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    基于GARCH族模型的德國(guó)DAX股指的估計(jì)及預(yù)測(cè)

    2018-02-26 00:29:48曾靜文
    商業(yè)經(jīng)濟(jì) 2018年1期
    關(guān)鍵詞:預(yù)測(cè)

    曾靜文

    [摘 要] 通過(guò)對(duì)德國(guó)DAX股指的特征性分析,發(fā)現(xiàn)德國(guó)DAX股指是非正態(tài)的、平穩(wěn)的,并且具有自相關(guān)性。運(yùn)用ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),殘差具有ARCH效應(yīng),說(shuō)明該股指適合用GARCH族模型來(lái)建模。通過(guò)顯著性檢驗(yàn)以及AIC值越小越好、極大似然函數(shù)越大越好的選取準(zhǔn)則,得到擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生分布下的TARCH(1,1)對(duì)于德國(guó)DAX股指的對(duì)數(shù)收益率波動(dòng)的擬合效果是最好的。在該模型的基礎(chǔ)上對(duì)條件方差和收益率進(jìn)行了預(yù)測(cè),發(fā)現(xiàn)條件方差最后收斂于0.00001左右的一個(gè)無(wú)條件方差,而預(yù)測(cè)的收益率和實(shí)際收益率之間的誤差很小,說(shuō)明預(yù)測(cè)效果較好。

    [關(guān)鍵詞] GARCH族模型;對(duì)數(shù)收益率;條件方差;預(yù)測(cè)

    [中圖分類(lèi)號(hào)] F830.91 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1009-6043(2018)01-0166-04

    股票的波動(dòng)性研究往往都是運(yùn)用GARCH模型來(lái)描述,而GARCH族模型包括一般的GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH和EGARCH模型。GARCH模型族的殘差在大多文獻(xiàn)中是服從正態(tài)分布的,而查閱資料發(fā)現(xiàn)該殘差可以假設(shè)服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布。因此,基于4種GARCH模型,使擾動(dòng)項(xiàng)分別服從以上三種分布,得到12種模型,最后通過(guò)實(shí)證分析得到最優(yōu)模型,并在該模型的基礎(chǔ)上對(duì)條件誤差和對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

    一、GARCH族模型及其發(fā)展

    (一)GARCH族模型

    1.ARCH模型

    Engle提出了ARCH模型,但是ARCH模型不能反映實(shí)際數(shù)據(jù)中的長(zhǎng)記憶性,且為了得到較好的估計(jì),時(shí)常需要估計(jì)很多的參數(shù),于是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出用GARCH模型來(lái)代替ARCH模型。

    2.GARCH模型

    GARCH模型中,最常用的就是GARCH(1,1)模型,因其能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行很好的描述。其形式為:

    從模型的表達(dá)式可以看出,GARCH(1,1)與ARCH模型最大的區(qū)別就是方差方程,多了一個(gè)條件方差項(xiàng),此方差項(xiàng)的加入可以避免估計(jì)很多參數(shù)。

    3.GARCH-M模型

    對(duì)于金融資產(chǎn),人們一般認(rèn)為“高風(fēng)險(xiǎn)對(duì)應(yīng)高收益”,即風(fēng)險(xiǎn)越大,預(yù)期的收益率就越大。此處的風(fēng)險(xiǎn)是用條件方差來(lái)表示的,并將這種波動(dòng)引入均值方程中。GARCH-M(1,1)模型的形式為:

    4.非對(duì)稱(chēng)GARCH模型[1]

    許多股票研究員發(fā)現(xiàn),股票價(jià)格存在著非對(duì)稱(chēng)性,即負(fù)的沖擊比正的沖擊更容易產(chǎn)生波動(dòng),波動(dòng)率針對(duì)市場(chǎng)下跌的反應(yīng)比市場(chǎng)上升的反應(yīng)更加迅速,也被稱(chēng)為“杠桿效應(yīng)”。而針對(duì)有杠桿效應(yīng)的數(shù)據(jù),我們應(yīng)該使用非對(duì)稱(chēng)的GARCH模型。而非對(duì)稱(chēng)GARCH模型包括TARCH模型和EGARCH模型。

    TARCH模型也稱(chēng)門(mén)限GARCH模型,這個(gè)門(mén)限是采用一個(gè)虛擬變量來(lái)設(shè)定的,用來(lái)區(qū)分正和負(fù)的沖擊對(duì)條件波動(dòng)的影響。TARCH(1,1)模型的形式為:

    方差方程中的項(xiàng),稱(chēng)為非對(duì)稱(chēng)效應(yīng)項(xiàng),好消息和壞消息對(duì)條件方差有著不同的影響。好消息對(duì)條件方差只有一個(gè)α1倍的沖擊,而壞消息則對(duì)條件方差有著(α1+γ)倍的沖擊,γ>0表明存在杠桿效應(yīng)。

    EGARCH模型又叫指數(shù)模型,其方差方程不再分析條件方差σ,而是分析lnσ,并使用擾動(dòng)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng)的絕對(duì)值與擾動(dòng)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差之比來(lái)刻畫(huà)正負(fù)沖擊對(duì)波動(dòng)的影響。EGARCH(1,1)模型的形式為:

    當(dāng)γ<0時(shí),說(shuō)明價(jià)格波動(dòng)受負(fù)的外部影響大于受正的外部影響,成為杠桿效應(yīng)。

    (二)GARCH族模型的擾動(dòng)項(xiàng)分布假設(shè)

    上述的模型中,都是假定擾動(dòng)項(xiàng)μt服從正態(tài)分布,而在實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn),許多金融事件序列的無(wú)條件分布具有比正態(tài)分布更寬的尾部。2007年程婧瑤研究股市波動(dòng)率時(shí),假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布;而在2013年ChristosKollias在研究歐洲市場(chǎng)股票波動(dòng)性的時(shí)候假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從廣義誤差分布。為了能夠更加精確的描述時(shí)間序列分布的尾部特征,需要對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)μt的分布進(jìn)行假設(shè),一般有三種假設(shè):正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布。給定一個(gè)分布,GARCH使用極大似然估計(jì)來(lái)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

    二、數(shù)據(jù)的選取和基本檢驗(yàn)

    (一)數(shù)據(jù)的選取及說(shuō)明

    采用GARCH模型建模,一般是選擇日度數(shù)據(jù)或者日內(nèi)的高頻數(shù)據(jù),這樣更有利于參數(shù)估計(jì)的收斂性和穩(wěn)健性。選取德國(guó)DAX股指,采用5分鐘高頻數(shù)據(jù),樣本期間為2017年5月31日至2017年6月19日,剔除沒(méi)有交易的日子,共計(jì)1352個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)。為了刻畫(huà)德國(guó)股市的波動(dòng)現(xiàn)象,采取對(duì)數(shù)收益率作為研究對(duì)象。

    此處,rt表示該對(duì)數(shù)收益率,pt表示后一時(shí)刻的股價(jià),pt-1表示前一時(shí)刻的股價(jià),則對(duì)數(shù)收益率為:

    rt=In(pt)-In(pt-1)

    (二)樣本數(shù)據(jù)的基本檢驗(yàn)

    1.正態(tài)性檢驗(yàn)

    運(yùn)用J-B統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)序列是否服從正態(tài)分布:在正態(tài)分布的假設(shè)下,數(shù)據(jù)服從自由度為2的卡方分布。要計(jì)算JB統(tǒng)計(jì)量,首先要計(jì)算偏度和峰度。偏度是統(tǒng)計(jì)一組數(shù)據(jù)是否是非對(duì)稱(chēng)的,描述數(shù)據(jù)偏斜的程度以及方向。如果此值小于零,即數(shù)據(jù)左偏,否則右偏。峰度是衡量實(shí)數(shù)隨機(jī)變量的概率分布峰態(tài)的統(tǒng)計(jì)量,正態(tài)分布的峰度為3,如果峰度值小于3,則表明峰度不足,反之則峰度過(guò)度。JB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)一組數(shù)據(jù)是否來(lái)自于正態(tài)分布,若數(shù)據(jù)是服從正態(tài)分布的,那JB統(tǒng)計(jì)量的值為0。

    將德國(guó)DAX股指的對(duì)數(shù)收益率序列導(dǎo)入Eviews軟件中,得到偏度為0.427148,大于0,則右偏,峰度為15.21915,比正態(tài)分布的峰值3大,所以該序列呈現(xiàn)尖峰后尾的特征,而J-B統(tǒng)計(jì)量的值不為0,說(shuō)明該序列不服從正態(tài)分布。

    2.平穩(wěn)性檢驗(yàn)

    作出德國(guó)DAX股指的對(duì)數(shù)收益率隨時(shí)間變化的線(xiàn)性圖形,發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)圍繞一直線(xiàn)上下波動(dòng),說(shuō)明該序列很有可能是平穩(wěn)的。采用ADF檢驗(yàn),進(jìn)一步檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性。通過(guò)ADF檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),對(duì)數(shù)收益率序列的ADF檢驗(yàn)值為-34.69532,當(dāng)顯著性水平為1%、5%及10%的情況下,所對(duì)應(yīng)的臨界值分別為-2.566676、-1.941058和-1.616542。說(shuō)明ADF檢驗(yàn)值在任何顯著性水平下都明顯小于臨界值,所以該序列是平穩(wěn)的。endprint

    3.自相關(guān)檢驗(yàn)

    自相關(guān)性是指隨機(jī)誤差項(xiàng)的各期望值之間存在著相關(guān)關(guān)系,稱(chēng)隨機(jī)誤差項(xiàng)之間存在自相關(guān)性。通過(guò)分析自相關(guān)函數(shù)圖,可知該序列是存在一階相關(guān)性的,采用Box-JenKins方法,可以把模型暫定為AR(1)、MA(1)及ARMA(2,1)。運(yùn)用最小二乘估計(jì),通過(guò)比較AIC值,得出可由AR(1)模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。得到的模型為rt=0.057617rt-1+μt。

    4.ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

    用Eviews軟件畫(huà)出AR(1)模型rt=0.057617rt-1+μt的擾動(dòng)項(xiàng)平方序列的時(shí)間序列圖。在圖中,擾動(dòng)項(xiàng)平方序列具有明顯的時(shí)變性和急簇性,說(shuō)明擾動(dòng)項(xiàng)很可能具有ARCH效應(yīng)。

    對(duì)于金融序列,一般會(huì)出現(xiàn)明顯的集聚現(xiàn)象,即大的波動(dòng)后會(huì)緊跟著另一個(gè)大波動(dòng),小的波動(dòng)后跟隨另一個(gè)小的波動(dòng),這就是ARCH效應(yīng)。要使用GARCH族模型建模,則需要檢驗(yàn)是否具有ARCH效應(yīng)。ARCH效應(yīng)有3種檢驗(yàn)方法,這里采用自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)方法,進(jìn)一步確定ARCH效應(yīng)的存在。通過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)顯著不為0,而且Q統(tǒng)計(jì)量非常顯著,所以殘差具有ARCH效應(yīng),可以用GARCH族模型進(jìn)行建模。

    三、實(shí)證分析

    GARCH族模型包括GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH模型以及EGARCH模型四種模型,且其擾動(dòng)項(xiàng)分布服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布或者廣義誤差分布。在4種GARCH模型的基礎(chǔ)上,使擾動(dòng)項(xiàng)分別服從以上三種分布,得到12種模型,最后通過(guò)實(shí)證分析得到最優(yōu)模型。把德國(guó)DAX股指2017年5月31日至2017年6月19日的5分鐘的高頻數(shù)據(jù)導(dǎo)入Eviews軟件,得到以下實(shí)證結(jié)果。

    (一)GARCH(1,1)模型的實(shí)證結(jié)果

    由表1可知,當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布時(shí),均值方程對(duì)應(yīng)的R(-1)系數(shù)為0.045007,其對(duì)應(yīng)的P值是不顯著的,說(shuō)明在使用GARCH(1,1)模型下假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布是不合理的。當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布和廣義誤差分布時(shí),均值方程對(duì)應(yīng)的R(-1)系數(shù)以及方差方程中的系數(shù)α1和β1均是顯著的,說(shuō)明在GARCH(1,1)的模型下假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布以及廣義誤差分布是合理的。表中LogL的表示對(duì)數(shù)似然函數(shù),用來(lái)表示已知輸出結(jié)果時(shí)未知參數(shù)的可能取值;AIC表示衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn)。而選擇模型時(shí),似然函數(shù)值越大越好,AIC值越小越好。擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布和廣義誤差分布下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別為8279.549和8254.996,赤池信息準(zhǔn)則分別為-12.25859和-12.22222。所以在使用GARCH(1,1)模型下,假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布,對(duì)德國(guó)DAX股指的擬合更好一些。

    (二)GARCH-M(1,1)模型的實(shí)證結(jié)果

    由表2可知,不管擾動(dòng)項(xiàng)服從哪種分布,均值方程對(duì)應(yīng)方差項(xiàng)的系數(shù)均是不顯著的,即使用GARCH-M(1,1)來(lái)擬合德國(guó)DAX股指是不合理的。

    (三)TARCH(1,1)模型的實(shí)證結(jié)果

    由表3可知,當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布時(shí),均值方程對(duì)應(yīng)的R(-1)的系數(shù)是不顯著的,說(shuō)明在使用TARCH(1,1)模型下假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布是不合理的。當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布時(shí),均值方程對(duì)應(yīng)的R(-1)系數(shù)以及方差方程中α1、β1以及非對(duì)稱(chēng)項(xiàng)系數(shù)γ都是顯著的,說(shuō)明在TARCH(1,1)的模型下假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布是合理的。當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從廣義誤差分布時(shí),方差方程中的非對(duì)稱(chēng)項(xiàng)系數(shù)γ是不顯著的,說(shuō)明在TARCH(1,1)的模型下假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從廣義誤差分布是不合理的。

    所以,擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH(1,1)的模型對(duì)德國(guó)DAX股指擬合得更好。非對(duì)稱(chēng)項(xiàng)γ的值為0.164705,顯著大于0,說(shuō)明存在杠桿效應(yīng),即得出德國(guó)DAX股指確實(shí)存在非對(duì)稱(chēng)性。當(dāng)發(fā)生好消息時(shí),會(huì)給股票指數(shù)帶來(lái)0.150889倍的沖擊,而發(fā)生壞消息時(shí),則會(huì)帶來(lái)0.315594倍的沖擊。

    (四)EGARCH(1,1)模型的實(shí)證結(jié)果

    由表4可知,當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布時(shí),均值方程對(duì)應(yīng)的R(-1)的系數(shù)是不顯著的,說(shuō)明在使用EGARCH(1,1)模型下假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布是不合理的。當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布時(shí),均值方程對(duì)應(yīng)的R(-1)系數(shù)以及方差方程中所有的系數(shù)估計(jì)都是顯著的,說(shuō)明在EGARCH(1,1)的模型下假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布是合理的。當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從廣義誤差分布時(shí),方差方程中的系數(shù)γ是不顯著的,說(shuō)明在EGARCH(1,1)的模型下假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從廣義誤差分布是不合理的。

    所以,擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的EGARCH(1,1)的模型對(duì)德國(guó)DAX股指擬合得更好。非對(duì)稱(chēng)項(xiàng)的值為-0.067513,顯著小于0,說(shuō)明存在杠桿效應(yīng),即得出德國(guó)DAX股指確實(shí)存在非對(duì)稱(chēng)性。當(dāng)發(fā)生好消息時(shí),會(huì)給股票指數(shù)帶來(lái)0.30107倍的沖擊,而發(fā)生壞消息時(shí),則會(huì)帶來(lái)0.436096倍的沖擊。

    由前文可知,只有GARCH-M(1,1)模型不管擾動(dòng)項(xiàng)服從任何分布,對(duì)數(shù)據(jù)的擬合都是不合理的。而另外三種模型,均是在擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布的時(shí)候所對(duì)應(yīng)的LogL最大,AIC值最小。說(shuō)明我們所選取的數(shù)據(jù),假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布時(shí)擬合效果更好。

    通過(guò)上述的非對(duì)稱(chēng)GARCH族的實(shí)證結(jié)果發(fā)現(xiàn),被選用的數(shù)據(jù)確實(shí)存在非對(duì)稱(chēng)性,即用擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH(1,1)模型及EGARCH(1,1)模型更合理。而擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH(1,1)及EGARCH(1,1)模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別為8281.821和8281.136,AIC值分別為-12.26048和-12.25946。即擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH(1,1)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)更大,AIC值更小。

    綜上所述:擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH(1,1)對(duì)于德國(guó)DAX股指的對(duì)數(shù)收益率波動(dòng)的擬合效果是最好的。模型為:endprint

    四、預(yù)測(cè)

    由上文可知擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH(1,1)對(duì)于德國(guó)DAX股指的對(duì)數(shù)收益率波動(dòng)的擬合效果最好,下面運(yùn)用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。金融資產(chǎn)的波動(dòng)率以及收益率都是很重要的指標(biāo),而GARCH族模型的波動(dòng)率是用條件方差來(lái)刻畫(huà)的,收益率則是采用對(duì)數(shù)收益率。對(duì)2017年6月20日至6月23日的338個(gè)5分鐘高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

    (一)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)

    從圖1可以看出在預(yù)測(cè)的區(qū)間內(nèi),條件方差預(yù)測(cè)值在增加,呈現(xiàn)“上凸”的形狀,圖形的一階導(dǎo)數(shù)在不斷減小至0,最后收斂于0.00001左右的某個(gè)值,即為無(wú)條件方差。

    (二)收益率的預(yù)測(cè)

    圖2顯示的是對(duì)數(shù)收益率的預(yù)測(cè)值,未來(lái)各期的預(yù)測(cè)值均在零值附近,這是因?yàn)槲覀儾捎玫木捣匠虨閞t=-0.056811rt-1+μt。均方誤差值和平均絕對(duì)誤差分別為0.000551和0.000358,說(shuō)明預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的誤差很小,預(yù)測(cè)效果較好。

    五、小結(jié)

    通過(guò)對(duì)德國(guó)DAX股指進(jìn)行波動(dòng)性分析,先是進(jìn)行特征分析,發(fā)現(xiàn)該股指非正態(tài)、平穩(wěn),且具有自相關(guān)性。在GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH模型以及EGARCH模型的基礎(chǔ)上分別假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布得到12種模型。通過(guò)極大似然估計(jì)對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì),發(fā)現(xiàn)擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布下的TARCH(1,1)對(duì)于德國(guó)DAX股指的對(duì)數(shù)收益率波動(dòng)的擬合效果是最好的。并且對(duì)該模型的波動(dòng)率和收益率進(jìn)行了預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)效果較好,說(shuō)明GARCH族模型在股票的波動(dòng)性以及收益率的預(yù)測(cè)上具有一定的實(shí)用性。但有幾個(gè)問(wèn)題仍待解決:

    (一)被選用的GARCH族模型均為單變量GARCH模型,只能研究單一的市場(chǎng),而當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)市場(chǎng)時(shí),市場(chǎng)與市場(chǎng)之間是有相互影響的,這是需要進(jìn)一步探究的問(wèn)題。

    (二)Eviews軟件只能輸出預(yù)測(cè)的圖像,而不能輸出具體的預(yù)測(cè)值,而在投資中,投資者更想得到確切的數(shù)值。通過(guò)R軟件以及Matlab軟件編程能夠得到具體的預(yù)測(cè)值,這也是需要進(jìn)一步探索的問(wèn)題。

    [參考文獻(xiàn)]

    [1]李嫣怡,劉榮,丁維岱.Eviews統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用(修訂版)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2013:207.

    [責(zé)任編輯:潘洪志]endprint

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