中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中思維活動的探究

江蘇省新沂市高流初級中學(xué) 李云霞

一、數(shù)學(xué)思維材料與結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)思維材料既有感性的，也有理性的，它們是進(jìn)一步思維加工的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)思維材料中的表象是在感知的基礎(chǔ)上在人腦中形成的印象，或者通過頭腦加工、想象而重新構(gòu)成的事物的形象。感知是一切理性認(rèn)識的基礎(chǔ)與開端。表象是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的橋梁，因而對思維能力的發(fā)展有了重大的意義。

由數(shù)學(xué)概念、判斷、推理構(gòu)成的命題，以及由數(shù)學(xué)問題系列構(gòu)成的數(shù)學(xué)知識體系是數(shù)學(xué)思維的理性材料。它們既是數(shù)學(xué)思維的對象，又是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物?！邦}海戰(zhàn)術(shù)”的訓(xùn)練，是難以使數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生質(zhì)的提高的。

應(yīng)該指出，數(shù)學(xué)思維材料并不是數(shù)學(xué)思維過程的唯一決定因素。數(shù)學(xué)思維還受到其他各方面因素的影響，尤其是非智力因素的影響；而數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)各要素的發(fā)展水平以及相互組合的差異，也是我們應(yīng)該考慮的因素。所以，在解題過程中的思維訓(xùn)練，不能簡單地把問題的解決當(dāng)作唯一目標(biāo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力直到形成良好的品質(zhì)結(jié)構(gòu)才是思維訓(xùn)練的終極目標(biāo)。

在數(shù)學(xué)解題過程中起主要作用的思維方式為：邏輯思維、形象思維和直覺思維。在數(shù)學(xué)解題過程中的數(shù)學(xué)思維要素有：抽象、概括、推理、選擇、判斷和探索。

必須指出：

1.數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)決定了綜合的數(shù)學(xué)思維能力的高低。研究它的組成要素及相互關(guān)系是數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)研究的基礎(chǔ)。

2.數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)是在個體的數(shù)學(xué)活動中形成發(fā)展的，是個性化、內(nèi)化的心理特征。所以，數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)既有個體差異，又有年齡特征。要研究每一個體思維結(jié)構(gòu)的瞬時形態(tài)與演化趨勢。

3.數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)只有能動作用于數(shù)學(xué)對象才能產(chǎn)生思維成果。在解題過程中動力系統(tǒng)與目標(biāo)調(diào)整控制系統(tǒng)是重要的因素。

4.數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)同一般意義下的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的外延不同。因?yàn)檎J(rèn)知還包括了觀察、記憶和在此基礎(chǔ)上的思維活動。但可以認(rèn)為，由于人的觀察、記憶均與思維不可分割，一定的思維水平都賦予人一定的觀察、記憶、理解、創(chuàng)造能力。在這個意義上，可把數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)稱為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)思維的一般方法或偏重于求解、論證、思辨、整理，或偏重于探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造。當(dāng)然，在具體解題過程中，各種數(shù)學(xué)思維方式、要索、方法要靈活地辯證使用，以發(fā)揮數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的整體功能。

二、數(shù)學(xué)解題的思維過程

一般來說，數(shù)學(xué)解題總是首先對問題做出概括的思考，通過直覺思維概略地確定基本的解題策略，有了整體解決方案后，再去深入考慮具體的方法與技巧。

可以看出，一般性解決只是解題的一種“念頭”“思路”或“猜想”，它為思維提供了方向與動力。在特殊性解決中，一般邏輯思維占據(jù)主導(dǎo)地位，它實(shí)際上是對一般性與功能性兩種“抽象”的解決的邏輯檢驗(yàn)與具體實(shí)施、補(bǔ)正及完善。因而，一般性與功能性的概略解決，具有極強(qiáng)的應(yīng)變力，且為具體的解決留有充分的變通余地。

可見，在數(shù)學(xué)解題過程中，最重要的是探索。這種思維要素，在數(shù)學(xué)解題過程中，表現(xiàn)為在思維出現(xiàn)障礙時特需的心理逆轉(zhuǎn)過程，因而數(shù)學(xué)探索能力也是解題活動中最富創(chuàng)造性、最難以培養(yǎng)、發(fā)展的思想。

三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)與方法指導(dǎo)

在訓(xùn)練學(xué)生思維過程中，要注意學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定和學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。如學(xué)習(xí)《直線與三角形》，可確定如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解點(diǎn)、直線、平面、線段的和(或差)、角的和(或差)的概念；了解命題、定理、證明等概念。

2.理解射線、平行線、垂線、三角形、軸對稱及其圖形的概念。

3.掌握成比例線段的性質(zhì)，平行線的判定公理(或定理)與性質(zhì)公理，會解決兩條直線平行或垂直、線段成比例等有關(guān)問題；掌握三角形、全等三角形和相似三角形的概念、性質(zhì)定理與判定定理，會解決線段、角等有關(guān)問題。

4.會用直尺、三角板、圓規(guī)、量角器等工具畫圖、測量，掌握度、分、秒的換算。

5.能正確地書寫證明過程，獨(dú)立進(jìn)行推理證明。

在思維訓(xùn)練過程中，學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)重要。如學(xué)習(xí)《直線與三角形》，可進(jìn)行如下方法指導(dǎo)：

1.課本中的七條公理，是今后一切幾何命題推理論證的根據(jù)，是平幾的立論基礎(chǔ)。直線、射線、線段和角的概念以及基本性質(zhì)則是直線發(fā)源于公理的一類幾何基礎(chǔ)知識。

2.兩條相交直線有對頂角相等的性質(zhì)，殊殊相交，可研究垂直關(guān)系。

3.三角形是平幾中的基礎(chǔ)內(nèi)容。構(gòu)成三角形的元素是三條邊和三個角。在同一個三角形中，等邊對等角，大邊對大角，反之亦然。

4.根據(jù)三角形的邊、角的特殊數(shù)量關(guān)系可以把三角形分類。等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，每個內(nèi)角都是600；四心(重心、垂心、外心和內(nèi)心)合一。

5.關(guān)于三角形的角平分線問題要注意它的軸對稱性質(zhì)。把關(guān)于軸對稱的兩個圖形看作一圖形時，便是軸對稱圖形，把軸對稱圖形沿軸分開看作兩個圖形時，便是軸對稱。在全等形的證明中，若能利用“對稱”性質(zhì)，往往可使證明簡便。