一道拋物線創(chuàng)新題的解法與變式研究

■河南省溫縣第一高級中學 趙路英

例題：已知過拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點F的直線l交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點。連接A O,B O并延長,分別交準線于M,N兩點。求證:

(1)N,M分別為A,B在準線上的投影;

(2)S△OMN=S△OAB。

可得y2-2p m y-p2=0。

所以y1+y2=2p m,y1y2=-p2。

變式1：已知過拋物線y2=8x的焦點F的直線l交拋物線于A (x1,y1),B(x2,y2)兩點。連接A O,B O并延長,分別交直線x=-4于M,N兩點。求△OMN與△O A B的面積比。

解法一：設直線l的方程為x=m y+2,則有:

可得y2-8m y-1 6=0。

所以y1+y2=8m,y1y2=-1 6。

又A,B在拋物線y2=8x上,故y21=8x1,y22=8x2。

解法二：過(-2,0)作直線x=-2,與直線A O,B O分別交于點M′,N′。

由例題可知S△OM′N′=S△OAB。

又S△OMN=4S△OM′N′,所以S△OMN∶S△OAB=4∶1。

變式2：已知過拋物線y2=8x的焦點F的直線l交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點。M為線段A B的中點。連接O A,O B并延長,分別交直線x=4于C,D兩點。求△O C D與△O AM的面積比。

解：過(-2,0)作直線x=-2,與直線O A,O B分別交于點C′,D′。

由例題可知S△OC′D′=S△OAB。

又S△OCD=4S△OC′D′,S△OAM=以S△OCD∶S△OAM=8∶1。

(責任編輯 趙 平)