高中數(shù)學(xué)恒成立常見問題及求解策略

蘇文慧

（山東省濱州市濱州實驗中學(xué)2016級10班，山東 濱州）

恒成立作為高中數(shù)學(xué)中常見的問題，其涵蓋了函數(shù)、不等式、幾何等多種數(shù)學(xué)知識，求解恒成立問題是對高中生數(shù)學(xué)知識掌握能力與靈活運用能力的系統(tǒng)考查。通過運用不同解題方法，可以有效將數(shù)學(xué)知識串聯(lián)成體系，對培養(yǎng)高中生形成完備的數(shù)學(xué)思維有著極大的助益。

一、應(yīng)用函數(shù)法解決恒成立問題

以下題為例，已知存在x∈R，使得不等式nx2+2x+3＞0恒成立，求n的取值范圍。針對此題進行求解，可引入二次函數(shù)知識，設(shè)二次函數(shù)f（x）=nx2+2x+3，并畫出函數(shù)圖象。通過圖象可得知，當n=0時，不等式成立；當n＞0時，可求得二次函數(shù)圖象開口向上，選取x軸上方部分；當n＜0時，同理也選取x軸上方部分。經(jīng)過以上針對n的分情況討論與計算，從而得出n的取值范圍為（0，3）。

二、應(yīng)用分離參數(shù)法解決恒成立問題

當解決帶有參數(shù)的恒成立問題時，應(yīng)用分離參數(shù)法將其中的參數(shù)提取出來，將不等式變形，可以使得原有的復(fù)雜恒成立問題得到簡化與快速解答。以下題為例，存在x∈R滿足不等式4m+sinx+m2≥0，且該不等式恒成立，求m的取值范圍。在求解這道題時，我們可以發(fā)現(xiàn)其中包含了x和m兩個變量，且m含有二次項，因此在處理此問題時可先將不等式變形，將不等號的一端轉(zhuǎn)化為只含有m的方程，另一端只含有x，從而得到代數(shù)式m2-4m，然后將不等式另一端整體看做一個函數(shù)，求解出函數(shù)最值。接下來考慮關(guān)于m的代數(shù)式，可得出不等式m2-4m＞5，最終求得m的取值范圍。

三、應(yīng)用變化主元法解決恒成立問題

在求解恒成立問題的過程中，經(jīng)常需要證明不等式，涉及許多參量變化。由于常見的思維定式，我們往往習(xí)慣把多元不等式看成是關(guān)于x的不等式[1]。而通過對參量進行還原處理，可以高效便捷地解決恒成立問題。以下題為例，對于任意的倘若能夠使函數(shù)f（x）=ax2-2x+1-a＜0恒成立，求x的取值范圍。通常在面對恒成立問題時，往往會先結(jié)合題目中直接所給出的條件進行求解，無法判斷求解方法是否便捷有效。因此，在進行此類問題求解時應(yīng)當對所給題目進行詳盡的分析，長此以往，能夠有助于形成做題習(xí)慣、積累經(jīng)驗，從而提高審題速度與解題效果。在求解此題目時，可以先設(shè)從而使得題目轉(zhuǎn)化為 g（a）=（x-1）2a+1-2x＜0 在［-2，2］上恒成立，則可以得出最終解得在求解多元不等式問題時，解題思路的關(guān)鍵在于確定將哪個變量作為主元，本題將a定義為主元，將題目轉(zhuǎn)化為a的一次函數(shù)小于0恒成立問題，可以有效省去變量分離時分類討論步驟，使解題步驟得到了有效簡化。

四、應(yīng)用構(gòu)造法解決恒成立問題

（一）復(fù)數(shù)構(gòu)造法

通過以往知識的學(xué)習(xí)，我們都了解到復(fù)數(shù)由實部和虛部兩部分組成，而復(fù)數(shù)的部分性質(zhì)與實數(shù)有一定聯(lián)系，因此可以借助復(fù)數(shù)的構(gòu)造求解不等式恒成立問題。以下題為例，已知存在x，y∈R，求證解決此題時可以結(jié)合不等式特點，設(shè) z1=x+yi，z2=（x-3）+（y+4）i，利用絕對值不等式特性進行計算，再將結(jié)果帶入不等式中即可求解。由此看出，可以通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立問題，我們所構(gòu)造的函數(shù)或者其他的數(shù)學(xué)形式應(yīng)該是一種條件構(gòu)造，也就是要構(gòu)造出外延和擴大的表達形式，利用其對縮小形式進行證明，但這個過程不可顛倒，否則會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論[2]。

（二）幾何構(gòu)造法

在解決關(guān)于不等式的恒成立問題時，通常要應(yīng)用構(gòu)造幾何圖形或函數(shù)的方式進行計算，可將幾何中求最值問題與不等式所包含的條件進行有機結(jié)合，完成問題解答。以下題為例，已知等式當進行此題解答時，可將該等式看做橢圓方程的復(fù)數(shù)形式的反映，將不等式證明問題轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓方程上的點到定點的最大距離為設(shè)橢圓上存在任意一點cosθ，2sinθ），計算點M到點P的距離，利用的特性進行代入，便可以有效求得答案。

總而言之，高中數(shù)學(xué)中恒成立常見問題可以通過多種策略進行求解，關(guān)鍵在于解題思路的深度拓展，綜合運用既往掌握的數(shù)學(xué)知識，尋求最優(yōu)方法進行問題解答，在掌握扎實基礎(chǔ)知識的前提下學(xué)會靈活應(yīng)變，從而提高數(shù)學(xué)能力。