分析錯解成因 回歸問題本質(zhì)

安徽省合肥市第三中學(xué)

嚴華蘭 (郵編：230000)3

合肥市中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師工作站

許曉天 (郵編：230001)

1 問題提出

在合肥市2017年第二次教學(xué)質(zhì)量檢測中，數(shù)學(xué)理科試卷第21題的函數(shù)題，教師和學(xué)生反映：第(II)題形式上與2015年合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題21題第(II)題、2016年新課標卷I理科數(shù)學(xué)高考試題21題第(II)題形式上完全相同，但仿照這兩道例題的解法，都無法完成.由于許多教師都很重視此類問題，此兩道試題都講過且不止一次訓(xùn)練過此種題型，然而，檢測的結(jié)果出乎大家意料，全市沒有一位學(xué)生完全做對此題.因為三道題的第(II)題均與函數(shù)的極值點與極值點左右的增減速率有關(guān)，姑且把它們歸為一類.本文就如何回歸導(dǎo)數(shù)本質(zhì)，歸納和發(fā)現(xiàn)其中的異同，讓學(xué)生充分的理解題意而合理的解答此題，談?wù)劰P者的拙見.

2 試題呈現(xiàn)

例1(2015年合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科試題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3(2-a)x，a∈R.

(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II) 若y=f(x)的圖象與x軸相切于原點，當0

求證：x1+x2<8．

例2(2016新課標I理科試題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(I)求a的取值范圍；

(II)設(shè)x1、x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

例3(2017年合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測試題)已知f(x)=ln(x+m)-mx.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)m>1，x1、x2為函數(shù)f(x)的兩個零點，求證：x1+x2<0.

3 解答分析

先展示例1，2的第(II)問的解答：再探究例題3的解答(為了節(jié)省篇幅，第一問解答省略).

例1解(II)f′(x)=3x2-6ax+3(2-a)，由f′(0)=0，得a=2.

f(x)=x3-6x2，f(0)=0，由(I)解答知f(x)在(-∞,0)，(4,+∞)上單調(diào)增，在(0,4)上單調(diào)遞減，故a=2符合題設(shè).

由于f(x1)=f(x2)，04，則8-x2>4，

又f(x)=x3-6x2在(4,+∞)上單調(diào)遞增，所以x1+x2<8等價于f(x1)

而f(x2)-f(8-x2)=(2x2-8)(x2-4)2<0.

所以f(x2)

故x1+x2<8.

例2解(II)不妨設(shè)x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0．

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-1)ex，則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex)．

所以當x>1時，g′(x)<0，而g(1)=0，故當x>1時，g(x)<0．

從而g(x2)=f(2-x2)<0,，故x1+x2<2．

從兩題的試題看，例1更具有普遍性，因為例2中的兩個零點是等函數(shù)值點的特殊情況；從解答看，方法一致，但例2不能直接判斷差值的大小，需重新構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)對差值函數(shù)符號進行確定.其實，例2(II)可以推廣為： 若f(x1)=f(x2)(x1

由例2解答知：即證明：

f(x1)>f(2-x2)，也即f(x2)>f(2-x2)，

即(x2-2)ex2+a(x2-1)2>-x2e2-x2+a(1-x2)2，即-x2e2-x2-(x2-2)ex2<0.以下證明相同.

可以看出：推廣命題的證明比特殊情況下(零點)的證明，思路更明確和自然，因為參數(shù)a直接抵消了.

例3參照例1例2解法嘗試求解如下：

4 回歸本質(zhì)

我們要回到學(xué)生完全“懂”的例1和例2，只有完全明白其中能夠解決的道理，方知例3不能完成的原因,以及如何尋找解決此問題的有效方法.回歸導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)作用：增減性和增減的快慢.用它來說明三例題，學(xué)生思維定會“豁然開朗”，不會拘泥于已有的“套路”.

圖1

圖2

先看例1(II)，函數(shù)f(x)=x3-6x2的圖象如右圖1：

圖3

圖4

①

再說明極值點為負值的目標達到了.

圖5

②

②說明不等號方向與求證不等號方向一致.

滿足①、②說明思路正確，可以繼續(xù)證明了.

通過以上一類函數(shù)題回歸導(dǎo)函數(shù)本質(zhì)的例題教學(xué)，學(xué)生更加透徹理解了導(dǎo)函數(shù)的作用：增減性和增減速率的大小.與極值點左右兩邊單調(diào)性有關(guān)的問題：首先求導(dǎo)數(shù)并判斷原函數(shù)單調(diào)性,這是解題的基礎(chǔ)；再判斷極值點兩邊增減速率的大小，從而得出原函數(shù)較為準確的圖象，最后通過學(xué)生直覺思維，得出明確的解題思路.

只要我們的數(shù)學(xué)概念、命題和解題等方面的教學(xué)回歸數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，就會“入木三分”地抓住了解決這些數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，而不會被數(shù)學(xué)情景的“復(fù)雜性”、數(shù)學(xué)表征的“抽象性”和數(shù)學(xué)解題的“經(jīng)驗性”所干擾和迷惑.長此以往，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)一定能夠極大地提高.

1 許曉天.優(yōu)化例題教學(xué) 力促高效解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(陜西),2015(4)