從不等式易錯(cuò)題型談高中數(shù)學(xué)的解題方法

袁曉玥

（山東省青州市第一中學(xué)高二3班，山東 青州）

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)非常多，不等式的應(yīng)用是高中復(fù)習(xí)模塊中的重要部分。不等式的應(yīng)用非常廣泛，存在一定的難度。在進(jìn)行練習(xí)時(shí)常出現(xiàn)很多錯(cuò)誤。不等式常與數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，是高考中的常見題型。理清解題思路，掌握正確的解題方法問題自會(huì)迎刃而解。重視對(duì)不等式易錯(cuò)題型的解題方法總結(jié)，對(duì)提高考試成績具有重要意義。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不等式證明求解及應(yīng)用不等式求解范圍問題是考查不等式的主要途徑。不等式知識(shí)點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)。很多學(xué)生在根式不等式求解問題方面存在盲目套用不等式有理化的解題方法，未準(zhǔn)確理解根式不等式轉(zhuǎn)為有理所具備的條件。解無理不等式其實(shí)質(zhì)是將其轉(zhuǎn)化為有理不等式，關(guān)鍵在于去根號(hào)，使用乘方界無理不等式時(shí)，應(yīng)注意不等式偶次方兩邊必須為非負(fù)，根號(hào)下部分必須有意義，將無理不等式化為有理不等式組解。

一、易錯(cuò)題型分析

高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型中，同學(xué)在解決一元二次不等式應(yīng)用時(shí)面臨對(duì)不等式結(jié)合的其他知識(shí)點(diǎn)掌握不牢的情況。如忽略對(duì)數(shù)的要求，則會(huì)導(dǎo)致最終求解出錯(cuò)。

不等式的常見題型是不等式與線性規(guī)劃題目結(jié)合的類型，此類題型考查的知識(shí)點(diǎn)較多。包括對(duì)最值、定義域計(jì)算等。兩者結(jié)合求最值的問題為此類題型的常見題型，要通過圖象及函數(shù)不等式關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。若融合參數(shù)范圍進(jìn)行求解則更為復(fù)雜，需對(duì)參數(shù)范圍進(jìn)行計(jì)算求解參數(shù)值。求解此類題型時(shí)，要清楚理解不等式概念，性質(zhì)及其相關(guān)知識(shí)。了解線性規(guī)劃相關(guān)知識(shí)，才能最終求得正確答案。

如：已知 a＞0，x、y 滿足 x≥2x+y≤4y≥a（x-4）.z=2x+y 最小值為2，求參數(shù)a的取值。此題的解題難度在于對(duì)題目中已知坐標(biāo)系中的直線，及題目已知直線坐標(biāo)軸圍成的三角形進(jìn)行計(jì)算。此題不同于以往題目，此題給出最值求解直線參數(shù)值，解題時(shí)應(yīng)用逆向思維，根據(jù)題目已知條件表示出圖像。注意式中的符號(hào)，“≥”用實(shí)線，“＞”用虛線表示，已知 a＞0，則直線 y=a（x+4）穿一三象限，得到函數(shù)經(jīng)點(diǎn)A（2，-2a）時(shí)函數(shù)值最小。將此點(diǎn)坐標(biāo)代入則可求解答案，解得a=1。此題說明據(jù)不同題目采取不同解題思維的重要性，首先應(yīng)牢固掌握基礎(chǔ)的定義理論知識(shí)，在解題中靈活運(yùn)用，方可快速有效求得正確答案。

部分同學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，在初中學(xué)習(xí)階段對(duì)不等式的求解問題方面存在較多的困難，導(dǎo)致在高中學(xué)習(xí)中遇到不等式求解問題不知如何下手，從而使其對(duì)不等式的學(xué)習(xí)產(chǎn)生排斥心理。不等式問題的求解思路靈活多變，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系較為密切，不等式求解牽涉題型較多，在求解不等式中對(duì)不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化存在誤解，會(huì)使學(xué)生在求解不等式問題中遇到障礙。

二、解題方法總結(jié)

對(duì)不等式關(guān)系關(guān)系的理解存在困難，很多同學(xué)在求解高中數(shù)學(xué)不等式問題時(shí)對(duì)不等式的概念理解不足，對(duì)不等式的不等關(guān)系性質(zhì)不很清楚，導(dǎo)致在基本不等式重要性質(zhì)解題證明過程中不能靈活運(yùn)用。如分式不等式求解中，很多學(xué)生往往忽略了對(duì)分母正負(fù)的討論，導(dǎo)致出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象，以至求解最終錯(cuò)誤。一些學(xué)生對(duì)簡單的一元二次不等式求解中存在困難，此類型題目求解常用數(shù)形結(jié)合法、求根公式法等方式，此類型問題的困難點(diǎn)在于解題中學(xué)生忽略將一元二次不等式遷移到函數(shù)零點(diǎn)、圖象等以往學(xué)過的知識(shí)中，如初中階段的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，及求解函數(shù)零點(diǎn)，利用因式分解最終求出解集等。

含參數(shù)的不等式問題是高中數(shù)學(xué)不等式求解中難度較大的題型，亦為高中不等式試題中的常見易錯(cuò)題型。在求解含參數(shù)的不等式時(shí)，很多同學(xué)往往忽略了對(duì)參數(shù)的討論，在不等式轉(zhuǎn)化中考慮情況不全，導(dǎo)致最終求解不等式非原不等式。不等式恒成立問題有時(shí)會(huì)涉及參數(shù)范圍、最值及導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)，需利用多變的數(shù)學(xué)思維，才可求得正確結(jié)果。

含絕度值的不等式及分式不等式類型是高中數(shù)學(xué)不等式試題中的中等難題，也是同學(xué)在求解中常出錯(cuò)的題目類型。其主要原因在于去絕對(duì)值自變量范圍不確定，利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)相應(yīng)自變量內(nèi)函數(shù)圖象表達(dá)不準(zhǔn)確，很多同學(xué)不能對(duì)此類型題與數(shù)形結(jié)合思想相結(jié)合，求解分式不等式時(shí)將分式不等式轉(zhuǎn)換為普通的一元二次或高次不等式中，出現(xiàn)錯(cuò)解情況。

要清楚認(rèn)識(shí)理解不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行不等式解題時(shí)要首先考慮其隱藏在內(nèi)的不等關(guān)系。在學(xué)習(xí)高中數(shù)字不等式知識(shí)時(shí)，要認(rèn)識(shí)到高中不等式非簡單的解一元一次不等式，在學(xué)習(xí)不等式知識(shí)時(shí)應(yīng)及時(shí)將不等式知識(shí)及其他知識(shí)體系相聯(lián)系。同時(shí)不等式的學(xué)習(xí)必須做到課前主動(dòng)預(yù)習(xí)，課中認(rèn)真聽講，課后勤于練習(xí)，牢固掌握不等式相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，遇到問題要冷靜分析，不斷總結(jié)不等式的易錯(cuò)題目類型，掌握正確的學(xué)習(xí)方法，定會(huì)有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)不等式的學(xué)習(xí)水平。

指導(dǎo)教師評(píng)語：

依據(jù)學(xué)生個(gè)人針對(duì)不等式的應(yīng)用中容易發(fā)生的錯(cuò)誤，利用圖像及參數(shù)討論等方法解決實(shí)際問題。由此可見該同學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中靈活的思維方式，這對(duì)數(shù)學(xué)難點(diǎn)的突破是非常重要的。