基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的課堂教學(xué)研究
——以“雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例

吳禮琴

（安慶市第一中學(xué)，安徽 安慶）

一、教學(xué)分析

1.教材分析

本節(jié)課是北師大版選修2-1教材“雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時(shí)，在學(xué)生學(xué)習(xí)完“直線(xiàn)和圓”以及“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)解析法的又一次實(shí)際運(yùn)用，同時(shí)也是進(jìn)一步研究雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從數(shù)學(xué)方法上講，也為進(jìn)一步研究曲線(xiàn)與方程提供了基本模式和理論基礎(chǔ)。

2.教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)生活中用拉鏈畫(huà)雙曲線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述雙曲線(xiàn)的定義，會(huì)用定義判定點(diǎn)的軌跡，提升學(xué)生的直觀(guān)想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；類(lèi)比推導(dǎo)橢圓的方程的方法，引導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系推導(dǎo)雙曲線(xiàn)的方程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理與運(yùn)算素養(yǎng)；會(huì)用雙曲線(xiàn)定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；通過(guò)在動(dòng)手探究、合作交流中自主學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等思想方法。

3.教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：如何引導(dǎo)學(xué)生自主探究獲得雙曲線(xiàn)定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

教學(xué)難點(diǎn)：怎樣利用定義推導(dǎo)與化簡(jiǎn)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。

4.教學(xué)基本流程

探究引入→概念生成→方程推導(dǎo)→鞏固深化→課堂梳理→布置作業(yè)

二、設(shè)計(jì)與思考

1.探究引入

情境1：

問(wèn)題1：老師在批改一道求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程題的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生寫(xiě)出方程=1，這是橢圓方程嗎？這個(gè)方程表示什么曲線(xiàn)呢？通過(guò)幾何畫(huà)板作圖，引出雙曲線(xiàn)這個(gè)課題。

情境2：

嘗試實(shí)驗(yàn)，探究概念。帶學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的自制教具：木板、拉鏈、圖釘、鉛筆，一起合作按要求畫(huà)雙曲線(xiàn)，同時(shí)配合用多媒體演示畫(huà)雙曲線(xiàn)。

設(shè)計(jì)意圖：以活動(dòng)為載體，讓學(xué)生在“做中學(xué)”數(shù)學(xué)，通過(guò)畫(huà)雙曲線(xiàn)，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，積累感性經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，我力求改變單一、被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，給他們提供一個(gè)自主探索學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓他們通過(guò)觀(guān)察、討論，概括出雙曲線(xiàn)的定義，這樣既獲得了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維的能力。

2.概念生成

問(wèn)題3：曲線(xiàn)上的點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

問(wèn)題4：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)雙曲線(xiàn)的特點(diǎn)歸納雙曲線(xiàn)的定義。

學(xué)生歸納，與書(shū)本上定義相比較找出不足，再推出雙曲線(xiàn)定義。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾何畫(huà)板展示使得內(nèi)容直觀(guān)明了，有助于理解。引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)處理預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，通過(guò)反饋調(diào)節(jié)機(jī)制，及時(shí)評(píng)價(jià)，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

3.方程推導(dǎo)

引導(dǎo)學(xué)生思考以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）求圓方程的一般步驟是什么？（2）圓心在原點(diǎn)與不在原點(diǎn)的圓的方程哪個(gè)形式更簡(jiǎn)單？為什么？

提問(wèn)：我們大家已經(jīng)學(xué)過(guò)了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程了，那么大家知道怎樣在雙曲線(xiàn)上建立直角坐標(biāo)系，才能使雙曲線(xiàn)方程更簡(jiǎn)單？

通過(guò)前面解析幾何內(nèi)容的回憶，引導(dǎo)學(xué)生思考、相互交流，從而選定下列建立坐標(biāo)系的方案，推導(dǎo)雙曲線(xiàn)方程。

（1）以經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)的直線(xiàn)為x軸，以?xún)蓚€(gè)焦點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系；（2）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的集合；（3）把動(dòng)點(diǎn)條件坐標(biāo)化；（4）化簡(jiǎn)得到方程

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程，掌握雙曲線(xiàn)方程推導(dǎo)方法。通過(guò)雙曲線(xiàn)的兩種方程，進(jìn)行對(duì)比反思，讓學(xué)生利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行猜想，培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思維能力，不僅使學(xué)生加深對(duì)雙曲線(xiàn)定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，而且提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象及數(shù)學(xué)建模的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后邊知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生小組討論，個(gè)別學(xué)生回答，比較不同的結(jié)果。思考這三種情況，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理的核心素養(yǎng)。

4.鞏固深化

例.已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F（1-5，0），F(xiàn)（25，0），雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值是6，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程（.題后反思：求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到先定型，后定量）

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固的，通過(guò)該例題使學(xué)生進(jìn)一步理解雙曲線(xiàn)的定義，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程，使知識(shí)內(nèi)化為素養(yǎng)，并在解題過(guò)程中感受“數(shù)形結(jié)合思想”。

5.課堂梳理

小結(jié)：一個(gè)概念；兩種圖像與方程；三種思想方法：類(lèi)比法，數(shù)形結(jié)合，坐標(biāo)法。

設(shè)計(jì)意圖：由師生共同完成課堂小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)言，通過(guò)填寫(xiě)表格對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行反思、歸納、總結(jié)，從而達(dá)到深化知識(shí)理解、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、領(lǐng)悟思想方法的目的。

6.布置作業(yè)

基礎(chǔ)題：課本80頁(yè)，1，2（要求：書(shū)寫(xiě)具體解題過(guò)程）

拓展題：課本 83 頁(yè)，A2，3

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)了基礎(chǔ)題與拓展題，因材施教，這樣既面向總體又照顧學(xué)生差異，滿(mǎn)足不同學(xué)生發(fā)展的需要。

三、教學(xué)反思

我參加了2017年安徽省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽，課題是《雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程》，上課的對(duì)象是宿城一中高二年級(jí)的學(xué)生，上完這節(jié)課后，我進(jìn)行了反思，結(jié)合本節(jié)課的具體內(nèi)容，我確定了啟發(fā)探究式教學(xué)方法，尤其在引入上，我采用了從學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)幾何畫(huà)板驗(yàn)證，直接引出課題，這種探究式引入符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也是數(shù)學(xué)研究的基本方法。教學(xué)程序上：我設(shè)置了一系列問(wèn)題串來(lái)引領(lǐng)學(xué)生探究和思考，設(shè)計(jì)的問(wèn)題都在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，有開(kāi)放度，有思維量，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

不足的是，原本在拉鏈生成雙曲線(xiàn)畫(huà)圖試驗(yàn)時(shí)，想讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)際操作，但是實(shí)際上要準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形，而且時(shí)間短的情況下完成是非常困難的。所以上課之前還是果斷放棄，利用了多媒體來(lái)取代了實(shí)踐操作。