傾聽(tīng)數(shù)學(xué)與音樂(lè)的神奇交響

張志勇

《梁?！穬?yōu)美動(dòng)聽(tīng)的旋律，《十面埋伏》的錚錚琵琶聲，貝多芬令人激動(dòng)的交響曲，田野里昆蟲啁啾的鳴叫……當(dāng)你沉浸在這些美妙的音樂(lè)聲中時(shí)，是否曾想過(guò)它們其實(shí)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系？

“多情外化”的音樂(lè)與“嚴(yán)謹(jǐn)抽象”的數(shù)學(xué)間確實(shí)存在剪不斷、理還亂的緣分.姑且不提音高的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也不論曲式結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，只從樂(lè)曲中最基本的簡(jiǎn)譜音符“1，2，3，4，5，6，7”是人們應(yīng)用或提及最為頻繁的數(shù)字便可見(jiàn)一斑.事實(shí)上，樂(lè)音之所以和諧、悅耳、動(dòng)聽(tīng)，是因?yàn)樗兄芷谛缘恼駝?dòng)頻率（如國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)音a1的振動(dòng)頻率是每秒鐘440次，e2是每秒鐘660次，a2是每秒鐘880次）；一組和聲（不同音高的樂(lè)音的組合）之所以能給聽(tīng)眾以悅耳的體驗(yàn)，是因?yàn)榻M成這組和聲的音頻間有協(xié)和的比例關(guān)系（能表示為簡(jiǎn)單整數(shù)比）.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家萊布尼茲說(shuō)：“音樂(lè)，就它的基礎(chǔ)來(lái)說(shuō)，是數(shù)學(xué)的；就它的出現(xiàn)來(lái)說(shuō)，是直覺(jué)的.”而愛(ài)因斯坦說(shuō)得更為風(fēng)趣：“我們這個(gè)世界可以由音樂(lè)的音符組成，也可以由數(shù)學(xué)公式組成.”

物理學(xué)知識(shí)告訴我們，聲音是由振動(dòng)產(chǎn)生的，樂(lè)音也不例外，而三角函數(shù)正是對(duì)振動(dòng)波的數(shù)學(xué)描述.這樣，音樂(lè)與數(shù)學(xué)之間的不可思議的天然聯(lián)系，恰可以用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)加以闡釋.

我們知道，樂(lè)音有響度、音調(diào)、音色之分.如果用正弦函數(shù)y＝Asin（ω t＋φ）來(lái)表示聲音的話，那么響度反映聲音的強(qiáng)弱，由振動(dòng)的振幅A決定，振幅越大聲音越強(qiáng)響度也就越大；音調(diào)反映聲音的高低，由振動(dòng)的頻率決定，頻率越高振動(dòng)越快音調(diào)也就越高；音色是什么呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，笛子和小提琴發(fā)出的聲音、男生和女生的聲音，即使響度相同、音調(diào)相同聽(tīng)起來(lái)也有明顯的差別，這就是音色.

樂(lè)音一般都不是單一的，而是由許多不同頻率的聲波合成的周期函數(shù)，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉告訴我們，“一個(gè)周期函數(shù)可以表示成正弦函數(shù)之和.”因此，任何樂(lè)音都可以表示為簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)之和，都是形如“Asin（ω t＋φ）”的各項(xiàng)之和，其中每一項(xiàng)都代表一種有適當(dāng)頻率和振幅的簡(jiǎn)單聲音.這些聲波中有一個(gè)頻率最低、振幅最大的聲波，通常稱之為基音（可以用y＝A1sin（ω t＋φ1）來(lái)表示）；樂(lè)音中除了基音之外還有許多其他頻率的聲波，稱為泛音，泛音的頻率分別是基音頻率f的整倍數(shù)2f，3f，…，振幅隨著頻率的升高而降低，分別為A2，A3，…，這樣泛音可以分別用y＝A2sin（2ω t＋φ2），y＝A3sin（3ω t＋φ3），…，y＝Aksin（k ω t＋φk），…來(lái)表示，基音和所有的泛音合在一起，就是以上那些正弦函數(shù)的和y＝A1sin（ω t＋φ1）＋A2sin（2ω t＋φ2）＋…＋Aksin（k ω t＋φk）＋….由于各個(gè)正弦函數(shù)系數(shù)比例不同，也就是各個(gè)泛音與基音的強(qiáng)弱的比例不同，就產(chǎn)生了不同的音色.

為了體會(huì)按不同的響度比例將基音和泛音合成起來(lái)會(huì)產(chǎn)生什么效果，我們來(lái)觀察不同的頻率的正弦函數(shù)按不同比例疊加起來(lái)得到的函數(shù)圖象.

圖1

觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，n＝3與n＝6，n＝30時(shí)一樣，函數(shù)的周期均為2π；也就是說(shuō)，y＝ sinx的周期是的周期是π，將它們加起來(lái)得到的函數(shù)也有周期甚至都有周期2π.

進(jìn)一步地，隨著n的增加，以2π為周期的函數(shù)圖象越來(lái)越接近于“鋸齒形”的波，這個(gè)“鋸齒形”的波正是由各種頻率的正弦波 sinkx分別乘以系數(shù)之后疊加起來(lái)的（如圖2）.

圖2

多么令人驚訝呀！有了三角函數(shù)，世界上的聲音一下子變得簡(jiǎn)單了，不管是雷鳴、鳥啼、人語(yǔ)或是鋼琴的鳴奏，都可以歸結(jié)為簡(jiǎn)單聲音的組合，這些簡(jiǎn)單聲音用數(shù)學(xué)表示就是三角函數(shù).電子琴正是通過(guò)調(diào)整各個(gè)泛音響度的比例，來(lái)模擬各種不同樂(lè)器（如鋼琴、小提琴、大提琴、長(zhǎng)笛等）發(fā)出的聲音.

我們前面的討論只是紙上談兵，有興趣的同學(xué)可以下載一些手機(jī)APP軟件來(lái)模擬做一個(gè)音樂(lè)制作人，具體操作辦法如圖3所示，在應(yīng)用寶中以“音樂(lè)模擬”為關(guān)鍵詞搜索，會(huì)跳出很多應(yīng)用軟件（如圖3-1）；以“模擬鋼琴”為例，下載安裝打開(kāi)后，軟件界面如圖3-2所示，按鍵下去就可以發(fā)出相應(yīng)的樂(lè)音，點(diǎn)擊圖3-3所示的設(shè)置按鍵，還可以將你的獨(dú)創(chuàng)音樂(lè)錄下來(lái)進(jìn)行發(fā)布.

圖3-1

圖3-2

圖3-3

世界上的聲音是如此豐富，卻又如此簡(jiǎn)單.看似感性、靈動(dòng)的音樂(lè)，實(shí)際上依賴于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)規(guī)律作為其運(yùn)作的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)因抽象而美，音樂(lè)因藝術(shù)而美，這兩者的相互滲透和關(guān)聯(lián)，必然會(huì)使得這兩種美交相輝映，更加璀璨奪目.