澄清教材中關(guān)于圓周運動的四個模糊點①

(中央民族大學理學院，北京 100081)

“圓周運動”是一種特殊的曲線運動形式，從人教版高中物理必修二第五章第4節(jié)的教材(以下簡稱教材)編排來看,圓周運動是在學習了曲線運動及平拋運動之后學習的,它既拓展了平面曲線運動的知識層次,也為后面講述天體運動創(chuàng)設(shè)了條件[1]。從高考的命題來看,計算題經(jīng)常涉及圓周運動向心力、向心加速度等相關(guān)物理量的計算,壓軸題多采用帶電粒子在電磁場中做圓周運動的物理模型?？梢?圓周運動在中學物理中占有十分重要的地位。從已有研究來看,對涉及圓周運動向心力、向心加速度的物理模型分析較多,對基本概念的研究則較少。明確物理量的基本定義是學好高中物理的基礎(chǔ)[2]，本文從教材和生活實際出發(fā),分析本節(jié)內(nèi)容在教材中的知識脈絡,指出教材中的四個模糊點，提出相應的解決辦法,以求更好地回歸教材,體現(xiàn)出教材的指導作用。

1 圓周運動的定義

在物理學中,把質(zhì)點的運動軌跡是圓或者圓弧的運動叫做圓周運動。但是人教版教材中并沒有對圓周運動的定義進行說明,僅是采用生活中的實例,如用“電風扇的葉片”“時鐘的指針”“地球繞太陽的運動”等讓學生感知圓周運動。由于學生個體存在差異,從感性認識上升到理性認識以及建構(gòu)知識的能力不同,對圓周運動的概念可能存在認識上的誤區(qū)。主要體現(xiàn)在以下兩個方面:一是如何判斷質(zhì)點做圓周運動?另一個是質(zhì)點的運動軌跡一定要是一個完整的圓嗎?

為此我們可以設(shè)計這樣一個問題給學生:“自行車在行進過程中,其車輪上某一點的運動是否為圓周運動?”以下我們通過對自行車車輪運動時的軌跡、速度等問題進行探討,深化學生對“圓周運動”這一概念的理解。

1.1 自行車在水平路面上沿直線行駛

(1) 以地面為參考系,研究自行車車輪上某點的運動狀態(tài)

當自行車在水平路面上沿著直線行駛時,以地面為參考系,車輪上一點A的運動軌跡如圖1所示。

圖1

現(xiàn)截取運動軌跡的一部分進行分析,建立圖2所示的直角坐標系,起點O為坐標原點,點C為車輪的軸心,令車輪半徑為r,點A坐標為(x,y)。一段時間后,點A轉(zhuǎn)過的角度為θ,則可通過數(shù)學運算求得點A的運動學方程,進而判斷點A的運動軌跡。由以上條件易得:CD=rcosθ,AD=rsinθ,OE=rθ。則可求得:x=OB=OE-BE=OE-AD,y=AB=DE=CE-CD,即:x=rθ-rsinθ,y=r-rcosθ。

圖2

以上即為點A的運動學方程,顯然當以地面為參考系時,點A的運動軌跡并不是圓,而是擺線。經(jīng)以上分析可知，當以地面為參考系時,沿直線行駛的自行車車輪上的任意一點的運動均不是圓周運動。

(2) 以輪軸為參考系,研究自行車車輪上某點的運動狀態(tài)

當自行車在水平路面上沿直線行駛時,以輪軸為參考系,此時車輪上任一點A的運動軌跡如圖3所示,是一個以C為圓心、以AC為半徑的圓。由此可見,此時車輪上任一點(不包括軸心)均做圓周運動。

圖3

1.2 自行車倒放時撥動車輪,以地面為參考系,研究自行車車輪上某點的運動狀態(tài)

撥動車輪后如圖4所示,顯然此時車輪上(不包括軸心)的各點運動軌跡均為圓或圓弧,則以上各點均繞軸心做圓周運動。

圖4

1.3 教學啟示

在講解圓周運動的概念時,判斷質(zhì)點是否做圓周運動的關(guān)鍵之處就是看質(zhì)點運動的軌跡。教材在引入這部分內(nèi)容時,采用了與生活實際相聯(lián)系的很多示例,引導學生能從中得出正確的結(jié)論。對于質(zhì)點的運動軌跡一定要是一個完整的圓的問題,多數(shù)學生受實際生活問題中前概念的影響,其科學思維可能還沒有達到一定層次,在抽象質(zhì)點等某些物理模型時容易遇到困難[3]。當運動軌跡為一段圓弧時,質(zhì)點做的仍然是圓周運動。比如開門時,將門把手抽象成質(zhì)點,門把手的運動軌跡是一段圓弧,它的運動也是圓周運動。

2 線速度的講解脈絡

人教版教材在呈現(xiàn)線速度的定義及相關(guān)內(nèi)容時,與必修一第一章第三節(jié)介紹速度時的脈絡類似,經(jīng)整理如圖5所示。

圖5

但是,在具體問題的引入和介紹上略顯模糊。首先,人教版教材在介紹速度的概念時,僅強調(diào)速度是位移與所用時間的比值,沒有對時間長短提出要求,而在引入線速度時,教材對線速度的定義中重點強調(diào)了“極短時間”內(nèi)物體通過的弧長。即時間應趨近于零,線速度具有瞬時性,即為瞬時線速度[4]。其次,教材緊接著提出線速度的分類,即平均線速度和瞬時線速度,時間趨近于零是瞬時線速度的計算前提,而平均線速度則需要一定時間的積累,顯得教材前后內(nèi)容沖突。此外,教材隨后再次提出當時間趨近于零時,其即為瞬時速度,這里前后內(nèi)容又有重復。

在實際教學過程中,我們建議可以分開介紹線速度的大小和方向。不妨采用教材中提到的微元法,通過瞬時速度直接引入線速度的定義,這樣既承接了前面所學的速度，也便于學生理解線速度的矢量性。關(guān)于線速度的方向,可首先引導學生進行定性的分析,基于其對曲線運動的學習,他們已經(jīng)掌握曲線運動的方向與軌跡相切的一般規(guī)律。圓周運動不過是一種特殊的曲線運動,則其線速度的方向也應與圓相切。再應用微元法進行證明,當時間趨近于零時,圓弧所對圓心角也趨近于零,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,就可說明此時運動方向與半徑垂直,即線速度方向與圓相切。當圓上任意一點線速度的“大小”處處相等時,即為勻速圓周運動，在此處強調(diào)“勻速”是指質(zhì)點的速率不變[5]。而平均線速度在高中階段并不常見,最后做簡單介紹即可。這樣便于學生對知識進行梳理,形成清晰的學習脈絡。

3 角速度的引入

圖6

在運動學中,選取恰當?shù)淖鴺讼狄约跋鄳奈锢砹?對于探討物理問題,具有事半功倍的效果。對于直線運動,可建立直線坐標系,對平拋運動則可通過運動分解“化曲為直”,在平面直角坐標系中處理。以上均是從“線量”的角度對物體的運動加以描述。但有人認為“化曲為直”的方法不適用于圓周運動,為此有必要引入新的物理量——角速度,從“角量”入手來描述物體圓周運動[6]。

設(shè)質(zhì)點在如圖6所示的平面內(nèi),繞點O做圓周運動,軌道半徑為R。以x軸為參考方向,當該質(zhì)點經(jīng)時間Δt由M運動到N時,初始角位置為θ,角位移為Δθ。

4 線速度與角速度關(guān)系式的推導方法

5 結(jié)語

本文對教材中圓周運動這一節(jié)的知識細節(jié)和脈絡進行剖析,明確物理量的定義是學生學好物理的基礎(chǔ)。回歸教材才能更好地幫助學生掃清學習的盲點和模糊點。就本節(jié)內(nèi)容而言,無論是圓周運動的定義、線速度的講解、勻速圓周運動的介紹,還是角速度的引入及其與線速度關(guān)系的推導,都需要以教材為依托,使教學過程環(huán)環(huán)相扣。深刻理解教材中微元思想，并實際應用于教學活動中,有助于教師講清楚圓周運動的幾個模糊點,更好地完成教學任務。

[1] 段祝霞.重視體驗與探究有效突破教學重難點—五版本教材圓周運動對比分析[J].物理教學探討,2016,(3):42-44.

[2] 王愛華.一切從定義出發(fā),再談勻速圓周運動速度方向的變化率[J].物理教師,2012,(4):47.

[3] 鄭清岳.怎樣對待學生錯誤的前概念[J].中學物理教學參考,2010,(5):2-4.

[4] 朱亞.“勻速圓周運動”的教學探討[J].物理教師,2011,(10):18-19.

[5] 楊紹征,徐以玲.剖析處理圓周運動問題中的四個誤區(qū)[J].物理教學,2011,(6):42-44.

[6] 張婷玉,陳清梅,邢紅軍.圓周運動的高端備課[J].首都師范大學學報(自然科學版),2015,(6):22-24.