借助數(shù)形結(jié)合 優(yōu)化概念教學(xué)
——例談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的運(yùn)用

蔡宏心

（江蘇省無錫市蕩口中學(xué)）

在初中數(shù)學(xué)知識的教學(xué)實踐中，概念教學(xué)是其中的重點(diǎn)以及難點(diǎn)所在，這主要是因為概念是深入學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，如果學(xué)生不能準(zhǔn)確理解并掌握數(shù)學(xué)概念，必然難以實現(xiàn)更深層面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在初中階段，學(xué)生的思維模式仍然還處于向抽象思維轉(zhuǎn)變的過程中，然而數(shù)學(xué)概念則具有非常典型的抽象性，由此也導(dǎo)致了學(xué)生學(xué)習(xí)難度的增加。當(dāng)前素質(zhì)教育中所提倡的“學(xué)為中心”的教學(xué)思想，就是立足于學(xué)生的思維特征而展開的教學(xué)。數(shù)形結(jié)合雖然是數(shù)學(xué)思想，但是可以將抽象的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行形象化展現(xiàn)，如果在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中引入數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略，就可以實現(xiàn)對教學(xué)活動的優(yōu)化。

一、借助數(shù)形結(jié)合，感知數(shù)學(xué)概念

對于初中生來說，如何完成數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于是否能夠?qū)Ω拍町a(chǎn)生直觀感知，只有確保這一點(diǎn)，才能夠打下扎實的數(shù)學(xué)概念根基。數(shù)形結(jié)合的策略恰好可以完美地展現(xiàn)這一點(diǎn)，通過數(shù)與形的結(jié)合能夠?qū)⒊橄蟮母拍钪R以形象化的方式呈現(xiàn)于學(xué)生面前。所以，教師應(yīng)善于借助數(shù)形結(jié)合的思想，并以此為突破口為學(xué)生提供感性認(rèn)知的平臺。

例如，在引導(dǎo)學(xué)生對“數(shù)軸”這一概念進(jìn)行學(xué)習(xí)時，當(dāng)學(xué)生對這一概念已經(jīng)形成初步感知之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實際畫出相應(yīng)的線段圖。從小王同學(xué)家出發(fā)向東走200米就是汽車站，而向西走500米就是火車站。假定向東走為正，向西為負(fù)，那么應(yīng)采用怎樣的方式表示從家走到汽車站的距離？到火車站又該怎樣表示？你能夠畫出這樣的線段圖嗎？通過這種問題引導(dǎo)以及和圖形結(jié)合的方式，學(xué)生便能夠輕松掌握家、汽車站以及火車站之間的位置關(guān)系。然后結(jié)合線段圖引導(dǎo)他們針對以下問題展開交流以及探討：如何在圖中表達(dá)東、西這兩個剛好相反的方向？怎樣才能夠分別準(zhǔn)確地展示家到汽車站以及火車站的不同距離。在學(xué)生的交流以及探討過程中，教師可以適時引入數(shù)軸的三個關(guān)鍵要素?；谶@樣的方式，學(xué)生可以直觀地觀察到數(shù)軸這一概念的圖像展示，定然可以透徹理解其中的關(guān)鍵要素，由此實現(xiàn)對數(shù)軸這一概念的自主架構(gòu)以及深入理解。對于初中生來說，由于學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)結(jié)合他們的生活起點(diǎn)以及認(rèn)知起點(diǎn)，可以有效降低他們對數(shù)學(xué)概念的理解難度，這樣才能夠真正確保高效的概念學(xué)習(xí)。

在上述案例中，“數(shù)軸”就是一個非常典型的抽象的數(shù)學(xué)概念，教師在實際教學(xué)的過程中，結(jié)合了學(xué)生的生活實際，將生活情境圖像化，從而促進(jìn)數(shù)軸模型的形成，以此為基礎(chǔ)融入其關(guān)鍵的三要素。通過這一過程，能夠幫助學(xué)生實現(xiàn)對抽象概念的具象化感知，確保高效的概念學(xué)習(xí)成果。由此可見，針對初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)來說，引入數(shù)形結(jié)合的策略可以有效降低學(xué)生對概念的理解難度，同時還可以幫助他們精準(zhǔn)把握概念中的基本要素，最關(guān)鍵的就是還可以實現(xiàn)高效的教學(xué)成果。實際上在當(dāng)前數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實踐中，與此相似的例子還有很多，教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮個人教學(xué)智慧，鏈接學(xué)生生活，實現(xiàn)對教學(xué)活動的靈活設(shè)計與合理安排。

二、借助數(shù)形結(jié)合，形成數(shù)學(xué)概念

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，概念的形成是教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，概念的形成過程實際上就是針對概念的本質(zhì)以及內(nèi)涵進(jìn)行深入理解的過程。如果以數(shù)形結(jié)合的方式必然可以充分展示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵。因此，在具體的教學(xué)實踐中，教師應(yīng)善于借助數(shù)形結(jié)合這一工具，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)概念的形成過程，以確保高效的概念教學(xué)。

（一）通過數(shù)形結(jié)合，理解概念內(nèi)涵

概念的內(nèi)涵實際上所包含的主要內(nèi)容就是概念的本質(zhì)以及其基本特征。對于初中生來說，針對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于要真正理解其內(nèi)涵，由此才能夠形成對數(shù)學(xué)概念的深入透徹理解。然而針對內(nèi)涵的理解過程不能缺少數(shù)學(xué)思維，如果僅僅只是借助記憶的方式掌握概念的內(nèi)涵，不能確保高效的教學(xué)成果，很有可能在一段時間內(nèi)就會被遺忘。因此，在具體的教學(xué)實踐中，教師應(yīng)善用借助數(shù)形結(jié)合這一工具，幫助學(xué)生深入理解概念的內(nèi)涵，從而高效提升概念教學(xué)成果。

例如，在對“絕對值”這一概念進(jìn)行教學(xué)的過程中，筆者先引導(dǎo)學(xué)生初步感知絕對值這一概念，之后向?qū)W生展示數(shù)軸，并且在給定的數(shù)軸中分別找出3，-3，0，15，-15的絕對值。通過這一過程，結(jié)合數(shù)軸中具體的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，學(xué)生可以很容易就發(fā)現(xiàn)，3與-3，15與-15分別具有相同的絕對值，而0的絕對值就是其自身。之后，筆者為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了如下的問題情境，目的就是引發(fā)學(xué)生思考：為什么3與-3，15與-15它們各自的絕對值是相同的呢？在經(jīng)過反思以及交流環(huán)節(jié)之后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，因為它們和原點(diǎn)的距離都是相同的，唯一不同之處就是方向相反，然而相反的方向并不會對具體的實際距離產(chǎn)生任何影響。通過以上感知和理解的過程，教師還可以向?qū)W生展示一些其他的正數(shù)以及負(fù)數(shù)，為學(xué)生布置結(jié)合數(shù)軸分別找出對應(yīng)的絕對值的任務(wù)。由此，學(xué)生便可以針對絕對值這一概念的內(nèi)涵以及本質(zhì)產(chǎn)生深入透徹的感知和理解，并結(jié)合原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)實現(xiàn)同化，由此在腦海中架構(gòu)全新的數(shù)學(xué)知識體系。

在上述案例中，為了幫助學(xué)生理解數(shù)軸這一抽象概念，教師所借助的正是數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生可以在自主探究的過程中，感悟絕對值的代數(shù)本質(zhì)內(nèi)涵，并且獲得了非常顯著的教學(xué)成果。在具體的教學(xué)實踐中，如果只是帶領(lǐng)學(xué)生對概念本身進(jìn)行記憶，雖然可以在較短的時間內(nèi)記住，但是由于沒有立足于數(shù)學(xué)角度，沒有以此進(jìn)行深入理解，必然也會很快遺忘。在初中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)過程中，與此相似的教學(xué)實例還有很多，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的同時教師應(yīng)充分結(jié)合概念的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)高效的概念學(xué)習(xí)。

（二）通過數(shù)形結(jié)合，深化概念的探究

在初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實踐中，引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)以及探究也是非常重要的教學(xué)手段。通過這樣的方式，既有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時也能夠?qū)崿F(xiàn)對良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)概念就是這樣一種可以引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動的關(guān)鍵載體，并且同時也是可以有效提升個體數(shù)學(xué)思維能力的基礎(chǔ)教學(xué)素材。在針對數(shù)學(xué)概念技能教學(xué)過程中，教師應(yīng)善于借助數(shù)形結(jié)合這一策略，引導(dǎo)學(xué)生展開自主探究，通過探究發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)以及內(nèi)涵，并且對這一過程的親歷，能夠幫助學(xué)生深入理解概念的內(nèi)涵以及外延，保障良好的記憶效果。

例如，針對“三角形的中位線”這一概念的教學(xué)，筆者先引導(dǎo)學(xué)生初步感知這一概念，之后讓學(xué)生隨便在紙上畫出一個三角形并標(biāo)明其為△ABC，接下來分別針對三角形的三條邊的長度展開測量。完成上述數(shù)據(jù)的記錄之后，在三角形中分別確定每一條邊所對應(yīng)的中位線：DE，EF，F(xiàn)D，并且分別測出它們各自的長度。通過這一過程以及相關(guān)數(shù)據(jù)的獲得和比較，學(xué)生能夠輕松發(fā)現(xiàn)：在這個三角形中，中位線的長度是其所對應(yīng)的底邊長度的。由此教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了如下的問題情境引發(fā)其思考：那么對于我們所獲得的這一結(jié)論，是不是也同樣適用于其他的三角形呢？之后，教師就安排學(xué)生以小組為單位展開自主探究。在獲得結(jié)論的同時，學(xué)生親歷了結(jié)論的驗證過程。然后，教師便可以順勢引入三角形中位線定理。因為和自己的驗證充分吻合，學(xué)生既能夠深入理解定理，同時也能夠感受到成功的喜悅，樹立了學(xué)習(xí)的自信，關(guān)鍵還有助于高效的記憶效果。

在上述案例中，筆者正是借助數(shù)形結(jié)合的思想為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究的問題情境，使學(xué)生可以自主完成對三角形中位線定理的探究和學(xué)習(xí)。在實際探究的過程中，既有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，同時也可以有效增強(qiáng)個體的自主探究能力，關(guān)鍵還在于使學(xué)生能夠深入理解定理的本質(zhì)，并且從小培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作的意識。由此可見，在教學(xué)實踐中，以自主探究的方式引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，既可以全面提升高效的教學(xué)成果，更有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、借助數(shù)形結(jié)合，深化數(shù)學(xué)概念

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實踐中，學(xué)生對概念的內(nèi)化同樣非常重要。簡單地說，概念的內(nèi)化就是學(xué)生可以針對概念形成個性化感知，并將其融合于自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，自主完成對數(shù)學(xué)概念體系的架構(gòu)。在數(shù)學(xué)概念之間實際上具有非常緊密的聯(lián)系，基于數(shù)形結(jié)合的方式可以幫助學(xué)生厘清它們之間的聯(lián)系，有助于準(zhǔn)確把握概念本質(zhì)，從而實現(xiàn)事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

例如，在針對“四邊形”這一概念的教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)基本了解了平行四邊形、正方形以及矩形和菱形這四類特殊的四邊形的概念以及基本特征之后，筆者首先讓學(xué)生畫一幅關(guān)系圖，通過這幅關(guān)系圖可以充分展示這四類圖形之間所具有的關(guān)聯(lián)性。能夠充分表明這四類圖形之間的聯(lián)系以及本質(zhì)區(qū)別。教師引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)語言對圖形之間的關(guān)系要素進(jìn)行表述，比如“有一個角是直角”以及“有一組鄰邊相等”，還有“對角線互相垂直”以及“對角線相等”等等。通過這樣的方式，既能夠在學(xué)生腦海中形成具象化的概念圖，同時也有助于學(xué)生實現(xiàn)對概念知識的有效內(nèi)化，對于這樣的學(xué)習(xí)方式而言，既有廣度又有深度，并且還能夠有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概括思維的發(fā)展和提升。

在上述案例中，筆者首先讓學(xué)生自主完成關(guān)系圖的表述，之后再向?qū)W生展示科學(xué)化的關(guān)系圖，學(xué)生通過比對可以發(fā)現(xiàn)自己存在的不足。教師引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)語言對其中對應(yīng)的關(guān)系展開表述，既有助于促進(jìn)學(xué)生對概念的深入理解，同時也可以有效地推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。在當(dāng)前概念教學(xué)實踐中，能夠使用這種教學(xué)方式的概念還有很多，基于概念之間的關(guān)聯(lián)性，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生感知這種內(nèi)在聯(lián)系，由此便可以促進(jìn)學(xué)生對概念的高效內(nèi)化。

總之，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合的策略是經(jīng)過教學(xué)實踐驗證的，可以引導(dǎo)初中生完成高效數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的重要輔助教學(xué)手段。通過數(shù)形結(jié)合的方式，既有助優(yōu)化概念學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生深入理解概念的本質(zhì)以及內(nèi)涵；同時還可以通過對概念形成過程的親歷實現(xiàn)高效內(nèi)化。但是，不可忽視的是，這雖然是一種優(yōu)化教學(xué)的重要手段，但并不意味著它可以適合所有的概念學(xué)習(xí)，因此，這就需要教師結(jié)合教學(xué)實際以及教材內(nèi)容靈活恰當(dāng)?shù)厥褂?，?yōu)化教學(xué)設(shè)計。

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