體。分類的過程，可以培養(yǎng)學生思考的周密性、條理性，而分類討論，又可以促進學生研究問題、探索規(guī)律的能力的發(fā)展。

教師在教學中滲透分類思想時要研究的問題主要有：怎樣驅動學生有目的地分類？怎樣引導學生找到合適的分類標準？分類如何做到不重不漏？怎樣才能形成分類討論的意識？

片段四：邏輯推理，孕育理性精神

師：“先易后難，化難為易”是我們解決數學問題的一大“訣竅”。我們應先選哪一類線段與直徑比長短呢？

生1：第一類（兩個端點都在圓周的線段），因為直徑也在這一類。

師：好，我們用什么辦法來比較線段CD與直徑AB的長短？

生2：量一量。

師：量是“感性”的方法，只能對量過的特殊圓和線段下結論，對任何一個圓內的、所有的、無窮多的線段是不能確定的，所以，我們不能用“量”，還得思考更“理性”的方法。注意觀察，直徑是由OA，OB兩條半徑構成的，要比較AB與CD的長短，是否應該作兩條與線段CD有關的半徑呢？找這兩條半徑與CD的關系？

生3：應該可以，連接圓周上的點與圓心的線段就是半徑，所以，CO和DO就是兩條半徑。

生4：我知道結論了，CD<AB。因為，在三角形CDO中，兩邊之和大于第三邊，因此CO+DO>CD，也就是說CD的長度小于兩條半徑的長度之和，所以CD的長度小于直徑AB的長度。

師：現在我們可以說“所有兩個端點都在圓周上的線段的長度都不超過直徑的長度”嗎？

（部分學生說“能”，部分學生說“不能”）

師：到是“能”還是“不能”，就看我們畫的線段的“代表性”，CD能不能代表所有的“兩個端點都在圓周上的線段”。

生5：CD的兩個端點在直徑的同一側的半圓上，算是特殊的吧，還不是任意的“兩個端點都在圓周上的線段”。

生3：CD可以代表“兩個端點在直徑同一側半圓上的線段”。

師：現在誰能嚴謹地表達我們剛才推理得出的結論。

生5：任意一條兩個端點在直徑同一側半圓上的線段的長度不超過直徑。（板書）

生1：我發(fā)現“兩個端點不同在直徑一側半圓上的線段”，也能得出一樣的結論。

（教師展示圖4）

師：其他同學看明白了嗎？

生：明白了。

師：所有的“兩個端點都在圓周的線段”又可以不重不漏地分為兩類——兩個端點同在直徑某一側的半圓上的線段、兩個端點不同在直徑某一側半圓上的線段。根據我們上述的分類討論和推理，現在我們可以完全肯定地說“所有的兩個端點都在圓周上的線段的長度都不超過直徑的長度”。

師：現在我們的任務是“化未知為已知”。想一想，我們可以怎樣將“一個端點在圓周的線段”“兩個端點都不在圓周的線段”這兩種線段轉化為“兩個端點都在圓周的線段”。

（學生小組討論、自主探究、代表匯報，將第二類、第三類圓內的線段CD延長成第一類線段，展示成果如下）

CD<CE<AB

CD<EF<AB

師：同學們，經過以上邏輯推理，我們得到圓內所有三種類型的線段的長度都不超過直徑的長度。因此，我們得到了“圓內所有的線段，直徑最長”的結論。

【評析】

數學對人類文明最大的貢獻是什么？是理性精神。理性精神是一種推演的精神、邏輯的精神，是一種求真的精神。發(fā)揮數學的文化教育功能，就應積極地培育理性精神、演繹理性的力量。在小學數學教學中啟蒙學生的理性精神是非常重要的，不僅能夠提高學生學習數學的積極性，還能夠讓學生學會理性思考，形成理性思維，感悟理性的力量，提升學生綜合能力和核心素養(yǎng)。

片段五：小結

師：通過對這一個問題的探究，你有哪些收獲？

生1：實驗可以發(fā)現規(guī)律，但還必須驗證。（實驗用于探索思路、發(fā)現結論;要通過演繹推理去證明結論。學習到實事求是、言必有據的科學態(tài)度）

生2：學會了用推理方法驗證規(guī)律。（邏輯推理和計算證明的方法）

生3：學會了分類討論的推理方法。（找到合適的分類標準，做到不重不漏，選擇各類代表來反映整體，即得到這類對象都具有的性質）

生4：“先易后難，化難為易”是學習數學“訣竅”。

【板書、板圖設計】

本課教學是高校教師與小學一線名師合作，準確解讀課程標準，針對課改熱點、難點，精心設計出來的，讓學生在學習中感悟分類思想和化歸思想，體驗邏輯推理的方法，啟蒙理性思維，孕育理性精神。

（責編 劉小瑗）