方程函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

劉武輝

（江西省高安市新街二中 江西高安 330811）

數(shù)學(xué)（mathematics）是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，從某種角度看屬于形式科學(xué)的一種。數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家對數(shù)學(xué)的確切范圍和定義有一系列的看法。而在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學(xué)也發(fā)揮著不可替代的作用，也是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。在初中數(shù)學(xué)中，方程和函數(shù)占有重要比列，方程及函數(shù)的概念在國家數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中是一個重要的組成部分，學(xué)校應(yīng)該結(jié)合初中數(shù)學(xué)課程的特點加強方程函數(shù)課程的教學(xué)方式，這樣不僅可以鍛煉學(xué)生的思維方式，也可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為易于計算的問題，數(shù)學(xué)知識可以被記住一段時間，但數(shù)學(xué)思想和方法可以隨時隨地為工作、生活服務(wù)，使人們終身受益。[1]

一、方程函數(shù)思想概況

最近十年以來，教育工作者們已經(jīng)明確的提出不僅要檢驗學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和思維能力，還應(yīng)該檢驗他們應(yīng)用思想和方法的能力。而其中的函數(shù)和方程的概念思想正是整個數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中最基本的概念之一。并且學(xué)生僅僅是學(xué)習(xí)如何運用函數(shù)和方程式解答題目是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，也不是我們的初衷，他們應(yīng)該依靠解決問題和反思問題的過程來理解方程函數(shù)思想的本質(zhì)與原理。方程函數(shù)是研究日常工作生活中定量關(guān)系的重要工具。在處理生活中的實際問題時，需要根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系以及構(gòu)建一個相等的關(guān)系來建立方程。方程函數(shù)的思想是利用運動視圖和變化來研究特定問題中的定量關(guān)系，然后用函數(shù)的形式來表達(dá)變量之間的關(guān)系。因此，函數(shù)和方程的概念已被廣泛應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)，這也是入學(xué)考試的必修部分。[2]

二、方程函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.方程函數(shù)思想的內(nèi)容

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中方程函數(shù)思想的具體內(nèi)容主要包括兩個方面：方程概念和函數(shù)概念。方程的概念思想是運用數(shù)學(xué)語言來轉(zhuǎn)換方程函數(shù)問題中的條件，然后根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系逐步進(jìn)入到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型中。主要包括，方程組，方程式，方程不等式，方程組和不等式的組合。函數(shù)的概念是使用已知條件來構(gòu)造不同的函數(shù)形式，例如常數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)以及奇函數(shù)、偶函數(shù)等等。我們可以看出，方程和函數(shù)是兩個不同的概念，但結(jié)合兩者之間的數(shù)學(xué)特點在初中數(shù)學(xué)中具有重要意義。在此基礎(chǔ)上，我們通常將方程和函數(shù)的兩個不同概念稱為方程函數(shù)的概念。

2.方程函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例通過整理與歸納，我們發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，方程函數(shù)思想最常用于以下兩個問題。

（1）求代數(shù)式的值

例如，已知 a = 2 - 3 ，b = 2+ 3 ，求（3a2- 12a + 4）×（2b2- 8b+13）的值。此時，因為 a + b = 4，a × b = 1，所以 a，b 為方程 x2-4x + 1 = 0 的兩個根。當(dāng) x = a 時，a2- 4a + 1 = 0，可得 3a2- 12a + 4 = 3×（a2- 4a + a）+ 1 =1，當(dāng) x = b 時，b2-4b + 1 = 0，可得 2b2- 8b + 13= 2 ×（b2- 4b + 1）+ 11 =11，此時即可求出原始 = 1 × 11 = 11。

（2）構(gòu)建函數(shù)模型解決應(yīng)用題

某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克贏利 10 元，每天可售出 500kg。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，每千克漲價 1 元，日銷售量將減少 20kg。（1）現(xiàn)該商場要保證每天贏利6000 元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？（2）若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，這種水果每千克漲價多少元能使商場獲利最多？解：設(shè)每千克應(yīng)漲價 x 元，根據(jù)題意得： （10 + x）×（500 - 20x）=6000 解得：x1= 25，x2= 10 為了使顧客得到實惠，應(yīng)取 x = 5（元）。（2）設(shè)每千克漲價 x 元時，總利潤為 y 元。Y =（10+ x）×（500 - 20x）=-20x2+ 300x + 5000 = -20 ×（x - 7.5）× 2 +6125 當(dāng) y = 7.5 時候 ymax= 6125（元）。

（3）方程函數(shù)思想在方程組中的應(yīng)用

人教版初中數(shù)學(xué)中的雞兔同籠的問題。例：現(xiàn)有一個雞兔同籠，頭共有35個，腳共有94只，然后讓學(xué)生算出雞兔同籠中共有雞與兔各有多少？

解析：這一雞兔同籠問題，可以根據(jù)已知的條件，然后找到數(shù)量中的隱含條件，最后利用方程組或者方程式來進(jìn)行計算。

解法1：設(shè)：雞有x只，兔有y只。

x+y=35；2x+4y=94。學(xué)生通過解方程就可以得出結(jié)果，然后答題。答：雞有23只，而兔有12只。

解法2：設(shè)雞有x只，兔則有（35-x）只。

2x+（35-x）×4=94。學(xué)生通過解方程就可以得出結(jié)果，然后答題。答：雞有23只，而兔有12只。

結(jié)語

方程函數(shù)的概念是使用函數(shù)的概念和屬性來分析和轉(zhuǎn)換問題的，因此要在實際問題的應(yīng)用中，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系從而解決相應(yīng)的問題。思維方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和靈魂，是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種基本理解。因此，學(xué)校應(yīng)該清楚地認(rèn)識到方程函數(shù)功能在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮的巨大作用。推動方程函數(shù)在教學(xué)中的進(jìn)一步發(fā)展。