梯形中平行四邊形的面積最大問題

四川內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院

余小芬 劉成龍 (郵編：641100)

1 問題

圖1

問題如圖1，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

2 對梯形中面積最大的平行四邊形的特征分析

引理1在梯形ABCD內(nèi)任作EFGH，則EFGH至少有一邊(不妨記為邊EF)滿足以下位置關系之一：

(1)點E、F都落在梯形ABCD的邊上；

(2)點E、F不全落在梯形ABCD的邊上．此時，總存在梯形邊上的兩點M、N，使得MNEF．

引理1的說明：

(1)點E、F都落在梯形ABCD的邊上，有以下情形(圖2～圖11)：

圖2 圖3

圖4 圖5

圖6 圖7

圖8 圖9

圖10 圖11

(2)點E、F不全落在梯形ABCD的邊上．此時，EF所在直線與梯形ABCD的邊相交于P,Q兩點(P、E重合與Q、F重合不同時成立)，有以下情形(圖12～圖17)：

圖12 圖13(1)

圖13(2) 圖13(3)

圖14 圖15

圖16(1) 圖16(2)

圖16(3) 圖17

特別要指出的是，圖12～圖17中，若構造出的MN恰好和EFGH的邊GH重合，則可歸結為引理1(1)的情形；若GH夾在EF和MN之間，則EFGH可擴大為EFMN；若EF夾在GH和MN之間，則EFGH可擴大為MNGH．

因此，按上述擴大方式，引理1(2)中擴大后的平行四邊形都可歸結為引理1(1)中情形．所以只需討論引理1(1)中各類平行四邊形面積的最大值即可．

下面依次給出圖3，圖5，圖6，圖7，圖8，圖10，圖11對應擴張后的最大面積平行四邊形的作法(由于圖2，圖4，圖9情形簡單，此處略)．

觀察圖18～圖24，不難得出梯形中面積最大的平行四邊形的特征為：平行四邊形的四個頂點全都落在梯形的邊上．

圖18 圖19 圖20

圖21

圖22

圖23 圖24

3 梯形中平行四邊形最大面積的結論

圖25

引理2如圖25，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

證明如圖25，過F作AB的垂線交AB(或AB延長線)于點N，過C作AB的垂線交AB(或AB延長線)于點K，過G作BC的垂線交BC(或BC延長線)于點P，交AD的延長線(或AD)于點Q．

下面給出梯形中平行四邊形最大面積的結論．

圖26

定理如圖26，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

證明如圖26，延長EF與CB的延長線交于點K．設EFGH的邊EF=s，EF邊上的高為l，AE=m，AF=n，則ED=a-m，F(xiàn)B=c-n，其中0≤m≤a，0≤n≤c(特別指出，當不等式中的m或n取等號時，對應EFGH的頂點位置較為特殊．例如：當m=0時，點A、E重合，此時邊EF落在梯形邊AB上)．

令f(n)=-(b-a)n2+(bc-2mc)n+mc2，其中0≤n≤c．

至此，本文開始提出的問題得到解決．